当前位置:首页 >> 初三数学 >>

初中数学一题多解与一题多变


数学教学论文:初中数学一题多解与一题多变

初中数学一题多解与一题多变
时代在变迁, 教育在进步, 理念在更新。 前两年提出考试要改革, 有了《指导意见》 ,于是一批批探索性、开放性和应用性试题不断涌 现;如今又提出课程要改革,有了《课程标准》 ,其中突出了学生自 主探索的学习过程,强调应用数学和创新能力的培养,鼓励教师创造 性教学,学生学会学习。 面临这种崭新的教育形势,我们会思考这样一些问题:教学要 如何从静态转为动态?怎样有效地指导学生独立地分析问题、 解决问 题,形成有效的学习策略,提高效益?该如何引导和组织学生从事观 察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动,激发学生的学习兴 趣和创新意识,培养创新能力?等等。我个人在实际教学过程中,对 这些问题作过一些深思和一些尝试, 其中比较突出的是引导学生进行 一题多解和一题多变的训练。下面,我提出几个实例来分析其引导过 程与方法,抛砖引玉,仅供参考。 一、一题多解,多解归一 对于"一题多解",我是从两个方面来认识和解释的:其一,同一 个问题,用不同的方法和途径来解决;其二,同一个问题,其结论是 A 多元的,即结论开放性问题。一题多解,有利于沟通各知识的内涵和 外延,深化知识,培养发散性和创造性思维;多解归一,有利于提炼 B D E C 分析问题和解决问题的通性、通法,从中择优,培养聚合思维。 例 1:如图,已知 D、E 在 BC 上,AB=AC,AD=AE,
____________________________________________________________________________________________ 第 1 页(共 8 页)

数学教学论文:初中数学一题多解与一题多变

求证:BD=CE. (本题来自《几何》第 2 册 69 页例 3)

思路与解法一:从△ABC 和△ADE 是等腰三角形这一角度出发,利 用"等腰三角形底边上的三线合一"这一重要性质,便得三种证法,即 过点 A 作底边上的高,或底边上的中线或顶角的平分线。其通法是" 等腰三角形底边上的三线合一",证得 BH=CH. 思路与解法二:从证线段相等常用三角形全等这一角度出发,本题可 设法证△ABD≌△ACE 或证△ABE≌△ACD,于是又得两种证法, 而证这两对三角形全等又都可用 AAS、ASA、SAS 进行证明,所以 实际是六种证法。其通性是"全等三角形对应边相等"。 思路与解法三:从等腰三角形的轴对称性这一角度出发,于是用叠合 法可证。

例 2:已知,如图,在⊙O 中,AD 是直径,BC 是弦,AD A ⊥BC,E 为垂足,由这些条件你能推出哪些结论?(要求:不添加辅助线,不 添加字母,不写推理过程)
B D 思路与解法一:从相等的线段这一角度出发,可得如下结论: O

E C

1.OA=OD; 2.BE=CE;
____________________________________________________________________________________________ 第 2 页(共 8 页)

数学教学论文:初中数学一题多解与一题多变

3.AB=AC; 4.BD=CD. 思路与解法二:从相等的角这一角度出发,可得如下结论: 1.∠AEC=∠AEB=∠BED=∠CED =∠ABD=∠ACD=Rt∠; 2.∠ABC=∠ACB; 3.∠DBC=∠DCB; 4.∠BAD=∠CAD; 5.∠BDA=∠CDA; 6.∠BAD=∠BCD; 7.∠CBD=∠CAD; 8.∠ABC=∠ADC; 9.∠ACB=∠ADB. 思路与解法三:从相等的弧这一角度出发,可得如下结论: 1.弧 AB=弧 AC; 2.弧 BD=弧 CD; 3.弧 ABD=弧 ACD; 4.弧 ABC=弧 ACB; 5.弧 BAD=弧 DAC. 思路与解法四:从全等三角形这一角度出发,可得如下结论: 1.△AEB≌△AEC; 2.△BED≌△CED;
____________________________________________________________________________________________ 第 3 页(共 8 页)

数学教学论文:初中数学一题多解与一题多变

3.△ABD≌△ACD. 思路与解法五:从相似三角形这一角度出发,可得如下结论: △ABE∽△ACE∽△CDE∽△BDE∽△ABD∽△ACD,即图中所有 的直角三角形两两相似。 思路与解法六:从比例线段这一角度出发,可得如下结论: 1. AE·DE=EB·EC 2. BE2=EA·ED=EC2 3. AB2=AE·AD=AC2 4. BD2=DE·DA=DC2 思路与解法七:从其它一些角度去思考,还可得如下一些结论: 1. AE2+BE2=AB2=AC2=AE2+EC2 2. BE2+ED2=BD2=CD2=CE2+DE2 3. ∠BAC+∠BDC=180? 4. ∠BAE+∠ABE=90? 5. S四边形ABCD ? AD ? BC 6. S弓形ABC ? S弓形ACB
1 2

以上两例分别从解法和结论发散性地分析与解决问题,其中例 2 虽然不要求写推理过程, 但实际在分析过程中蕴含着异常丰富的思维 和推断过程,如此便能很好地锻炼观察、猜想、推断、验证等探求能 力和有效地发展创造性思维能力。
____________________________________________________________________________________________ 第 4 页(共 8 页)

数学教学论文:初中数学一题多解与一题多变

二、一题多变,多题归一 知识是静态的,思维是活动的;例、习题是固定的,而它的变化 却是无穷的。 我们可以通过很多途径对课本的例、 习题进行变式, 如: 改变条件、改变结论、改变数据或图形;条件引申或结论拓展;条件 开放或结论开放或条件、结论同时开放等。通过一题多变、多题归一 的训练, 可以把各个阶段所学的知识、 知识的各个方面紧密联系起来, 加深对知识的理解,认识和体会数学是一个整体,但更重要的是可以 起到以一当十,解一道题懂一类题,提高效率的目的,激发学生的学 习兴趣、创新意识和探索精神,培养他们的创新能力,学会学习。

例 3:已知,如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,AE⊥CD,垂足为 E,BF⊥CD,垂足为 F, 求证:EC=DF.

O A E C

B G D F

变式一:如图,已知 AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,AE⊥CD 于 E, BF⊥CD 于 F,BF 交⊙O 于 G,下面的结论:1.EC=DF;2.DE=CF; 3.AE=GF;4.AE+BF=AB 中,正确的有( )
____________________________________________________________________________________________ 第 5 页(共 8 页)

数学教学论文:初中数学一题多解与一题多变

A.1、4

B.2、3、4
B G

C.1、2、3

D.1、2、3、4

O A E C

D F

变式二:把直线 EF 和直径 AB 的相对位置加以变化,即图形变化, 条件和结论均不变,便得新题,变化后的图形如下:
A

O C F E B D

变式三:把直线 EF 和圆的位置关系由一般的相交变为相切,即图形 特殊化处理,原题可以引申为:如图,直线 MN 和⊙O 切于点 C, AB 是⊙O 的直径,AC 是弦,AE⊥MN 于 E,BF⊥MN 于 F,

B

A M N

E

C

F

(1)求证:AC 平分∠BAE; (2)求证:AB=AE+BF; (3)求证: EF 2 ? 4 EA ? BF (4)如果⊙O 的半径为 5,AC=6,试写出以 AE、BF 的长为根的一 元二次方程. 变式四:把直线 EF 动起来,由相切变为相交,在运动变化过程中猜
____________________________________________________________________________________________ 第 6 页(共 8 页)

数学教学论文:初中数学一题多解与一题多变

想并推断原有的结论是否仍成立, 即把原来的封闭型试题演变为动态 几何探索题。题目如下:

O A

B
O A B O

E

F

l

E C1

C2 F

l

(1) 如图, AB 是⊙O 的直径, 直线 L 与⊙O 有一个公共点 C, 过 A、 B 分别作 L 的垂线,垂足为 E、F,则 EC=CF. (2) 上题中当直线 L 向上平行移动时,与⊙O 有了两个交点 C1 、 C2 ,其它条件不变,如图,经过推证,我们会得到与原题相 应的结论:EC1=FC2; (3) 把 L 继续向上平行移动,使与弦 C1C2 与 AB 交于点 P(P 不与 A、B 重合) ,在其它条件不变的情形下,请你在圆中将变化后 的图形画出来,标好对应的字母,并写出与(1) 、 (2)相应的 结论等式,判断你写的结论是否成立,若不成立,说明理由; 若成立,给予证明。结论:_____________________________。 证明结论成立或不成立的理由:

象以上这种一题多解与一题多变的题例,在我们的教学过程中, 如果有意识的去分析和研究,是举不胜举、美不胜收的。我想,拿到 一个题目,如果这样深入去观察、分析、解决与反思,那必能起道以 一当十、 以少胜多的效果, 增大课堂的容量, 培养学生各方面的技能,
____________________________________________________________________________________________ 第 7 页(共 8 页)

数学教学论文:初中数学一题多解与一题多变

特别是自主探索,创新思维的能力,也就无需茫茫的题海,唯恐学生 不学了。我会继续努力并也建议老师们深入去研究课本的例、习题和 全国各地的中考试题,象学生一样,不断追求新知,完善自己。

____________________________________________________________________________________________ 第 8 页(共 8 页)


相关文章:
更多相关标签: