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新课标人教A版高中数学选修2-2 1.1-1.2导数的概念与计算


新课标高中数学-选修 2-2 导学案
§1.1-1.2 变化率与导数、导数的计算 【知识要点】 1.导数概念 (1) y=f(x)在 x=x0 处瞬时变化率记 f′(x0)或 y′|x=x ,即 f′(x0)= lim →
0 Δx 0

f?x0+Δx?-f?x0? Δy = lim . Δx Δx→0 Δx

(2) 导数的几何意义:在切点 P(x0,y0)处的切线的斜率.切线方程为 y-y0=f′(x0)(x-x0). (3) 函数 f(x)的导函数:称函数 f′(x)= lim →
Δx

f?x+Δx?-f?x? 为 f(x)的导函数. Δx 0

2.基本初等函数的导数公式

(C)' ? 0 , ( xn )' ? nxn?1 ,
( x )' ? 1 2 x
, ( ) ??
'

(ex)′ = ex,

(ln x ) ' ?

1 , x

(sin x)′ = cosx , (cos x)′ = - sinx ,

1 x

1 1 , (ax)′=axlna, (logax)= . 2 x ln a x

3.导数的运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′=f′(x)± g′(x); (3)? f?x? ? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? (g(x)≠0). ?g?x??′= [g?x?]2 (2)[f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);

4.复合函数的导数 复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 yx′=yu′· ux′,即 y 对 x 的导数等 于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. 【试一试】 1.设函数 f(x)在(0,+∞)内可导,且 f(ex)=x+ex,则 f′(1)=________. 2.函数 y=xcos x-sin x 的导数为________. π? ?π? ?π? ?π? 3. 已知 f(x)=sin 2x,记 fn+1(x)=fn′(x)(n∈N*),则 f1? ?6?+f2?6?+…+f2 013?6?+f2 014?6?=________. 4.曲线 y=sin x+ex 在点(0,1)处的切线方程是为________. 5.曲线 y=3ln x+x+2 在点 P0 处的切线方程为 4x-y-1=0,则点 P0 的坐标是( A.(0,1) C.(1,3) 6.给出下列命题: ①y′=f′(x)在点 x=x0 处的函数值就是函数 y=f(x)在点 x=x0 处的导数值. ②求 f′(x0)时,可先求 f(x0)再求 f′(x0). ③曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. ④与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. 1 ⑤若 f(x)=f′(a)x2+ln x(a>0),则 f′(x)=2xf′(a)+ . x 其中正确的是________. B.(1,-1) D.(1,0) )

1

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考点一 导数的概念 例 1.用导数的定义求函数 y= 1 在 x=1 处的导数. x

考点二 导数的计算 例 2.求下列函数的导数 1 (1)y=ln x+ ; x (2)y=x2,

cos x (3)y= x ; e

(4)y=(x2+2x-1)e2 x.


变式. 求下列函数的导数: 1 (1)f(x)= . x+2 (2)y=( x+1)( 1 -1); x

π π (3)y=xsin(2x+ )cos(2x+ ); 2 2

e2x+e 2x (4)y= x -x . e +e


考点三 导数的几何意义及其应用 例 3(1)曲线 y=xex+2x-1 在点(0,-1)处的切线方程为( A.y=3x-1 C.y=3x+1 ) B.y=-3x-1 D.y=-2x-1

(2)已知曲线 C:f(x)=x3-ax+a,若过曲线 C 外一点 A(1,0)引曲线 C 的两条切线,它们的倾斜角互补, 则 a 的值为( 27 A. 8 ) B.-2 C .2 27 D.- 8 )

x2 1 变式(1)已知曲线 y= -3ln x 的一条切线的斜率为- ,则切点的横坐标为( 4 2 A.3 B.2 C.1 1 D. 2

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新课标高中数学-选修 2-2 导学案
1 7 例 4.已知 f(x)=ln x,g(x)= x2+mx+ (m<0),直线 l 与函数 f(x),g(x)的图像都相切,且与 f(x)图像的切点为 2 2 (1,f(1)),则 m 等于( A.-1 ) B.-3 C.-4 D.-2

思想方法 方程思想在求解与导数的几何意义有关问题上的应用 15 例 5.若存在过点(1,0)的直线与曲线 y=x3 和 y=ax2+ x-9 都相切,则 a 等于( 4 25 A.-1 或- 64 21 B.-1 或 4 7 25 C.- 或- 4 64 ) D.1 )

7 D.- 或 7 4

1 1 变式.直线 y= x+b 与曲线 y=- x+ln x 相切,则 b 的值为( 2 2 A.2 【巩固训练】 一、选择题 1.函数 f(x)=(x+2a)(x-a)2 的导数为( A.2(x2-a2) B.2(x2+a2) ) C.-2 ) B.-1 1 C.- 2

C.3(x2-a2)

D.3(x2+a2)

2.若 f(x)=2xf′(1)+x2,则 f′(0)等于( A.2 B.0

D.-4 ) 2 D. 3

1 4 3.曲线 y= x3+x 在点(1, )处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( 3 3 2 A. 9 1 B. 9 1 C. 3

4.设函数 f(x)=g(x)+x2,曲线 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 y=2x+1,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1)) 处的切线的斜率为( A.2 ) 1 B. 4 C .4 1 D.- 2 )

5.设函数 f(x)在 R 上可导,f(x)=x2f′(2)-3x,则 f(-1)与 f(1)的大小关系是( A.f(-1)=f(1) B.f(-1)>f(1) C.f(-1)<f(1)

D.不确定 )

1+cos x π 6.设曲线 y= 在点( ,1)处的切线与直线 x-ay+1=0 平行,则实数 a 等于( sin x 2 A.-1 1 B. 2 C.-2 D .2

7.设曲线 y=sin x 上任一点(x,y)处切线的斜率为 g(x),则函数 y=x2g(x)的部分图像可以为(

)

3

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1 9.已知曲线 y1=2- 与 y2=x3-x2+2x 在 x=x0 处切线的斜率的乘积为 3,则 x0 的值为( x A.-2 B.2 1 C. 2 D.1 )

10.已知曲线方程 f(x)=sin2x+2ax(x∈R),若对任意实数 m,直线 l:x+y+m=0 都不是曲线 y=f(x)的切线, 则 a 的取值范围是( ) B.(-∞,-1)∪(0,+∞) D.a∈R 且 a≠0,a≠-1 )

A.(-∞,-1)∪(-1,0) C.(-1,0)∪(0,+∞)

11.已知 f(x)与 g(x)是定义在 R 上的两个可导函数,若 f(x),g(x)满足 f′(x)=g′(x),则 f(x)与 g(x)满足( A.f(x)=g(x) C.f(x)-g(x)为常数函数 B.f(x)=g(x)=0 D.f(x)+g(x)为常数函数

2 12.已知函数 f(x)= x3-2ax2-3x(a∈R),若函数 f(x)的图像上点 P(1,m)处的切线方程为 3x-y+b=0,则 m 3 的值为( 1 A.- 3 二、填空题 13.若曲线 y=2x2 的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直,则切线 l 的方程为________. 14.已知函数 f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)· (x-4)(x-5),则 f′(0)=________. 15.曲线 y=ln(2x)上任意一点 P 到直线 y=2x 的距离的最小值是________. 1 16.若以曲线 y= x3+bx2+4x+c (c 为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数,则实数 b 的取值范 3 围为________. 16.设曲线 y=sin x 上任一点(x,y)处切线的斜率为 g(x),则函数 y=x2g(x)的部分图像可以为( 17.求下列函数的导数. (1)y=x· tan x; (2)y=(x+1)(x+2)(x+3); (3)y=3sin 4x. ) ) 1 B.- 2 C. 1 3 1 D. 2

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