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【师说】2015高考雄关漫道(新课标)数学(文)全程复习构想课件:1.8 对数与对数函数


1.8 对数与对数函数

考点梳理 1.对数的概念 (1)对数的定义 如果___________________ ax=N(a>0 且 a≠1) ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的 x=logaN ,其中 _______ a 叫做对数的底数, 对数,记作 ___________ N _______ 叫做真数.

(2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 logaN 一般对数 底数为 a(a>0 且 a≠1) ________ 10 lgN ________ 常用对数 底数为________ e ________ 自然对数 底数为________ lnN

2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 N N ①a loga N =________ ;② log a a>0 且 a≠1). N a =________( (2)对数的重要公式 logaN logbN= logab a, ①换底公式: ______________( b 均大于零且不等于 1); 1 logad ②logab= ,推广 logab· logbc· logcd=________. logba

(3)对数的运算法则 如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 logaM+logaN ; ①loga(MN)=_______________ M logaM-logaN ; ②loga =____________ N nlogaM ③logaMn=____________( n∈R); n n ④logamM = logaM. m

3.对数函数的图象与性质 a>1 图象

0<a<1

(1)定义域:___________ (0,+∞) R (2)值域:___________ (3)过点_____ (1,0) ,即 x=_____ 1 时,y=_____ 0 性质 (4)当 x>1 时,_______ y>0 (4)当 x>1 时,_______ y<0 y>0 当 0<x<1 时,_______ _______ y<0 当 0<x<1 时, (5)是(0,+∞)上的 (5)是(0,+∞)上的增函数 _____ 减函数 _____

4.反函数 y=logax 互为反函数,它 指数函数 y=ax 与对数函数____________ 们的图象关于直线____________ 对称. y=x

考点自测 1.设 a=log54,b=(log53)2,c=log45,则( A.a<c<b B.b<c<a C.a<b<c D.b<a<c

)

答案:D

1 2.函数 f(x)= 的定义域为( 2 log2?-x +4x-3? A.(1,2)∪(2,3) B.(-∞,1)∪(3,+∞) C.(1,3) D.[1,3]
2 ? ?-x +4x-3>0, 解析:解? 2 ? ?-x +4x-3≠1

)

得 x∈(1,2)∪(2,3).故应选

A. 答案:A

3.当 a>1 时,在同一坐标系中,函数 y=a-x 与 y=logax 的图象是( )

A

B

C

D

解析:a>1 时的 y=ax 的图象关于 y 轴的对称图象就是 y =a-x.再画出 y=logax 观察易得应选 A. 答案:A

4.已知函数 y=f(x)的图象与函数 y=2-x-1 的图象关于 直线 y=x 对称,则 f(3)的值为( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2

解析:令 2-x-1=3,得 x=-2,∴f(3)=-2. 答案:D

lg2+lg5-lg8 5. =__________. lg50-lg40

2×5 5 lg lg 8 4 解析:原式= = =1. 50 5 lg lg 40 4 答案:1

疑点清源 1.对数函数的性质的拓展 (1)比较同底数的两个对数值的大小,例如比较 logaf(x)与 logag(x)的大小,其中 a>0 且 a≠1. ①若 a>1,f(x)>0,g(x)>0; 则 logaf(x)>logag(x)?f(x)>g(x)>0. ②若 0<a<1,f(x)>0,g(x)>0; 则 logaf(x)>logag(x)?0<f(x)<g(x).

(2)同真数的对数值大小关系如图:

则 0<c<d<1<a<b.

2.解对数方程的基本思路是化为代数方程,常见的可解 类型有 (1)形如 logaf(x)=logag(x)(a>0 且 a≠1)的方程,化成 f(x) =g(x)求解; (2)形如 F(logax)=0 的方程,换元法求解; (3)形如 logf(x)g(x)=c 的方程, 化成指数式[f(x)]c=g(x)求解.

题型探究 题型一 对数的运算 例 1.计算: (1)log 2+ 3 (2- 3); 1 32 4 (2) lg - lg 8+lg 245. 2 49 3

解析:(1)利用对数定义求值: 设 log2+ 3(2- 3)=x, 1 x 则(2+ 3) =2- 3= =(2+ 3)-1, 2+ 3 ∴x=-1.

1 4 1 1 2 (2)原式= (lg32-lg49)- lg8 + lg245 2 3 2 1 4 3 1 = (5lg2-2lg7)- × lg2+ (2lg7+lg5) 2 3 2 2 5 1 = lg2-lg7-2lg2+lg7+ lg5 2 2 1 1 1 = lg2+ lg5= lg(2×5) 2 2 2 1 1 = lg10= . 2 2

点评: ①在对数运算中, 先利用幂的运算把底数或真数进 行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后再运 用对数运算法则化简合并, 在运算中要注意化同底和指数与对 数互化. ②熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒 等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧.

变式探究 1 求下列各式的值. (1)[(1-log63)2+log62· log618]÷ log64; (2)(lg5)2+lg50· lg2.

解 析 : (1) 原 式 = [1 - 2log63 + (log63)2 + 6 log6 · log (6×3)]÷ log64 3 6 =[1-2log63+(log63)2+(1-log63)(1+log63)]÷ log64 =[1-2log63+(log63)2+1-(log63)2]÷ log64 2?1-log63? = 2log62 log66-log63 = log62 log62 = =1. log62

10 (2)原式=(lg5) +lg(10×5)lg 5 =(lg5)2+(1+lg5)(1-lg5) =(lg5)2+1-(lg5)2 =1.
2

题型二 比较对数值的大小 例 2.比较下列各组数的大小. 2 6 (1)log3 与 log5 ; 3 5 (2)log1.10.7 与 log1.20.7; (3)已知 log 1 b<log 1 a<log 1 c,比较 2b,2a,2c 的大小关系.
2 2 2

2 解析:(1)∵log3 <log31=0, 3 6 2 6 而 log5 >log51=0,∴log3 <log5 . 5 3 5 (2)方法一:∵0<0.7<1,1.1<1.2, ∴0>log0.71.1>log0.71.2, 1 1 ∴ < , log0.71.1 log0.71.2 即由换底公式可得 log1.10.7<log1.20.7.

方法二:作出 y=log1.1x 与 y=log1.2x 的图象. 如图所示两图象与 x=0.7 相交可知 log1.10.7<log1.20.7. (3)∵y=log 1 x 为减函数,
2

且 log 1 b<log 1 a<log 1 c, ∴b>a>c,而 y=2x 是增函数,∴2b>2a>2c.
2 2 2

点评: 比较对数式的大小, 或证明等式问题是对数中常见 题型, 解决此类问题的方法很多, ①当底数相同时可直接利用 对数函数的单调性比较;②若底数不同,真数相同,可转化为 同底(利用换底公式)或利用对数函数图象,数形结合解得;③ 若不同底,不同真数,则可利用中间量进行比较.

b 变式探究 2 若 a >b>a>1,则 logb ,logab,logba 从 a 小到大的依次排列为__________.
2

解析:∵b>a>1,∴logab>logaa=1. b 2 同理 logba<1.又 a >b,∴ <a. a b ∴logb <logba<1<logab. a b 答案:logb <logba<logab a

题型三 复合型对数函数的定义域与值域 例 3.已知函数 f(x)=lg(ax2+2x+1). (1)若 f(x)的值域为 R,求实数 a 的取值范围; (2)若 f(x)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围.

解析:如图所示

(1)若 f(x)的值域为 R, 所以要求 u=ax2+2x+1 的值域包括(0,+∞). 当 a<0 时,这不可能; 当 a=0 时,u=2x+1∈R 成立; 当 a>0 时,u=ax2+2x+1 要包括(0,+∞), ? ?a>0, 须? ?0<a≤1. ? ?Δ=4-4a≥0 综上所述知 0≤a≤1.

(2)要使 f(x)的定义域为 R, 只要使 u=ax2+2x+1 的值域为正值, ? ?a>0, ∴? ?a>1. ? ?Δ=4-4a<0, 所以当 a>1 时,f(x)的定义域为 R. 点评:若 y=logaf(x)的定义域为 R,则 f(x)>0 对 x∈R 恒 成立;若 y=logaf(x)的值域为 R,则 f(x)能取遍大于 0 的所有 实数.

变式探究 3 对于函数 f(x)=log 1 (x2-2ax+3),填写下
2

列问题的答案: (1) 若 函 数 的 定 义 域 为 R , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 __________. (2) 若 函 数 的 值 域 为 R , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ____________. (3)若函数在[-1,+∞)上有意义,则实数 a 的取值范围 是______________. (4)若函数的值域为(-∞,-1],则实数 a 的所有取值是 ______________.

解析:设 u=g(x)=x2-2ax+3=(x-a)2+3-a2. (1)∵u>0,对 x∈R 恒成立,∴umin=3-a2>0. 故答案为(- 3, 3). (2)log 1 u 的值域为 R?u=g(x)能取遍(0,+∞)的一切值, 因此 umin=3-a2≤0, 故答案为(-∞,- 3]∪[ 3,+∞).
2

(3)函数 f(x)在[-1,+∞)上有意义 ?u=g(x)>0 对 x∈[-1,+∞)恒成立, 因此应按 g(x)的对称轴 x=a 分类,则得: ? ? ?a<-1 ?a≥-1 ? 或? 2 ? ? ?g?-1?>0 ?△=4a -12<0 解这两个不等式组得 a∈(-2, 3). (4)∵函数 f(x)的值域为(-∞,-1], ∴g(x)的值域是[2,+∞), 因此要求 g(x)能取遍[2,+∞)的一切值(而且不能多取), 由于 g(x)是连续函数, 所以命题等价于[g(x)]min=3-a2=2, 故 a=± 1.

题型四 复合型对数函数的单调性 例 4.已知函数 f(x)=log2(x2-ax-a)在区间(-∞,1- 3] 上是单调递减函数.求实数 a 的取值范围.

2 a a 解析:令 g(x)=x2-ax-a,则 g(x)=(x- )2-a- , 2 4 a 由以上知, g(x)的图象关于直线 x= 对称且此抛物线开口 2 向上. 因为函数 f(x)=log2g(x)的底数 2>1, 在区间(-∞,1- 3]上是减函数,

所以 g(x)=x2-ax-a 在区间(-∞,1- 3]上也是单调递 减函数,且 g(x)>0. a ? ? ?1- 3≤ , ?a≥2-2 3, 2 所以? 即? 2 ? ? 1 - 3 ? -a?1- 3?-a>0. ? ? ?g?1- 3?>0, 解得 2-2 3≤a<2. 故 a 的取值范围是{a|2-2 3≤a<2}.

点评: 与对数函数复合而成的函数特别要注意复合函数单 调性的判定方法和定义域, 在本例中, 函数在已知区间上为减 函数,则得两个信息:①在(-∞,1- 3]上有意义,可得 g(1 - 3)>0;②g(x)=x2-ax-a 在(-∞,1- 3]上为减函数, a 可得 1- 3≤ .定义域优先和准确利用单调性是解决此类问 2 题的关键.

变式探究 4 已知函数 f(x)=loga(2-ax), 是否存在实数 a, 使函数 f(x)在[0,1]上是关于 x 的减函数,若存在,求 a 的取值 范围.

解析:∵a>0,且 a≠1, ∴u=2-ax 在[0,1]上是关于 x 的减函数. 又 f(x)=loga(2-ax)在[0,1]上是关于 x 的减函数, ∴函数 y=logau 是关于 u 的增函数,且对 x∈[0,1]时,u =2-ax 恒为正数. ? ?a>1, 其充要条件是? 即 1<a<2. ? ?2-a>0 ∴a 的取值范围是(1,2).

名师归纳 ?方法与技巧 1. 指数式 ab=N 与对数式 logaN=b 的关系以及这两种形 式的互化是对数运算法则的关键. 2.指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算,对于 指数式的和、 差应充分运用恒等变形和乘法公式; 对数运算的 实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积. 3 .注意对数恒等式、对数换底公式及等式 logambn = n 1 · logab,logab= 在解题中的灵活应用. m logba

?失误与防范 1.在运算性质 logaMn=nlogaM 时,要特别注意条件,在 无 M>0 的条件下应为 logaMn=nloga|M|(n∈N*, 且 n 为偶数). 2.指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)与对数函数 y=logax(a >0,且 a≠1)互为反函数,应从概念、图象和性质三个方面 理解它们之间的联系与区别. 3.明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质, 要记忆函数的性质可借助于函数的图象. 因此要掌握指数函数 和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象.

随堂检测 1.(2013· 浙江卷)已知 x,y 为正实数,则( ) A.2lgx+lgy=2lgx+2lgy B.2lg(x+y)=2lgx· 2lgy lgy C.2lgx· =2lgx+2lgy D.2lg(xy)=2lgx· 2lgy

解析:根据指数与对数的运算法则可知, 2lgx+lgy=2lgx· 2lgy,故 A 项错,B 项错,C 项错; D 项中,2lg(xy)=2lgx+lgy=2lgx· 2lgy,故选 D 项. 答案:D

2.(2013· 辽宁卷)已知函数 f(x)=ln( 1+9x2-3x)+1,则 ? 1? ? lg f(lg2)+f? ) ? 2?=( ? ? A.-1 B.0 C.1 D.2

解析:∵f(x)=ln( 1+9x2-3x)+1, ∴f(-x)=ln( 1+9x2+3x)+1, ∴f(x)+f(-x)=ln1+1+1=2, ? 1? 1 ? lg 又 lg =-lg2,∴f(lg2)+f? ? 2?=2,故选 D 项. 2 ? ? 答案:D

3.(2013· 湖南卷)函数 f(x)=2lnx 的图象与函数 g(x)=x2- 4x+5 的图象的交点个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0

解析:设 f(x)与 g(x)图象的交点坐标为(x,y), 则 y=2lnx,y=x2-4x+5,联立得 2lnx=x2-4x+5,令 2 2 h(x)=x -4x+5-2lnx(x>0),由 h′(x)=2x-4- =0,得 x1 x =1+ 2,x2=1- 2(舍). 当 h′(x)<0 时,即 x∈(0,1+ 2)时,h(x)单调递减; 当 h′(x)>0,即 x∈(1+ 2,+∞)时,h(x)单调递增. 又∵h(1)=2>0,h(2)=1-2ln2<0,h(4)=5-2ln4>0, ∴h(x)与 x 轴必有两个交点,故选 B 项. 答案:B

4.(2013· 新课标全国卷Ⅱ)设 a=log36,b=log510,c = log714,则( ) A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c

lg6 lg2 lg10 lg2 解析: 根据公式变形,a= =1+ ,b= =1+ , lg3 lg3 lg5 lg5 lg14 lg2 lg2 lg2 lg2 c= =1+ ,因为 lg7>lg5>lg3,所以 < < ,即 lg7 lg7 lg7 lg5 lg3 c<b<a.故选 D 项. 答案:D

5 .已知函数 f(x) = lgx ,若 f(ab) = 1 ,则 f(a2) + f(b2) = __________.

解析:由 f(ab)=1 得 lgab=1,ab=10.f(a2)+f(b2)=lga2 +lgb2=lg(a2b2)=lg102=2. 答案:2


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