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【成才之路】2015版高中数学(人教版必修5)配套课件:3.1 不等关系与不等式 第2课时


成才之路 ·数学
人教A版 ·必修5

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第三章
不等式

第三章

不等式

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第三章
3.1 不等关系与不等式 不等式性质的应用

第2课时

第三章

不等式

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1

课前自主预习

2

课堂典例探究

3

课 时 作 业

第三章

3.1

第2课时

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课前自主预习

第三章

3.1

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和你的同桌做个游戏:假设有四只盛满水的圆柱形水桶
A 、 B 、 C 、 D ,桶 A 、 B 的底面半径均为 a ,高分别为 a 和 b ,桶 C、D的底面半径为b,高分别为a和b(其中a≠b).你们各自从中 取两只水桶,得水多者为胜.如果让你先取,你有必胜的把握 吗?

第三章

3.1

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[解析] πb3,

水桶A、B、C、D的容积依次为πa3、πa2b、πab2、

∵a≠b,∴a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a) =(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b)>0,

∴a3+b3>a2b+ab2,
∴πa3+πb3>πa2b+πab2, 先取水桶A和水桶D必胜.

第三章

3.1

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(1)给出下列结论: ①若 ac>bc,则 a>b; ②若 a<b,则 ac2<bc2; 1 1 ③若a<b<0,则 a>b; ④若 a>b,c>d,则 a-c>b-d; ⑤若 a>b,c>d,则 ac>bd. 其中正确结论的序号是________.

[答案] ③
第三章 3.1 第2课时

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[ 解析]

①当 c>0 时,由 ac>bc?a>b,当 c<0 时,由 ac>bc

?a<b,故①错. ②当 c≠0 时,由 a<b?ac2<bc2,当 c=0 时,由 a<b?/ ac2<bc2,故②错. 1 1 1 1 ③∵a<b<0,∴a<0,b<0,∴ab>0,∴a· ab<b· ab,即 b<a, ∴a>b,故③正确.

第三章

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④∵c>d,∴-c<-d,又 a>b,两不等式不等号的方向不 同,不能相加,∴a-c>b-d 错误. a>b>0? 0>a>b? ? ? ??ac>bd, ??ac<bd, ⑤ ? ? c>d>0 ? 0>c>d ? a>b>0? 0>a>b? ? ? ? ??/ ac>bd. 但 ?/ ac>bd, 0>c>d ? c>d>0 ? ? ?

第三章

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课堂典例探究

第三章

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不等式的证明
e e 若 a>b>0,c<d<0,e<0.求证: 2> 2. ?a-c? ?b-d?

[ 分析]

? ?作差法:判断 e 2- e 2与0的 ?a-c? ?b-d? ? ? 大小关系 ? 一题多解? e ? ?a-c?2 ?作商法:判断 与1的大小关系 e ? ? ?b-d?2 ?
第三章 3.1 第2课时

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[ 解析]

e e 证法一: - ?a-c?2 ?b-d?2

e[?b-d?2-?a-c?2] = ?a-c?2?b-d?2 e?b-d+a-c??b-d-a+c? = ?a-c?2?b-d?2 e[?a+b?-?c+d?][?b-a?+?c-d?] = . 2 2 ?a-c? ?b-d?

第三章

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∵a>b>0,c<d<0, ∴a+b>0,c+d<0,b-a<0,c-d<0, ∴(a+b)-(c+d)>0,(b-a)+(c-d)<0. ∵e<0,∴e[(a+b)-(c+d)][(b-a)+(c-d)] >0. e e 又∵(a-c) (b-d) >0,∴ 2- 2>0, ?a-c? ?b-d?
2 2

e e ∴ > . ?a-c?2 ?b-d?2

第三章

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e ?a-c?2 ?b-d?2 证法二: e = 2. ?a-c? ?b-d?2 ∵c<d<0,∴-c>-d>0. ∵a>b>0,∴a-c>b-d>0, ∴(a-c)2>(b-d)2>0,

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e ?a-c?2 ?b-d?2 ∴0< <1,∴0< e <1. ?a-c?2 ?b-d?2 e e 又∵ 2<0, 2<0, ?a-c? ?b-d? e e ∴ > . ?a-c?2 ?b-d?2

第三章

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[ 方法总结]

(1)证明不等式的常用方法:根据待求不等式

的形式,合理选择作差法或作商法来比较两式的大小.相对而 言,作差法适用面较广一些,而作商法一般适用于比值形式的 不等式,像此例题中的形式. e ?a-c?2 e (2)在证法二中,判断出 0< e <1 后,要注意 2<0 ?b-d? ?b-d?2 及不等号方向的变化等问题.

第三章

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3 a 3 b 已知 a>b>0,c<d<0.求证: d< c .

[ 解析]

∵c<d<0,∴-c>-d>0. 1 1 ∴0<-c <-d. a b 又∵a>b>0,∴-d>-c >0. 3 -a 3 -b 3 a 3 b ∴ d > c ,即- d>- c . 3 a 3 b 两边同乘以-1,得 d< c .
第三章 3.1 第2课时

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不等式的实际应用
某单位组织职工去某地参观学习,需包车前 往.甲车队说:“如果领队买全票一张,其余人可享受 7.5 折 优惠.”乙车队说:“你们属团体票,按原价的 8 折优惠.” 这两车队的收费标准、车型都是一样的,试根据此单位去的人 数,比较两车队的收费哪家更优惠.

[分析] 依据题意表示出两车队的收费,然后比较大小.

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[ 解析]

设该单位职工有 n 人(n∈N*),全票价为 x 元,坐

甲车需花 y1 元,坐乙车需花 y2 元, 3 1 3 4 则 y1=x+4x· (n-1)=4x+4xn,y2=5xn, 1 3 4 y1-y2=4x+4xn-5xn 1 1 1 n =4x-20xn=4x(1-5). 当 n=5 时,y1=y2;当 n>5 时,y1<y2; 当 n<5 时,y1>y2. 因此,当此单位去的人数为 5 人时,两车队收费相同;多 于 5 人时,选甲车队更优惠;少于 5 人时,选乙车队更优惠.
第三章 3.1 第2课时

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[ 方法总结]

(1)“最优方案”问题,首先要设出未知量,

搞清楚比较的对象,然后把这个未知量用其他的已知量表示出 来,通过比较即可得出结论. (2)这是一道与不等式有关的实际应用问题,解答时要有设 有答,步骤完整.

第三章

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甲、 乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食(同 一品种) ,两次粮食的价格不同,两位采购员的购粮方式也不 同.其中,甲每次购买 1 000 kg,乙每次购粮用去 1 000 元钱, 谁的购粮方式更合算?

[ 解析]

设两次价格分别为 a 元,b 元,则甲的平均价格为

a +b 2 000 2ab m= 2 元,乙的平均价格为 n=1 000 1 000= ,∴m-n a+b a + b a+b 2ab ?a-b?2 = 2 - = >0,∴乙合算. a+b 2?a+b?
第三章 3.1 第2课时

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利用不等式的性质求取值范围
a 已知-6<a<8,2<b<3,分别求 2a+b,a-b,b的 取值范围.
[ 分析] 欲求 a-b 的取值范围,应先求-b 的取值范围,

1 a 欲求b的取值范围,应先求b的取值范围.

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[ 解析]

∵-6<a<8,∴-12<2a<16,

又∵2<b<3,∴-10<2a+b<19. ∵2<b<3,∴-3<-b<-2, ∴-9<a-b<6. 1 1 1 ∵2<b<3,∴3<b<2, a ∵-6<a<8,∴-2<b<4.

第三章

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α+β α-β π π 已知-2≤α<β≤2,求 2 , 2 的范围.
[ 解析] π π ∵-2≤α<β≤2,

π α π π β π ∴-4≤2<4,-4<2≤4. π α+β π 两式相加,得-2< 2 <2.

第三章

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π β π ∵-4<2≤4, π β π ∴-4≤-2<4, π α-β π ∴-2≤ 2 <2. α-β 又∵α<β,∴ 2 <0. π α-β ∴-2≤ 2 <0.

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已知 1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,求 3a-2b 的 取值范围.

[错解] ∵1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,
∴两式相加可得0≤a≤4. 又∵1≤a+b≤5,-3≤b-a≤1, ∴两式相加可得-1≤b≤3. ∴0≤3a≤12,-6≤-2b≤2,

∴-6≤3a-2b≤14.
第三章 3.1 第2课时

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[辨析]

错误的原因是“由1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,得出

0≤a≤4,-1≤b≤3”的过程是一个不等价变形.

[ 正解]

设 3a-2b=x(a+b)+y(a-b),

则 3a-2b=(x+y)a+(x-y)b. ? 1 x=2 ? ? x + y = 3 ? 从而? ,解得? ? ?x-y=-2 ?y=5 ? 2

.

第三章

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1 5 ∴3a-2b=2(a+b)+2(a-b) ∵1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3, 1 1 5 5 5 15 ∴2≤2(a+b)≤2,-2≤2(a-b)≤ 2 , ∴-2≤3a-2b≤10.

第三章

3.1

第2课时

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? ? 作差法 ?利用性质证明不等式? ? ? 不等式性? ?作商法 ? 质的应用?不等式的实际应用 ? ?利用不等式的性质求取值范围

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课时作业
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