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2013高考理科常用数学公式总结


飞越青春,超越梦想!

2013 年高考理科常用数学公式总结
1.德摩根公式 CU ( A ? B) ? CU A ? CU B; CU ( A ? B) ? CU A ? CU B . 2.

A ? B ? A ? A ? B ? B ? A ? B ? CU B ? CU A

? A ? CU B ? ?

? CU A ? B ? R 3. card ( A ? B) ? cardA ? cardB ? card ( A ? B) card ( A ? B ? C ) ? cardA ? cardB ? cardC ? card ( A ? B) ? card ( A ? B) ? card ( B ? C ) ? card (C ? A) ? card ( A ? B ? C ) .
4. 二 次 函 数 的 解 析 式 的 三 种 形 式 ① 一 般 式 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ; ② 顶 点 式 5.设 x1 ? x2 ? ?a, b?, x1 ? x2 那么

f ( x) ? a( x ? h) 2 ? k (a ? 0) ;③零点式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) .
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在? a, b ? 上是增函数; x1 ? x2
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在? a, b ? 上是减函数. x1 ? x2

( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ? ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?
则 f (x) 为减函数.

设函数 y ? f (x) 在某个区间内可导,如果 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 为增函数;如果 f ?( x) ? 0 , 6. 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 的 对 称 性 : ① 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 关 于 直 线 x ? a 对 称

? f ( a ? x) ? f ( a? x? f ( 2a ? x) ? f ( x. ② 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 关 于 直 线 ) ) a?b x? 对称 ? f (a ? mx) ? f (b ? mx) ? f (a ? b ? mx) ? f (mx) . 2 7.两个函数图象的对称性:①函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y a?b 轴)对称.②函数 y ? f (mx ? a) 与函数 y ? f (b ? mx) 的图象关于直线 x ? 对称. 2m ?1 ③函数 y ? f (x) 和 y ? f ( x) 的图象关于直线 y=x 对称.
8.分数指数幂 a n ?
m

1
n

a

m

( a ? 0, m, n ? N ,且 n ? 1 ).
?

?

a

m ? n

?

1
m n

( a ? 0, m, n ? N ,且 n ? 1 ).

a 9. loga N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) . n log m N n 10.对数的换底公式 log a N ? .推论 log a m b ? log a b . m log m a
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飞越青春,超越梦想! 11. an ? ?

n ?1 ?s1 , ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ). ?sn ? sn?1 , n ? 2

12.等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ;

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d 1 ? na1 ? d ? n 2 ? (a1 ? d )n . 2 2 2 2 a n n ?1 * 13.等比数列的通项公式 an ? a1q ? 1 ? q (n ? N ) ; q
其前 n 项和公式 sn ?

? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? an q ,q ?1 ,q ?1 ? ? 其前 n 项的和公式 sn ? ? 1 ? q 或 sn ? ? 1 ? q . ?na , q ? 1 ? na , q ? 1 ? 1 ? 1
14.等比差数列 ?an ? : an?1 ? qan ? d , a1 ? b(q ? 0) 的通项公式为

?b ? (n ? 1)d , q ? 1 ? an ? ? bq n ? (d ? b)q n ?1 ? d ; ,q ?1 ? q ?1 ? ?nb ? n(n ? 1)d , q ? 1 ? 其前 n 项和公式为 sn ? ? . d 1 ? qn d (b ? ) ? n, q ? 1 ? 1? q q ?1 1? q ?

ab(1 ? b) n 元(贷款 a 元, n 次还清,每期利率为 b ). (1 ? b) n ? 1 sin ? 2 2 16.同角三角函数的基本关系式 sin ? ? cos ? ? 1 , tan ? = , tan ? ? cot? ? 1 . cos ?
15.分期付款(按揭贷款) 每次还款 x ? 17.正弦、余弦的诱导公式
n ? n? ?(?1) 2 sin ? , sin( ? ? ) ? ? n ?1 2 ?(?1) 2 co s ? , ?

α 为偶数 α 为奇数 α 为偶数 α 为奇数

? n? ?(?1) co s ? , co s( ? ? ) ? ? n ?1 2 ?(?1) 2 sin ? , ?
n 2

18.和角与差角公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? . 1 ? tan ? tan ?
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sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin 2 ? (平方正弦公式);
2

cos(? ? ? )cos(? ? ? ) ? cos2 ? ? sin 2 ? .
a sin ? ? b cos ? = a 2 ? b2 sin(? ? ? ) ( 辅 助 角 ? 所 在 象 限 由 点 ( a, b) 的 象 限 决 b 定, tan ? ? ). a 19.二倍角公式 sin 2? ? sin ? cos ? . 2 tan ? cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? . tan 2? ? . 1 ? tan 2 ? 20.三角函数的周期公式 函数 y ? sin(? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) ,x∈R(A,
ω , ? 为 常 数 , 且 A ≠ 0 , ω > 0) 的 周 期 T ?

2?

x ? k? ?

?
2

?

? ) ; 函 数 y ? t a n (x ?? ,
? . ?

, k ? Z (A,ω , ? 为常数,且 A≠0,ω >0)的周期 T ?

a b c ? ? ? 2R . sin A sin B sin C a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ; b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B ; 22. 余 弦 定 理 c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C . 1 1 1 23.面积定理(1) S ? aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2 1 1 1 (2) S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2 ??? ??? 2 ??? ??? 2 ? ? ? ? 1 (| OA | ? | OB |) ? (OA ? OB ) . (3) S ?OAB ? 2
21.正弦定理 24.三角形内角和定理 在△ABC 中,有

A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B) ?
25.平面两点间的距离公式

C ? A? B ? ? ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) . 2 2 2

??? ? ??? ??? ? ? d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).

26.向量的平行与垂直 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则 a ? b ? b=λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . a ? b(a ? 0) ? a·b=0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 27.线段的定比分公式 设 P ( x1 , y1 ) , P ( x2 , y2 ) , P ( x, y ) 是线段 PP 的分点, ? 是实数, 1 2 1 2 且 PP ? ? PP ,则 1 2

??? ?

????

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x1 ? ? x2 ? ???? ???? ??? ??? ? ? ???? ??? OP ? ? OP ? ?x ? 1 ? ? 1 ? 1 2 ). ? OP ? ? OP ? tOP ? (1? t )OP ( t ? ? 1 2 y1 ? ? y2 1? ? 1? ? ?y ? ? 1? ? ? 28.三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 )、 2 ,y2 )、 3 ,y3 ), B(x C(x

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ). 3 3 ' ???? ??? ???? ? ? x' ? x ? h ? ? ?x ? x ? h ?? 29.点的平移公式 ? ' ? OP' ? OP ? PP' (图形 F 上的任意一点 ' ?y ? y ? k ?y ? y ? k ? ? ???? ' P(x,y)在平移后图形 F 上的对应点为 P' ( x ' , y ' ) ,且 PP' 的坐标为 ( h, k ) ).
则△ABC 的重心的坐标是 G ( 30.常用不等式: (1) a, b ? R ? a ? b ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号).
2 2

a?b ? ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2 (3) a3 ? b3 ? c3 ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0).
(2) a, b ? R ? ? (4)柯西不等式 (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 , a, b, c, d ? R. (5) a ? b ? a ? b ? a ? b 31.极值定理 已知 x, y 都是正数,则有 (1)如果积 xy 是定值 p ,那么当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ;

1 2 s . 4 2 2 32. 一 元 二 次 不 等 式 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (a ? 0, ? ? b ? 4ac ? 0) , 如 果 a 与
(2)如果和 x ? y 是定值 s ,那么当 x ? y 时积 xy 有最大值

ax 2 ? bx ? c 同号,则其解集在两根之外;如果 a 与 ax 2 ? bx ? c 异号,则其解集在两根
之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.

x1 ? x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) ; x ? x1 , 或x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) .
33.含有绝对值的不等式 当 a> 0 时,有

x ? a ? x 2 ? a ? ?a ? x ? a .
2

x ? a ? x2 ? a2 ? x ? a 或 x ? ?a .
34.无理不等式(1)

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ?

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飞越青春,超越梦想! (2)

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? . f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? g ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? 0 ? . f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ?

(3)

35.指数不等式与对数不等式 (1)当 a ? 1 时,

a

f ( x)

?a

g ( x)

? f ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? g ( x) ; log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? g ( x) ; log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

(2)当 0 ? a ? 1 时,

a

f ( x)

?a

g ( x)

36.斜率公式 k ?

y2 ? y1 ( P ( x1 , y1 ) 、 P ( x2 , y2 ) ). 1 2 x2 ? x1

37.直线的四种方程 (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). 1 (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). (3)两点式 (4)一般式

y ? y1 x ? x1 ( y1 ? y2 )( P ( x1 , y1 ) 、 P ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )). ? 1 2 y2 ? y1 x2 ? x1 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).

38.两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y ? k1x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ① l1 ? l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ;② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . (2)若 l1 : A x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零, 1

A1 B1 C1 ;② l1 ? l2 ? A A2 ? B1B2 ? 0 ; ? ? 1 A2 B2 C2 k ? k1 39.夹角公式 tan ? ?| 2 | .( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1) 1 ? k2 k1 A B ? A2 B1 tan ? ? 1 2 ( l1 : A x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A A2 ? B1B2 ? 0 ). 1 1 A1 A2 ? B1 B2 ? 直线 l1 ? l2 时,直线 l1 与 l2 的夹角是 . 2 | Ax0 ? By0 ? C | 40.点到直线的距离 d ? (点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ). A2 ? B 2
① l1 ? l2 ?
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飞越青春,超越梦想! 41. 圆的四种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . (2)圆的一般方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F >0).
2 2

(3)圆的参数方程 ?

? x ? a ? r cos? . ? y ? b ? r sin ?
圆 ( x ? x ) ( x? x )? ( y? 1y ) ( y? 2y )? (0 的 直 径 的 端 点 是 1 2

(4)圆的直径式方程

A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ).
42.椭圆

? x ? a cos? x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程是 ? . 2 a b ? y ? b sin ?

x2 y 2 a2 a2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 焦半径公式 PF1 ? e( x ? ) , PF2 ? e( ? x) . 43.椭圆 2 a b c c 2 2 x y 44.双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦半径公式 a b a2 a2 PF1 ?| e( x ? ) | , PF2 ?| e( ? x) | . c c 2 y 45.抛物线 y 2 ? 2 px 上的动点可设为 P ( ? , y? ) 或 P(2 pt 2 ,2 pt)或 P ( x? , y? ) ,其中 2p

y?2 ? 2 px? .
46.二次函数 y ? ax ? bx ? c ? a( x ?
2

b 2 4ac ? b2 ) ? (a ? 0) 的图象是抛物线: (1)顶点坐 2a 4a b 4ac ? b2 b 4ac ? b 2 ? 1 , ) ; 2 ) 焦 点 的 坐 标 为 (? , ) ; 3)准线方程是 标 为 (? ( ( 2a 4a 2a 4a 4ac ? b 2 ? 1 y? . 4a
( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 或
( 弦 端 点

47.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB ?

AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ?| x1 ? x2 | 1 ? tan 2 ? ?| y1 ? y2 | 1 ? co t 2 ?
A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,由方程 ?

?y ? kx ? b 2 消去 y 得到 ax ? bx ? c ? 0 , ? ? 0 , ? 为 ?F( x, y) ? 0

直线 AB 的倾斜角, k 为直线的斜率). 48.圆锥曲线的两类对称问题: (1)曲线 F ( x, y) ? 0 关于点 P( x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 F (2 x0 -x, 2 y0 ? y) ? 0 . (2)曲线 F ( x, y) ? 0 关于直线 Ax ? By ? C ? 0 成轴对称的曲线是

F (x ?

2 A( Ax ? By ? C ) 2 B( Ax ? By ? C ) ,y? ) ?0. 2 2 A ?B A2 ? B 2
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飞越青春,超越梦想! 49. “四线” 一方程 对于一般的二次曲线 Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 , x0 x 代 用

x0 y ? xy0 x ?x y ?y 代 xy ,用 0 代 x ,用 0 代 y 即得方程 2 2 2 x y ? xy0 x ?x y ?y Ax0 x ? B ? 0 ? Cy0 y ? D ? 0 ?E? 0 ? F ? 0 ,曲线的切线,切点弦,中点 2 2 2

x 2 ,用 y0 y 代 y 2 ,用

弦,弦中点方程均是此方程得到. 50.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b≠0 ),a∥b ? 存在实数λ 使 a=λ b. 51.对空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C,满足 OP ? xOA ? yOB ? zOC , 则四点 P、A、B、C 是共面 ? x ? y ? z ? 1 . 52. 空间两个向量的夹角公式 cos a, = 〈 b〉 b= (b1 , b2 , b3 ) ).

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

a1b1 ? a2b2 ? a3b3
2 2 2 a ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32 2 1

(a= (a1 , a2 , a3 ) ,

??? ?? ? AB ? m ?? ? 53.直线 AB 与平面所成角 ? ? arc sin ??? ?? ( m 为平面 ? 的法向量). | AB || m | ?? ? ?? ? ?? ? m?n m?n 54.二面角 ? ? l ? ? 的平面角 ? ? arc cos ?? ? 或 ? ? arc cos ?? ? ( m ,n 为平面 | m || n | | m || n | ? , ? 的法向量). 55.设 AC 是α 内的任一条直线,且 BC⊥AC,垂足为 C,又设 AO 与 AB 所成的角为 ? 1 ,AB 与
AC 所成的角为 ? 2 ,AO 与 AC 所成的角为 ? .则 cos? ? cos?1 cos? 2 . 56.若夹在平面角为 ? 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 ? 1 , ? 2 ,与二面 角的棱所成的角是θ ,则有 sin2 ? sin2 ? ? sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? 2sin?1 sin? 2 cos? ;

| ?1 ??2 |? ? ? 180? ? (?1 ??2 ) (当且仅当 ? ? 90? 时等号成立).
57.空间两点间的距离公式 若 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则

??? ? ??? ??? ? ? d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 .

58.点 Q 到直线 l 距离 h ? a= PA ,向量 b= PQ ).

??? ?

??? ?

1 (| a || b |)2 ? (a ? b)2 (点 P 在直线 l 上,直线 l 的方向向量 |a|

??? ?? ? ? ? | CD ? n | ? ( l1 , l2 是两异面直线,其公垂向量为 n , C、D 分别是 59.异面直线间的距离 d ? |n| l1 , l2 上任一点, d 为 l1 , l2 间的距离). ??? ?? ? ? | AB ? n | ? ? 60.点 B 到平面 ? 的距离 d ? ( n 为平面 ? 的法向量, AB 是经过面 ? 的一条斜 |n| 线, A ? ? ).
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飞越青春,超越梦想! 61.异面直线上两点距离公式 d ? d 2 ? m2 ? n2 ? 2mn cos? (两条异面直线 a、b 所成的角为θ ,其公垂线段 AA 的长度为 h.在直线 a、b 上分别取两
' 点 E、F, A E ? m , AF ? n , EF ? d ).
'

2 2 62. l 2 ? l12 ? l2 ? l3 ? cos2 ?1 ? cos2 ? 2 ? cos2 ?3 ? 1

(长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 l1、l2、l3 ,夹角分别为 (立几中长方体对角线长的公式是其特例). ?1、?2、?3 )

S' 63. 面积射影定理 S ? cos?
(平面多边形及其射影的面积分别是 S 、 S ,它们所在平面所成锐二面角的为 ? ). 64.欧拉定理(欧拉公式) V ? F ? E ? 2 (简单多面体的顶点数 V、棱数 E 和面数 F)
'

4 ? R 3 ,其表面积是 S ? 4? R2 . 3 66.分类计数原理(加法原理) N ? m1 ? m2 ? ? ? mn .
65.球的半径是 R,则其体积是 V ? 67.分步计数原理(乘法原理) N ? m1 ? m2 ??? mn .

n! * .( n , m ∈N ,且 m ? n ). (n ? m)! n m m m m m m An ?1 ;(3) An ? nAn??1 ; (4) 69.排列恒等式 (1) An ? (n ? m ? 1) An ?1 ; (2) An ? 1 n?m n n?1 n m m m nAn ? An?1 ? An ;(5) An?1 ? An ? mAn ?1 .
m 68.排列数公式 An = n(n ? 1)?(n ? m ? 1) =

m 70.组合数公式 C n =

Anm n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) n! * = = ( n , m ∈N ,且 m ? n ). m 1? 2 ? ? ? m m!(n ? m)! ? Am

m n m m m C n = C n ?m ;(2) C n + Cn ?1 = Cn?1 n ? m ? 1 m ?1 n n m m m m m Cn ;(2) Cn ? Cn ?1 ;(3) Cn ? Cn ??1 ; 72.组合恒等式(1) Cn ? 1 m n?m m

71.组合数的两个性质(1)

(4)

?C
r ?0

n

r n

= 2 ;(5) Cr ? Cr ?1 ? Cr ?2 ? ? ? Cn ? Cn?1 .
n

r

r

r

r

r ?1

m 73.排列数与组合数的关系是: An ? m ? Cn . ! m

0 1 2 r n 74.二项式定理 (a ? b) n ? Cn a n ? Cn a n?1b ? Cn a n?2b 2 ? ? ? Cn a n?r b r ? ? ? Cn b n ; r 1, 二项展开式的通项公式: Tr ?1 ? Cn a n?r b r (r ? 0,2?,n) .

75.等可能性事件的概率 P ( A) ?

m . n

76.互斥事件 A,B 分别发生的概率的和 P(A+B)=P(A)+P(B). 77. n 个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1+A2+?+An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An).
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飞越青春,超越梦想! 78.独立事件 A,B 同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B). 79.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An).
k 80.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 P (k ) ? Cn Pk (1 ? P)n?k . n

81.离散型随机变量的分布列的两个性质: (1) P ? 0(i ? 1, 2,?) ;(2) P ? P ? ? ? 1 . i 1 2 82.数学期望 E? ? x1P ? x2 P ? ? ? xn P ? ? 1 2 n 83.数学期望的性质: (1) E (a? ? b) ? aE (? ) ? b ; (2)若 ? ~ B(n, p) ,则 E? ? np . 84.方差 D? ? ? x1 ? E? ? ? p1 ? ? x2 ? E? ? ? p2 ? ? ? ? xn ? E? ? ? pn ? ?
2 2 2

85.标准差 ?? = D? . 86.方差的性质(1) D ?? ? ? E? ? (E? ) ;(2) D ? a? ? b? ? a D? ; (3)若 ? ~ B(n, p) ,
2 2 2

则 D? ? np(1 ? p) .
? 1 e 87.正态分布密度函数 f ? x ? ? 2??

? x ? ? ?2
2? 2

, x ? ? ??, ?? ? 式中的实数μ ,? ( ? >0)是
2

参数,分别表示个体的平均数与标准差.
x ? 1 88.标准正态分布密度函数 f ? x ? ? e 2 , x ? ? ??, ?? ? . 2?? ? x?? ? 89.对于 N (?, ? 2 ) ,取值小于 x 的概率 F ? x ? ? ? ? ?. ? ? ? P?x1 ? x0 ? x2 ? ? P?x ? x2 ? ? P?x ? x1 ? ? F ? x2 ? ? F ? x1 ?

? x ?? ? ? x1 ? ? ? ? ?? 2 ? ??? ?. ? ? ? ? ? ?
n n ? ? xi ? x ?? yi ? y ? ? xi yi ? nx y ? ? ?b ? i ?1 n ? i ?1n ? ? ? a ? bx ,其中 ? . 2 y ? ? xi ? x ? ? xi 2 ? nx 2 ? i ?1 i ?1 ? a ? y ? bx ? ?

90.回归直线方程

91.相关系数

r?

? ? xi ? x ?? yi ? y ?
i ?1

n

? (x ? x ) ? ( y ? y)
2 i ?1 i i ?1 i
n

n

n

?
2

? ? x ? x ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

.
n 2 2 2 i ?1

(? xi ? nx )(? yi ? ny )
2 i ?1

n

|r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越接近于 0,相关程度越小.

?0 ? 92.特殊数列的极限 (1) lim q ? ?1 n ?? ?不存在 ?

| q |? 1 q ?1 | q |? 1或q ? ?1
.

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?0 ? a n ? ak ?1n ? ? ? a0 ? at (2) lim k t ?? n ?? b n ? b n t ?1 ? ? ? b t t ?1 0 ? bk ?不存在 ?
k k ?1

(k ? t ) (k ? t ) . (k ? t )

(3) S ? lim
x ? x0

a1 1 ? q n 1? q

?

n ??

??

a1 1? q

( S 无穷等比数列

?a q ?
n ?1 1

( | q |? 1 )的和).

93. lim f ( x) ? a ? lim? f ( x) ? lim? f ( x) ? a .这是函数极限存在的一个充要条件.
x ? x0 x ? x0

94.函数的夹逼性定理 如果函数 f(x),g(x),h(x)在点 x0 的附近满足: (1) g ( x) ? f ( x) ? h( x) ;(2) lim g ( x) ? a, lim h( x) ? a (常数),则 lim f ( x) ? a .
x ? x0 x ? x0 x ? x0

本定理对于单侧极限和 x ? ? 的情况仍然成立.

sin x ? 1? ? 1; 95.两个重要的极限 (1) lim (2) lim ?1 ? ? ? e (e=2.718281845?). x ?0 x ?? x ? x?
96. f (x) 在 x0 处的导数(或变化率或微商)

x

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim . ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x ?s s (t ? ?t ) ? s (t ) ? lim 97.瞬时速度 ? ? s?(t ) ? lim . ?t ?0 ?t ?t ? 0 ?t ?v v(t ? ?t ) ? v(t ) ? lim 98.瞬时加速度 a ? v?(t ) ? lim . ?t ? 0 ?t ?t ? 0 ?t dy df ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ? lim ? lim 99. f (x) 在 ( a, b) 的导数 f ?( x ) ? y ? ? . dx dx ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x 100.函数 y ? f (x) 在点 x0 处 的导数是曲 线 y ? f (x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线 的斜率 f ?( x0 ) ? y?
x ? x0

? lim

f ?( x0 ) ,相应的切线方程是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) .
101.几种常见函数的导数 (1) C ? ? 0 (C 为常数). (2) ( xn ) ? nx
'

(n ? Q) . (3) (sin x)? ? cos x . (4) (cosx)? ? ? sin x . 1 1 e x (5) (ln x )? ? ; (log a )? ? log a . x x x x x x (6) (e )? ? e ; (a )? ? a ln a .
' ' 102.复合函数的求导法则 设函数 u ? ? ( x) 在点 x 处有导数 ux ? ? ( x) , 函数 y ? f (u ) 在

n?1

' ' 点 x 处的对应点 U 处有导数 yu ? f (u) ,则复合函数 y ? f (? ( x)) 在点 x 处有导数,且

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f (? ( x)) ? f ' (u)? ' ( x) . 103.可导函数 y ? f (x) 的微分 dy ? f ?( x)dx . 104. a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d .( a, b, c, d ? R ) y ? y ?u
' x ' u ' x ,或写作 ' x

105.复数 z ? a ? bi 的模(或绝对值) | z | = | a ? bi | = a 2 ? b2 . 106.复数的四则运算法则 (1) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (2) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (3) (a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ; (4) (a ? bi ) ? (c ? di ) ?

ac ? bd bc ? ad ? i (c ? di ? 0) . c2 ? d 2 c2 ? d 2
( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ( z1 ? x1 ? y1i ,

107.复平面上的两点间的距离公式 d ?| z1 ? z2 |?

z2 ? x2 ? y2i ).

108.向量的垂直 非零复数 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di 对应的向量分别是 OZ1 , OZ2 ,则

???? ?

???? ?

???? ???? ? ? z OZ1 ? OZ2 ? z1 ? z2 的实部为零 ? 2 为纯虚数 ? | z1 ? z2 |2 ?| z1 |2 ? | z2 |2 z1

? | z1 ? z2 |2 ?| z1 |2 ? | z2 |2 ? | z1 ? z2 |?| z1 ? z2 | ? ac ? bd ? 0 ? z1 ? ?iz2 (λ 为非
零实数). 109. 实 系 数 一 元 二 次 方 程 的 解 实 系 数 一 元 二 次 方 程 ax ? bx ? c ? 0 , ① 若
2

b ?b ? b2 ? 4ac 2 ;②若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 x1 ? x2 ? ? ; 2a 2a 2 ③若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,它在实数集 R 内没有实数根;在复数集 C 内有且仅有两个共轭

? ? b2 ? 4ac ? 0 ,则 x1,2 ?

复数根 x ?

?b ? ?(b2 ? 4ac)i 2 (b ? 4ac ? 0) . 2a

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