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广东省广州市2015届高中毕业班综合测试(一)数学理试题


试卷类型:A

2015 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

数学(理科)
2015.3 本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或签字笔将自己 所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号

填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相 应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多涂 的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

12 ? 22 ? 32 ?

? n2 ?

n ? n ? 1?? 2n ? 1? n ? N* ? . ? 6

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. 已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? , 集合 M ? ?3, 4,5? , N ? ?1, 2,5? , 则集合 ?1, 2? 可以表示为 A. M

N

B. (? UM)

N

C. M

(? U N)

D. (痧 UM)

( U N)

2.已知向量 a = ?3,4? ,若 ?a ? 5 ,则实数 ? 的值为

1 1 B. 1 C. ? D. ?1 5 5 3. 若某市 8 所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示(如图 1 ),其中茎为十位数,
A. 叶为个位数,则这组数据的中位数和平均数分别是 A. 91 , 91.5 B. 91 , 92 C. 91.5 , 91.5 D. 91.5 , 92 4. 直线 x ? ay ? 1 ? 0 与圆 x ? ? y ? 1? ? 4 的位置关系是
2 2

8 8 7 9 1 7 4 2 0 3 图1

A. 相交

B. 相切

C. 相离

D. 不能确定

? x ? y ? 4 ? 0, ? 5. 若直线 y ? 3x 上存在点 ? x, y ? 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 8 ? 0, 则实数 m 的取值范围是 ? x ? m, ?
A. C.

? ?1, ??? ? ??, ?1?

B. D.

??1, ???
? ??, ?1?
2 2
正视图

2

2 2
侧视图

2

6. 已知某锥体的正视图和侧视图如图 2, 其体积为

2 3 ,则该锥体的俯视图可以是 3

图2

2 2

2
2 2

2 2
D.

2

A.

B.

C.

7. 已知 a 为实数,则 a ? 1 是关于 x 的绝对值不等式 x ? x ?1 ? a 有解的 A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

8. 已知 i 是虚数单位, C 是全体复数构成的集合,若映射 f : C ? R 满足: 对任意

z1, z2 ? C ,以及任意 ? ? R , 都有 f ? ? z1 ? ?1? ? ? z2 ? ? ? f ? z1 ? ? ?1? ? ? f ? z2 ? , 则称
映射 f 具有性质 P . 给出如下映射: ① f1 : C ? R , f1 ? z ? ? x ? y , z ? x ? y i ( x, y ? R ) ;
2 ② f 2 : C ? R , f2 ? z ? ? x ? y , z ? x ? y i ( x, y ? R ) ;

③ f3 : C ? R , f3 ? z ? ? 2x ? y , z ? x ? y i ( x, y ? R ) ; 其中, 具有性质 P 的映射的序号为 A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9. 已知 tan ? ? 2 ,则 tan 2? 的值为 .
x 10. 已知 e 为自然对数的底数,若曲线 y ? x e 在点 ?1,e ? 处的切线斜率为

.

11. 已知随机变量 X 服从正态分布 N ? 2,1? . 若 P ?1 ? X ? 3? ? 0.6826 ,则 P ? X ? 3?

等于

.
2

?m 12. 已知幂函数 f ? x ? ? x

? 2 m?3

(m ? Z ) 为偶函数,且在区间 ? 0, ??? 上是单调增函数,则
.

f ? 2 ? 的值为

* k ?1 13.已知 n, k ?N ,且 k ? n , k C k n ? n C n ?1 ,则可推出

2 3 C1 n ?2 C n ?3 C n ?

?k Ck n?

0 1 ? nC n n ? n( C n?1 ? C n?1 ?

?1 ?Ck n ?1 ?

n ?1 ?1 , ?Cn n ?1 ) ? n ? 2

2 2 2 3 由此,可推出 C 1 n ?2 C n ?3 C n ?

? k2 C k n?

? n2 C n n?

.

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为 ?

? x ? cos ? ? sin ? , (? 为参数 ) 和 ? y ? cos ? ? sin ?

? x ? 2 ? t, (t 为参数 ) .以原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,则曲线 C1 ? y ? t ?
与 C2 的交点的极坐标 为 ... .
A

15. (几何证明选讲选做题) 如图 3, BC 是圆 O 的一条弦,延长 BC 至点 E , 使得 BC ? 2CE ? 2 ,过 E 作圆 O 的切线, A 为 切点, ?BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D , 则 DE 的长为 .

B

O D C

E

图3

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) ?? ? 已知函数 f ( x) ? A sin ? ? x ? ? ? A ? 0, ? ? 0 ? 的图象在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低 6? ? 点的坐标分别为 ? x0 , 2? 和 ? x0 ? (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)求 sin ? x0 ?

? ?

?

? , ?2 ? . 2 ?

? ?

??

? 的值. 4?

17. (本小题满分 12 分) 袋子中装有大小相同的白球和红球共 7 个,从袋子中任取 2 个球都是白球的概率为

1 ,每个球被 7

取到的机会均等. 现从袋子中每次取 1 个球,如果取出的是白球则不再放回,设在取得红球之前 已取出的白球个数为 X . (1)求袋子中白球的个数; (2)求 X 的分布列和数学期望.

18. (本小题满分 14 分) 如图 4,在边长为 4 的菱形 ABCD 中, ?DAB ? 60 ,点 E , F 分别是边 CD , CB 的 中点, AC
?

EF ? O ,沿 EF 将△ CEF 翻折到△ PEF ,连接 PA,PB,PD ,得到如图 5

的五棱锥 P ? ABFED ,且 PB ? 10 . (1)求证: BD ? 平面 POA ; (2)求二面角 B ? AP ? O 的正切值.
D E A C F B 图4

P

O

D A B 图5 F E O

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 的各项均为正数,其前 n 项和为 Sn ,且满足 a1 ? 1, an ?1 ? 2 Sn ? 1, n ?N .
*

(1)求 a2 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)是否存在正整数 k , 使 ak , S2 k ?1 , a4 k 成等比数列? 若存在, 求 k 的值; 若不存在, 请说明理由.

20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C1 的中心在坐标原点, 两焦点分别为双曲线 C2 :

x2 ? y 2 ? 1 的顶点, 直线 x ? 2 y ? 0 与 2

椭圆 C1 交于 A , B 两点,且点 A 的坐标为 (? 2, 1) ,点 P 是椭圆 C1 上异于点 A , B 的任意一点, 点 Q 满足 AQ ? AP ? 0 , BQ ? BP ? 0 ,且 A , B , Q 三点不共线. (1) 求椭圆 C1 的方程; (2) 求点 Q 的轨迹方程; (3) 求 ?ABQ 面积的最大值及此时点 Q 的坐标.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ln ?1 ? x ? ?

a 2 x ? x ? a ? 0? . 2

(1)若 f ? x ? ? 0 对 x ? ? 0, ??? 都成立,求 a 的取值范围; (2)已知 e 为自然对数的底数,证明: ? n ?N , e ? ?1 ?
*

? ?

1 ?? 2? ? n? 1 ? 2 ? ??? ?1 ? 2 ? ? e . 2 ?? n ?? n ? ? n ?

2015 年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可 根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该 题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确 解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题 号 B D C A A C B B 答 二、填空 题:本大题 案 考查基 本知识和 基本运 算,体现选 择性.共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 9. ? 1 2 3 4 5 6 7 8

4 3

10. 2e

11. 0.1587

12. 16

13. n ? n ?1? ? 2n?2

14. ? 2,

? ?

??
? 4?

15.

3
? ?

说明: 第 14 题答案可以是 ? 2,

?

? ? 2 k? ? , k ? Z . 4 ?

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 16.(本小题满分12分) (本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角两角和公式等等知识,考查化归与转化的数学思想 方法,以及运算求解能力) (1)解:由题意可得 A ? 2, , ??????????1 分

T ? ?? ? ? ? x0 ? ? ? x0 ? , 2 ? 2? 2
∴T ? ? . 由

??????????3 分 ??????????4 分 ??????????5 分

2?

?

? ? , 得? ? 2 ,

∴ f ( x) ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??

?. 6?

??????????6 分

(2)解: ∵ 点 ? x0 , 2? 是函数 f ( x) ? 2sin ? 2 x ? ∴ 2 x0 ? ∴ x0 ?

? ?

??

? 在 y 轴右侧的第一个最高点, 6?
??????????7 分 ??????????8 分

?
6

?

?
2

.

? . 6

∴ sin ? x0 ?

? ?

??

?? ? ? ? ? sin ? ? ? 4? ?6 4?
? sin

??????????9 分

?
6

cos

?
4

? cos

?
6

sin

?
4

??????????10 分

1 2 3 2 ? ? ? ? 2 2 2 2 ? 2? 6 . 4

??????????11 分

??????????12 分

17.(本小题满分12分) (本小题主要考查古典概型、解方程、随机变量的分布列与均值(数学期望)等知识,考查或然与 必然的数学思想方法,以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)
2 Cn 1 (1)解:设袋子中有 n (n ? N ) 个白球,依题意得, 2 ? ,?????????1 分 C7 7

*

n ? n ? 1? 1 2 即 ? , 化简得, n2 ? n ? 6 ? 0 , 7?6 7 2 解得, n ? 3 或 n ? ?2 (舍去). ∴ 袋子中有 3 个白球. (2)解:由(1)得,袋子中有 4 个红球, 3 个白球.
X 的可能取值为 0,1, 2,3 ,

??????????2 分

??????????3 分 ??????????4 分 ??????????5 分 ??????????6 分

4 3 4 2 , P ? X ? 1? ? ? ? , 7 7 6 7 3 2 4 4 3 2 1 4 1 P ? X ? 2 ? ? ? ? ? , P ? X ? 3? ? ? ? ? ? . ??????10 分 7 6 5 35 7 6 5 4 35 X ∴ 的分布列为: P ? X ? 0? ?
X

0

1

2

3

P

4 7

2 7

4 35

1 35

??????????11 分 ∴EX ? 0 ?

4 2 4 1 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 7 7 35 35 5

??????????12 分

18.(本小题满分14分) (本小题主要考查空间线面关系、二面角、空间向量及坐标运算等知识,考查数形结合、化归与转 化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)证明:∵ 点 E , F 分别是边 CD , CB 的中点, ∴BD ∥EF . ??????????1 分 ∵ 菱形 ABCD 的对角线互相垂直, ∴BD ? AC . ∴EF ? AC . ∴EF ? AO , EF ? PO . ??????????2 分 ∵AO ? 平面 POA , PO ? 平面 POA , AO PO ? O , ∴EF ? 平面 POA . ∴BD ? 平面 POA . (2)解法 1:设 AO BD ? H ,连接 BO , ∵?DAB ? 60 , ∴ △ABD 为等边三角形. ∴BD ? 4 , BH ? 2 , HA ? 2 3 , HO ? PO ? 3 . ??5 分 在 R t△ BHO 中, BO ?
2 2 ?

??????????3 分 ??????????4 分

P G D E H B F O

BH 2 ? HO2 ? 7 ,
2

A

在△ PBO 中, BO ? PO ? 10 ? PB , ∴PO ? BO . ∵PO ? EF , EF

??????????6 分

BO ? O , EF ? 平面 BFED , BO ? 平面 BFED ,

∴PO ? 平面 BFED . ??????????7 分 过 H 作 HG ? AP ,垂足为 G ,连接 BG , 由(1)知 BH ? 平面 POA ,且 AP ? 平面 POA , ∴BH ? AP . ∵HG BH ? H , HG ? 平面 BHG , BH ? 平面 BHG , ∴AP ? 平面 BHG . ∵BG ? 平面 BHG , ∴AP ? BG . ∴?BGH 为二面角 B ? AP ? O 的平面角. 在 Rt△ POA 中, AP ? ??????????8 分 ??????????9 分 ??????????10 分

AO2 ? PO2 ? 30 ,
?

在 Rt△ POA 和 Rt△ HGA 中, ?POA ? ?HGA ? 90 , ?PAO ? ?HAG ,

∴ Rt△ POA ~Rt△ HGA .

??????????11 分

PO PA ? ∴ . HG HA
∴HG ?

PO ? HA 3?2 3 30 . ? ? PA 5 30

??????????12 分

在 Rt△ BHG 中, tan ?BGH ?

BH 2 30 . ????????13 分 ? ? HG 3 30 5
30 . 3
??????????14 分

∴ 二面角 B ? AP ? O 的正切值为 解法 2:设 AO

BD ? H ,连接 BO ,
?

∵?DAB ? 60 , ∴ △ABD 为等边三角形. ∴BD ? 4 , BH ? 2 , HA ? 2 3 , HO ? PO ? 3 .?????????5 分 在 R t△ BHO 中, BO ?
2 2

BH 2 ? HO2 ? 7 ,
2

在△ PBO 中, BO ? PO ? 10 ? PB , ∴PO ? BO . ∵PO ? EF , EF ∴PO ? 平面 BFED . ??????????6 分 BO ? O , EF ? 平面 BFED , BO ? 平面 BFED , ??????????7 分

以 O 为原点, OF 所在直线为 x 轴, AO 所在直线为 y 轴, OP 所在直线为 z 轴, 建立空间直角坐标系 O ? xyz , 则 A 0, ?3 3, 0 , B 2, ? 3, 0 , P 0, 0, 3 , H 0, ? 3, 0 .????8 分 ∴AP ? 0,3 3, 3 , AB ? 2, 2 3, 0 . 设平面 PAB 的法向量为 n ? ? x, y, z ? , 由 n ? AP , n ? AB ,得 ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

z P

? ?3 3 y ? 3 z ? 0, ? ?2 x ? 2 3 y ? 0.

??9 分

D E H B F O y

A

令 y ? 1 ,得 z ? ?3 , x ? ? 3 . ∴ 平面 PAB 的一个法向量为 n ? ? 3,1, ?3 .

?

?

x ??????????10 分

由(1)知平面 PAO 的一个法向量为 BH ? ? ?2,0,0 ? , ????????11 分

设二面角 B ? AP ? O 的平面角为 ? , 则 cos ? ? cos n, BH

?

n ? BH n BH

?

2 3 39 .?????????12 分 ? 13 ? 2 13

∴sin ? ? 1 ? cos

2

??

130 sin ? 30 , tan ? ? .?????????13 分 ? 13 cos ? 3 30 . 3
??????????14 分

∴ 二面角 B ? AP ? O 的正切值为

19.(本小题满分14分) (本小题主要考查等差数列、数列的前 n 项和等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算 求解能力和创新意识) (1)解:∵a1 ? 1, an ?1 ? 2 Sn ? 1, ∴a2 ? 2 S1 ? 1 ? 2 a1 ? 1 ? 3 . ??????????1 分

(2)解法 1:由 an?1 ? 2 Sn ? 1 ,得 Sn?1 ? Sn ? 2 Sn ? 1 , ??????????2 分 故 Sn?1 ?

?

Sn ? 1 .

?

2

??????????3 分

∵an ? 0 ,∴Sn ? 0 . ∴ Sn ?1 ? ∴ 数列
n

Sn ? 1 . S1 ? 1 ,公差为 1 的等差数列.

??????????4 分

? S ? 是首项为

∴ Sn ? 1 ? ? n ? 1? ? n . ∴Sn ? n2 .
2

??????????5 分 ??????????6 分

2 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 , ??????????8 分

又 a1 ? 1 适合上式, ∴an ? 2n ? 1. 解法 2:由 an?1 ? 2 Sn ? 1 ,得 ? an ?1 ? 1? ? 4 S n ,
2

??????????9 分 ??????????2 分 ??????????3 分 ??????????4分

当 n ? 2 时, ? an ? 1? ? 4 S n ?1 ,
2

∴? an ?1 ? 1? ? ? an ? 1? ? 4 ? S n ? S n ?1 ? ? 4an .
2 2

∴an?1 ? an ? 2an?1 ? 2an ? 0 .
2 2

∴? an?1 ? an ?? an?1 ? an ? 2? ? 0 . ∵ an ? 0 , ∴an?1 ? an ? 2 .

??????????5分

??????????6分

∴ 数列 ?an ? 从第 2 项开始是以 a2 ? 3 为首项,公差为 2 的等差数列.?????7分 ∴an ? 3 ? 2 ? n ? 2? ? 2n ?1? n ? 2? . ∵a1 ? 1 适合上式, ∴an ? 2n ? 1. 解法 3:由已知及(1)得 a1 ? 1 , a2 ? 3 , 猜想 an ? 2n ? 1. 下面用数学归纳法证明. ① 当 n ? 1 , 2 时,由已知 a1 ? 1 ? 2 ?1 ?1 , a2 ? 3 ? 2 ? 2 ? 1 ,猜想成立. ???3 分 ② 假设 n ? k ? k ? 2 ? 时,猜想成立,即 ak ? 2k ? 1 , 由已知 ak ?1 ? 2 Sk ? 1 ,得 ? ak ?1 ? 1? ? 4 S k ,
2

??????????8分

??????????9 分

??????????2 分

??????????4 分

故 ? ak ? 1? ? 4 S k ?1 .
2

∴? ak ?1 ? 1? ? ? ak ? 1? ? 4 ? S k ? S k ?1 ? ? 4ak .
2 2

??????????5 分

2 2 2 ∴ak ?1 ? ak ? 2ak ?1 ? 2ak ? 0 .

∴ ak ?1 ? ak

?

??a

k ?1

? ak ? 2 ? ? 0 .

??????????6 分

∵ ak ? 0, ak ?1 ? 0 , ∴ak ?1 ? ak ? 2 ? 0 . ∴ak ?1 ? ak ? 2 ? 2k ?1 ? 2 ? 2 ? k ? 1? ?1. 故当 n ? k ? 1 时,猜想也成立. 由① ② 知,猜想成立,即 an ? 2n ? 1. (3)解:由(2)知 an ? 2n ? 1, Sn ? ??????????9 分 ??????????7 分 ??????????8 分

n ?1 ? 2n ? 1? ? n2 . 2

假设存在正整数 k , 使 ak , S2 k ?1 , a4 k 成等比数列,
2 则 S2 k ?1 ? ak ? a4 k .

??????????10 分 ??????????11 分

即 ? 2k ? 1? ? ? 2k ? 1? ? ? 8k ? 1? .
4

∵ k 为正整数, ∴ 2k ? 1 ? 0 . ∴

? 2k ? 1?
3

3

? 8k ? 1 .
2

∴ 8k ? 12k ? 6k ? 1 ? 8k ? 1. 化简得 4k ? 6k ? k ? 0 .
3 2

??????????12 分

∵ k ? 0, ∴ 4k ? 6k ? 1 ? 0 .
2

解得 k ?

6 ? 62 ? 4 ? 4 3 ? 13 , 与 k 为正整数矛盾. ????????13 分 ? 8 4

∴ 不存在正整数 k , 使 ak , S2 k ?1 , a4 k 成等比数列. ??????????14 分 20.(本小题满分14分) (本小题主要考查椭圆的方程、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识,考查数形结合、 化归与转化、函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力) (1)解法 1: ∵ 双曲线 C2 :

x2 ? y 2 ? 1 的顶点为 F 1 (? 2, 0) , F 2 ( 2, 0) , ????1 分 2

∴ 椭圆 C1 两焦点分别为 F 1 (? 2, 0) , F 2 ( 2, 0) . 设椭圆 C1 方程为

x2 y2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? , a 2 b2

∵ 椭圆 C1 过点 A (? 2, 1) ,

a ? 2. ∴ 2a ? AF 1 ? AF 2 ? 4 ,得
∴ b ?a ?
2 2

?????????2 分 ?????????3 分

? 2?

2

? 2.

x2 y 2 ? ? 1. ∴ 椭圆 C1 的方程为 4 2
解法 2: ∵ 双曲线 C2 :

?????????4 分

x2 ? y 2 ? 1 的顶点为 F 1 (? 2, 0) , F 2 ( 2, 0) , ????????1 分 2

∴ 椭圆 C1 两焦点分别为 F 1 (? 2, 0) , F 2 ( 2, 0) . 设椭圆 C1 方程为

x2 y2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? , a 2 b2

∵ 椭圆 C1 过点 A (? 2, 1) , ∴

2 1 ? ? 1. a 2 b2
2 2

① ②
2

?????????2 分 ?????????3 分

. ∵ a ? b ? 2,
2

由①②解得 a ? 4 , b ? 2 . ∴ 椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 2

?????????4 分

(2)解法 1:设点 Q( x, y ) ,点 P( x1 , y1 ) , 由 A (? 2, 1) 及椭圆 C1 关于原点对称可得 B ( 2, ?1) , ∴ AQ ? ( x ? 2, y ?1) , AP ? ( x1 ? 2, y1 ?1) ,

BQ ? ( x ? 2, y ?1) , BP ? ( x1 ? 2, y1 ?1) .
由 AQ ? AP ? 0 , 得 ( x ? 2)( x1 ? 2) ? ( y ?1)( y1 ?1) ? 0 , ????????5 分 即 ( x ? 2)( x1 ? 2) ? ?( y ?1)( y1 ?1) . ① ② ?????6 分

同理, 由 BQ ? BP ? 0 , 得 ( x ? 2)( x1 ? 2) ? ?( y ?1)( y1 ?1) .
2 ① ? ②得 ( x2 ? 2)( x1 ? 2) ? ( y2 ?1)( y12 ?1) .



?????????7 分

由于点 P 在椭圆 C1 上, 则
2 2

x12 y12 ? ? 1 ,得 x12 ? 4 ? 2 y12 , 4 2
2 2

代入③式得 ?2( y1 ?1)( x ? 2) ? ( y ?1)( y1 ?1) . 当 y1 ?1 ? 0 时,有 2 x ? y ? 5 ,
2
2 2

2 当 y1 ?1 ? 0 ,则点 P(? 2, ?1) 或 P( 2,1) ,此时点 Q 对应的坐标分别为 ( 2,1) 或

(? 2, ?1) ,其坐标也满足方程 2 x2 ? y 2 ? 5 .

?????????8 分

当点 P 与点 A 重合时,即点 P (? 2, 1) ,由②得 y ? 2x ? 3 ,

? 2 x 2 ? y 2 ? 5, ? 解方程组 ? 得点 Q 的坐标为 y ? 2 x ? 3, ? ?

?

? 2 ? 2, ?1 或 ? ? 2 , ?2 ? ?. ? ?

?

同理, 当点 P 与点 B 重合时,可得点 Q 的坐标为 ? 2,1 或 ? ?

?

?

? ? ?

2 ? ,2? ?. 2 ?

∴点 Q 的轨迹方程为 2 x2 ? y 2 ? 5 , 除去四个点

?

? 2 ? , ? 2 2, ?1 , ? ? ? 2 ? , ? 2,1 , ? ?

?

?

?

? 2 ? ? ? ? 2 ,2? ?. ? ?
解法 2:设点 Q( x, y ) ,点 P( x1 , y1 ) , 由 A (? 2, 1) 及椭圆 C1 关于原点对称可得 B ( 2, ?1) , ∵ AQ ? AP ? 0 , BQ ? BP ? 0 , ∴

?????????9 分

∴ AP ? AQ , BP ? BQ .

y1 ? 1 y ?1 ? ? ?1 x1 ? ? 2 ,① x1 ? 2 x ? 2

?

?

????????5 分

y1 ? 1 y ?1 ? ? ?1 x1 ? 2 . ② x1 ? 2 x ? 2

?

?

????????6 分

①?② 得

y2 ?1 ? 1. (*) x12 ? 2 x 2 ? 2 ?


y12 ? 1

?????????7 分

∵ 点 P 在椭圆 C1 上,

x12 y12 x2 ? ? 1 ,得 y12 ? 2 ? 1 , 4 2 2

1 2 x1 y2 ?1 ?1 y 2 ? 1 2 ? ? 1 ? ? 1, 代入(*)式得 2 ,即 x1 ? 2 x 2 ? 2 2 x2 ? 2 1?

化简得 2 x2 ? y 2 ? 5 .

若点 P(? 2, ?1) 或 P( 2,1) , 此时点 Q 对应的坐标分别为 ( 2,1) 或

(? 2, ?1) ,其坐标也满足方程 2 x2 ? y 2 ? 5 .

?????????8 分

当点 P 与点 A 重合时,即点 P (? 2, 1) ,由②得 y ? 2x ? 3 ,

? 2 x 2 ? y 2 ? 5, ? 解方程组 ? 得点 Q 的坐标为 y ? 2 x ? 3, ? ?

?

? 2 ? 2, ?1 或 ? ? 2 , ?2 ? ?. ? ?

?

同理, 当点 P 与点 B 重合时,可得点 Q 的坐标为 ? 2,1 或 ? ?

?

?

? ? ?

2 ? ,2? ?. 2 ?

∴点 Q 的轨迹方程为 2 x2 ? y 2 ? 5 , 除去四个点

?

? 2 ? , ? 2 2, ?1 , ? ? ? 2 ? , ? 2,1 , ? ?

?

?

?

? 2 ? ? ? ? 2 ,2? ?. ? ?
(3) 解法1:点 Q ? x, y ? 到直线 AB : x ? 2 y ? 0 的距离为

?????????9 分

x ? 2y 3

.

△ ABQ 的面积为 S ?

x ? 2y 1 ( 2 ? 2) 2 ? (?1 ? 1) 2 ? ?????????10 分 2 3
?????????11 分

? x ? 2 y ? x 2 ? 2 y 2 ? 2 2 xy .

y y y2 2 而 2 2 xy ? 2 ? (2 x) ? ( 时等号成立) ) ? 4 x ? (当且仅当 2 x ? 2 2 2

5 2 y2 5 ∴ S ? x ? 2 y ? 2 2 xy ? x ? 2 y ? 4 x ? . ??12 分 ? 5x 2 ? y 2 ? 2 2 2
2 2 2 2 2

当且仅当 2 x ?

y 时, 等号成立. 2

y ? ? ? 2 2 , , ?x ? ? , ?2 x ? ?x ? 由? 解得 或 2 ? ? 2 2 ?2 x 2 ? y 2 ? 5, ? y ? 2, ? y ? ?2. ? ? ?
∴△ ABQ 的面积最大值为 解法2:由于 AB ?

?????????13 分

? 2 ? ? ? 2 5 2 ,2? , ?2 ? , 此时,点 Q 的坐标为 ? 或? ? ? ? ? ? .?14 分 2 ? 2 ? ? 2 ?

?

2? 2

?

2

? ? ?1 ? 1? ? 2 3 ,
2

故当点 Q 到直线 AB 的距离最大时,△ ABQ 的面积最大.?????????10分 设与直线 AB 平行的直线为 x ? 2 y ? m ? 0 , 由?

? x ? 2 y ? m ? 0, ? 消去 x ,得 5 y 2 ? 4 2my ? 2c2 ? 5 ? 0 , 2 2 ? ? 2 x ? y ? 5,

2 2 由 ? ? 32m ? 20 2m ? 5 ? 0 ,解得 m ? ?

?

?

5 2 . 2

?????????11分

若m ?

5 2 2 5 2 2 ,则 y ? ?2 , x ? ? ;若 m ? ? ,则 y ? 2 , x ? .?12分 2 2 2 2
? 2 ? ? ? 2 , 2 , ? 2 或?? ? ? ? 2 ? ? 2 ? 时,△ ABQ 的面积最大,其值为 ? ? ? ?

故当点 Q 的坐标为 ?

S?

1 AB ? 2

2 ? 2?2 2 1 ?
2

? 2?

2

?

5 2 . 2

?????????14分

21.(本小题满分14分) (本小题主要考查函数的导数、不等式等知识,考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思 想方法,以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识) (1)解:∵ f ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? ∴ f ?? x? ?

a 2 x ? x ,其定义域为 ? ?1, ?? ? , 2
??????????1 分

x ? ax ? a ? 1? 1 ? ax ? 1 ? . 1? x 1? x

① 当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? ?

x ,当 x ? ? 0, ??? 时, f ? ? x ? ? 0 , 1? x

则 f ? x ? 在区间 ? 0, ??? 上单调递减,此时, f ? x ? ? f ? 0? ? 0 ,不符合题意. ?2 分 ② 当 0 ? a ? 1 时,令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? 当 x ? ? 0,

1? a ?0, a

? 1? a ? ? 1? a ? ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,则 f ? x ? 在区间 ? 0, ? 上单调递减, a ? a ? ? ?
??????????3 分

此时, f ? x ? ? f ? 0? ? 0 ,不符合题意. ③ 当 a ? 1 时, f ? ? x ? ?

x2 ,当 x ? ? 0, ??? 时, f ? ? x ? ? 0 , 1? x

则 f ? x ? 在区间 ? 0, ??? 上单调递增,此时, f ? x ? ? f ? 0? ? 0 ,符合题意. ??4 分 ④ 当 a ? 1 时,令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ?

1? a ? 0 ,当 x ? ? 0, ??? 时, f ? ? x ? ? 0 , a

则 f ? x ? 在区间 ? 0, ??? 上单调递增,此时, f ? x ? ? f ? 0? ? 0 ,符合题意. ??5 分 综上所述, a 的取值范围为 ?1, ?? ? . ??????????6 分

(2)证明:由(1)可知,当 a ? 0 时, f ? x ? ? 0 对 x ? ? 0, ??? 都成立, 即 ln ?1 ? x ? ? x 对 x ? ? 0, ??? 都成立. ??????????7 分

∴ln ?1 ?

? ?

1? 2? ? ? ln ?1 ? 2 ? ? 2 ? n ? ? n ?

n? 1 2 ? ? ln ?1 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? ? n ? n n

?

n .??????8 分 n2

即 ln ??1 ?

?? ??

1 ?? 2? 1? 2 ? 2 ?? n ?? n ?
*

n ?? 1 ? 2 ? ? n n ? 1 ? . ? ?1 ? 2 ? ? ? n2 2n ? n ??
??????????9 分

由于 n ?N ,则 ∴ln ??1 ?

n ?1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 1. 2n 2 2n 2 2 ? 1

?? ??

1 ?? 2? 1? 2 ? 2 ?? n ?? n ?

n ?? ? ?1 ? 2 ? ? ? 1 . ? n ??
??????????10 分

∴ ?1 ?

? ?

1 ?? 2? 1? 2 ? 2 ?? n ?? n ?

n? ? ?1 ? 2 ? ? e . ? n ?

由(1)可知,当 a ? 1 时, f ? x ? ? 0 对 x ? ? 0, ??? 都成立, 即x?

1 2 x ? ln ?1 ? x ? 对 x ? ? 0, ??? 都成立. 2
? n ? 1 ? 12 22 ?? ? ? ? n2 ? 2 ? n4 n4 ?

??????????11 分

2 ? 1 ∴? 2 ? 2 ? n ?n

n2 ? 1 ? 2 ? ? ? ? ln ?1 ? 2 ? ? ln ?1 ? 2 ? ? 4 ? n ? ? n ? ? n ?

n ? ? ? ln ?1 ? 2 ? . ? n ?

??????????12 分

? n ? n ? 1?? 2n ? 1? ? ? n ? n ? 1? 1 ? ?? 1 ?? 2? 6 ? 即 ? ? ? ln ??1 ? 2 ??1 ? 2 ? 2 4 2n 2? n ?? n ?? n ? ? ? ? ? ?


n ?? ? ?1 ? 2 ? ? . ? n ??

6n3 ? 4n2 ? 3n ? 1 ?? 1 ?? 2? ? ln ??1 ? 2 ??1 ? 2 ? 3 12n ?? n ?? n ?
*

n ?? ? ?1 ? 2 ? ? ? n ??

3 2 2 6n3 ? 4n2 ? 3n ? 1 6n ? ? 3n ? 3n ? ? ? n ? 1? 6n3 1 由于 n ?N ,则 ? ? ? . 12n3 12n3 12n3 2

??????????13 分 ∴ ? ln ??1 ? 2 ∴

1

?? ??

1 ?? 2? 1? 2 ? 2 ?? n ?? n ?

n ?? ? ?1 ? 2 ? ? . ? n ??
n? ? ?1 ? 2 ? . ? n ? n? ? ?1 ? 2 ? ? e . ? n ?
??????????14 分

1 ?? 2? ? e ? ?1 ? 2 ??1 ? 2 ? ? n ?? n ? ? ? 1 ?? 2? 1? 2 ? 2 ?? n ?? n ?

∴ e ? ?1 ?


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