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北京市各地2015届高三上学期考试数学理试题分类汇编:函数


北京市各地 2015 届高三上学期考试数学理试题分类汇编 函数
一、选择题 1、(大兴区 2015 届高三上学期期末)下列函数中,既是偶函数,又在 (0, ??) 上是单调减函数的是 (A) y ? x 2 (C) y ? ln x ? 1
1

(B) y ? cos x (D) y ? ?2 x

?log 1 x,

x ? 0, 1 ? 3 2、(东城区 2015 届高三上学期期末)已知函数 f ( x ) ? ? 若 f (a ) ? ,则实数 a 的取 2 x ? ? 2 , x ? 0,
值范围是 (A) (?1,0) (C) (?1, 0)

( 3, ??)
( 3 , ??) 3

(B) (?1, 3) (D) ( ?1,

3 ) 3

3、(丰台区2015届高三上学期期末)已知函数 y ? logb ( x ? a)(b ? 0且b ? 1) 的图象如图所示, 那么函数 y ? a ? sin bx 的图象可能是

4、(海淀区 2015 届高三上学期期末)某堆雪在融化过程中,其体积V (单位: m )与融化时间 t (单位: h )近似满足函数关系:V (t ) ? H (10 ?

3

1 3 t ) ( H 为常数),其图象如图所示. 记此堆雪 10

从融化开始到结束的平均融化速度为 v(m3 / h) . 那么瞬时融化速度等于 v(m3 / h) 的时刻是图中的 (
V



O

t1 t2

t3 t4

100

t

(A) t1

(B) t 2

(C) t3

(D) t 4 )

5、(石景山区 2015 届高三上学期期末)下列函数中,在 (0, ? ?) 上单调递减的是( A. f (x) ? ln x B. f (x) ?( x ? 1 )
2

C. f ( x) ? x

3

D. f ( x ) ?

1 x ?1

6、 (石景山区 2015 届高三上学期期末)函数 f ( x ) 的定义域为 ? ?1,1? ,图象如图 1 所示;函数 g ( x ) 的定义域为 ? ?2,2? ,图象如图 2 所示,方程 f ( g ( x )) ? 0 有 m 个实数根,方程 g ( f ( x )) ? 0 有 n 个实数根,则 m ? n ? ( A.6 B. 8 ) C. 10 D. 12

1 ? 1 ?5 7、(北京四中 2015 届高三上学期期中)设 a ? 4 , b ? log 3 , c ? ? ? ,则 7 ?3?

1 3

1

(A) a ? b ? c (C ) a ? c ? b
8、(北京四中 2015 届高三上学期期中)函数 y ?

(B) b ? a ? c (D) b ? c ? a
cos 6 x 的图象大致为 2 x ? 2? x

(A)

(B)

(C )

(D)

?1 1, ? ?1 , x ? 9 、 ( 北 京 四 中 2015 届 高 三 上 学 期 期 中 ) 已 知 f ( x) ? ? x 若函数 ? ?ln x, 0 ? x ? 1,
k的 g ( x)? f ( x) ? k? x 只有一个零点,则 k

取值范围是 (A) ( ??, ?1) U (1, ??) (C) [0,1] (B) (?1,1) (D) ( ??, ?1] U[0,1]

10、(朝阳区 2015 届高三上学期期中)设函数 f ( x), g ( x) 满足下列条件: (1)对任意实数 x1 , x2 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? g ( x1 ? x2 ) ; (2) f (?1) ? ?1 , f (0) ? 0 , f (1) ? 1 . 下列四个命题:
? ① g (0) ? 1 ; ② g (2) ? 1 ; ③ f 2 ( x) ? g 2 ( x) ? 1 ;④当 n ? 2 , n ? N 时,? f ( x ) ? ? ? g ( x ) ? 的
n n

最大值为 1 . 其中所有正确命题的序号是( A. ①③ B. ②④ C. ②③④ ) D. ①③④
x

11、(东城区示范校 2015 届高三上学期综合能力测试)已知 f ?x? ? 4 实数 a 的值为 A. 0 B. -1 C. -2 D. -3

? x 2 ? a 有唯一的零点,则

2 ? ? x ? 4 x ? 3, x ? 0, 12、(东城区示范校 2015 届高三上学期综合能力测试)已知 f ? x ? ? ? 不等式 2 ? ?? x ? 2 x ? 3, x ? 0

f ?x ? a ? ? f ?2a ? x ? 在 ?a, a ? 1? 上恒成立,则实数 a 的取值范围是
A.

?? 2, 0?

B.

?? ?, 0?

C.

?0, 2?
1

D.

?? ?,

? 2?


13、(海淀区 2015 届高三上学期期中)设 a ? ( ) 3 , b ? log 2 (A) a ? b ? c (B) c ? a ? b (C) a ? c ? b

1 2

1 , c ? log2 3 ,则( 3
(D) c ? b ? a

14、 (海淀区 2015 届高三上学期期中) 已知函数 f ( x) ? ? 有三个不相等的实数根,则实数 a 的取值范围是( (A) [ , ??)

? ?? x, x ? 0, 若关于 x 的方程 f ( x) ? a( x ? 1) x , x ≥ 0. ? ?
) (D) (0, )

1 2

(B) (0, ??)

(C) (0,1)

1 2

二、填空题

1、(昌平区 2015 届高三上学期期末)已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ,有如下结论:
① ?x ? ? ?1,1? ,有 f (? x) ? f ( x) ;② ?x ? ? ?1,1? ,有 f (? x) ? ? f ( x) ; ③ ?x1, x2 ? ? ?1,1? ,有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0; x1 ? x2
x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? . 2 2 .(写出所有正确结论的序号)

④ ?x1 , x2 ? ? 0,1? ,有 f ( 其中正确结论的序号是

2、(东城区 2015 届高三上学期期末)已知函数 f ( x) 是 R 上的奇函数,且 f ( x ? 2) 为偶函数.若

f (1) ? 1 ,则 f (8) ? f (9) ?
3、(丰台区2015届高三上学期期末)设函数 y ? f ( x) 的定义域为 D,如果存在非零常数T,对于任 意 x ? D ,都有

f ( x ? T ) ? T ? f ( x) ,则称函数 y ? f ( x) 是“似周期函数”,非零常数T为函数 y ? f ( x) 的“似周
期”。现有下面四个关于“似周期函数”的命题: ①如果“似周期函数” y ? f ( x) 的“似周期”为 1,那么它是周期为2 的周期函数; ②函数 f ( x) ? x 是“似周期函数”; ③函数 f ( x) ? 2 ”是“似周期函数”; ④如果函数 f ( x) ? cos ? x 是“似周期函数”,那么“ ? ? k? , k ? ? ”. 其中真命题的序号是 ________(写出所有 满足条件的命题序号) ..
?x

?2 x ? 3, x ? 0, ? x ? 0,是奇函数, 4、 (朝阳区 2015 届高三上学期期中) 若 f ( x) ? ?0, 则 a +b 的值是_______. ?ax ? b , x ? 0 ?
5、(海淀区 2015 届高三上学期期中)已知函数 y ? 2 是 三、解答题 1、(大兴区 2015 届高三上学期期末)已知 f ( x) ? 3x2 ? e x ,函数 f ( x) 的零点从小到大依次为 xi ,
x?a

的图象关于 y 轴对称,则实数 a 的值

i ? 1, 2, ??? .
(Ⅰ)若 xi ? [m, m ? 1) ( m ? Z ),试写出所有的 m 值; (Ⅱ)若 g ( x) ?

1 3

x

e 2 , a1 ? g (0) , an ?1 ? g (an ) ,求证: a1 ? a2 ? ??? ? an ? x2 ;
x

(Ⅲ)若 h( x) ? ?

1 3

e 2 , b1 ? h(0) , bn ?1 ? h(bn ) ,试把数列{bn } 的前 2 n 项及 x1 按从小到大的顺

序排列。(只要求写出结果).

2 、( 西城区 2015 届高 三上 学期期 末)设 函数 f ( x) ? x(9 ? x) ,对于 任意给 定的 m 位自然数

n0 ? am am? 1

a 2a 1 ( 其 中 a1 是 个 位 数 字 , a 2 是 十 位 数 字 ,

),定义变换 A : , nk ? A(nk ?1 ) ,

A(n0 ) ? f (a1 ) ? f (a2 ) ?

? f (am ) . 并规定 A(0) ? 0 .记 n1 ? A(n0 ) , n2 ? A(n1 ) ,

. (Ⅰ)若 n0 ? 2015 ,求 n2015 ;
* m ?1 (Ⅱ)当 m ? 3 时,证明:对于任意的 m(m ? N ) 位自然数 n 均有 A(n) ? 10 ;

(Ⅲ)如果 n0 ? 10m (m ? N* , m ? 3) ,写出 nm 的所有可能取值. (只需写出结论)

参考答案
一、选择题 1、D 2、D

3、B 7、C 11、B

4、C 8、D 12、D

5、D 9、D 13、B

6、C 10、D 14、D

二、填空题 1、② ③ ④ 2、1

3、①③④

4、-1

5、0

三、解答题 1、解:(Ⅰ) f (?1) ? 3 ?

1 ? 0 , f (0) ? ?1 ? 0 , f (1) ? 3 ? e ? 0 , e

f (3) ? 33 ? e3 ? 0 , f (4) ? 48 ? e4 ? 0
所以 m ? ?1,0,3 ????3 分

(Ⅱ) g ( x) ?

1 3

e 2 , g( x)在 R 上单调递增,当 0 ? x ? 1 时,
1

x

0 ? g ( x) ? g (1) ?

e2 3

?1,

????1 分

2 由(Ⅰ)知, 0 ? x2 ? 1 , f ( x2 ) ? 3x2 ? e x2 ? 0 ,

即 g ( x2 ) ?

1 3

e 2 ? x2


x2

????2 分

所以 0 ? g (0) ? g ( x2 ) ? x2 ? g (1) ? 1

下面用数学归纳法证明 0 ? a1 ? a2 ? a3 ?

? an ? x2

由式①知, 0 ? a1 ? x2 ,所以 0 ? g (0) ? g (a1 ) ? g ( x2 ) , 即 0 ? a1 ? a2 ? x2 ,所以,当 n ? 1, 2 时,命题成立 假设 n ? k (k ? 2) 时命题成立,即

0 ? a1 ? a2 ? a3 ?

? ak ? x2



当 n ? k ? 1 时,由式②得

0 ? g (0) ? g (a1 ) ? g (a2 ) ? g (a3 ) ?
即 0 ? a1 ? a2 ? a3 ?

? g (ak ) ? g ( x2 )

? ak ? ak ?1 ? x2

当 n ? k ? 1 时,命题也成立, 所以 a1 ? a2 ? ??? ? an ? x2 ?7 分 (Ⅲ) h( x) ? ?

1 3

e2 , h ( x)在 R 上单调递减,由于 ?1 ? x1 ? 0 ,所以

x

?1 ? h(0) ? ?

1 ? h( x1 ) ? x1 ? 0 ,即 ?1 ? b1 ? x1 ? 0 ,可推出 3

?1 ? h(0) ? h( x1 ) ? h(b1 ) ? 0 ,即 ?1 ? b1 ? x1 ? b2 ? 0
进而可得 ?1 ? h(0) ? h(b2 ) ? h( x1 ) ? h(b1 ) ? 0 , 即 ?1 ? b1 ? b3 ? x1 ? b2 ? 0 ,又可得

?1 ? h(0) ? h(b2 ) ? h( x1 ) ? h(b3 ) ? h(b1 ) ? 0
即 ?1 ? b1 ? b3 ? x1 ? b4 ? b2 ? 0 ,所以用数学归纳法易证

b1 ? b3 ?

? b2n?1 ? x1 ? b2n ?

? b4 ? b2

????3 分

2、(Ⅰ)解: n1 ? 14 ? 0 ? 8 ? 20 ? 42 , n2 ? 20 ? 14 ? 34 , n3 ? 18 ? 20 ? 38 , n4 ? 18 ? 8 ? 26 ,

n5 ? 14 ? 18 ? 32 , n6 ? 18 ? 14 ? 32 ,??
所以 n2015 ? 32 . 证明:因为函数 ?????? 3 分(Ⅱ)

9 81 f ( x) ? x(9 ? x) ? ?( x ? )2 ? 2 4 ,

所以对于非负整数 x ,知 f ( x) ? x(9 ? x)≤20 . (当 x ? 4 或 5 时,取到最大值)? 4 分 因为 A(n) ? f (a1 ) ? f (a2 ) ? 所以 A(n)≤20m . 令 g (m) ? 10m?1 ? 20m ,则 g (3) ? 103?1 ? 20 ? 3 ? 0 . 当 m≥3 时, g (m ? 1) ? g(m) ? 10m ? 20(m ? 1) ? 10m?1 ? 20m ? 9 ?10m?1 ? 20 ? 0 , 所以 g (m ? 1) ? g(m) ? 0 ,函数 g (m) ,( m ? N ,且 m≥3 )单调递增. 故 g(m)≥g(3) ? 0 ,即 10m?1 ? 20m≥A(n) . 所以当 m≥3 时,对于任意的 m 位自然数 n 均有 A(n) ? 10m?1 . ???????9 分

? f (am ) ,
?????? 6 分

(Ⅲ)答: nm 的所有可能取值为 0,8,14,16,20,22,26,28,32,36,38. ???????14 分 3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、


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