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【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修1-2教案:第3章 拓展资料:例谈分析法在解题中的应用


例谈分析法在解题中的应用 分析法是数学中常用到的一种直接证明的方法,从推理的程序上来讲,它是一种从未知 到已知(从结论到题设)的逻辑推理方法,具体说,就是先假定问题的结论成立,再利用公 理、定义、定理和公式,经过正确的、严谨的一步步地推理,最后得到一个显然成立的关系, 即已证的命题或题设的已知条件,从而判定问题的结论成立。分析法的应用较广,通常在几 何、三角、不等式的证明中经常采用。举例说明。 例 1 下面是真命题还是假命题,用分析法证明你的结论。

b 2 ? ac 命题:若 a ? b ? c且a ? b ? c ? 0,则 ? 3。 a
解:此命题是真命题。 因为 a ? b ? c ? 0, a ? b ? c ,

? a ? 0, c ? 0 。

要证

b 2 ? ac ? 3 成立,只要证 b 2 ? ac ? 3a , a
2 2

即证 b ? ac ? 3a ,也就是证 (a ? c) 2 ? ac ? 3a 2 , 即证 (a ? c)(2a ? c) ? 0 因为 a ? c ? 0,2a ? c ? (a ? c) ? a ? b ? a ? 0 所以 (a ? c)(2a ? c) ? 0 成立。 故原不等式成立。 评注:应用分析法证题时,语气总是假定的,通常的语气有: “若要证明 A,则先证明 B; 若要证明 B, 则先证明 C, ??” 或 “若要 A 成立, 必先 B 成立; 若要 B 成立, 必先 C 成立, ??” 。 值得注意的是,在证明过程中从一个命题推到下一个命题时,必须注意它们之间的等效性。

例 2 求证:当一个圆和一个正方形的周长相等时,圆的面积比正方形的面积大。 证明:设圆正方形的周长为 l ,则圆的面积为 ? ( 因此,本题只须证明: ? (

l 2 l ) ,正方形的面积为 ( ) 2 。 2? 4

l 2 l ) ? ( )2 。 2? 4

-1-

为了证明上式成立,只须证明:

? ?l2 l2 ? , 4? 2 16

两边同乘以正数

4 1 1 ,得 ? 。 2 ? 4 l l 2 l ) ? ( )2 。 2? 4

因此,只须证明 4 ? ? 。 因为上式是成立的,所以 ? (

这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等,那么圆的面积比正方形的面积大。

例 3 已知 ?、? ? k? ?

?
2

(k ? Z ) ,且
① ②

sin ? ? cos ? ? 2 sin ?

sin ? ? cos? ? sin 2 ?
求证:

1 ? tan2 ? 1 ? tan2 ? 。 ? 1 ? tan2 ? 2(1 ? tan2 ? )

证明:因为 (sin? ? cos? ) 2 ? 2 sin ? cos? ? 1 , 所以将①、②两式代入上式,得: 4 sin 2 ? ? 2 sin 2 ? ? 1 ③

1 ? tan2 ? 1 ? tan2 ? 另一方面,要证 , ? 1 ? tan2 ? 2(1 ? tan2 ? )
sin 2 ? sin 2 ? 1 ? 1? cos2 ? cos2 ? ? 即证 , sin 2 ? sin 2 ? 1? 2(1 ? ) cos2 ? cos2 ?
即证 cos ? ? sin ? ?
2 2

1 (cos 2 ? ? sin 2 ? ) , 2

即证 1 ? 2 sin ? ?
2

1 (1 ? 2 sin 2 ? ) , 2

即证 4 sin

2

? ? 2 sin 2 ? ? 1 ,

由于上式与③式相同,于是问题得证。

-2-


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