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导数3道解答题


1.设函数 f ( x) = xe ( k ≠ 0)
kx

(Ⅰ)求曲线 y = f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若函数 f ( x ) 在区间 (?1,1) 内单调递增,求 k 的取值范围. 【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决 解析】 问题的能力.
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(Ⅰ) f

'

( x ) = (1 + kx ) ekx , f ' ( 0 ) = 1, f ( 0 ) = 0 ,
曲线 y = f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y = x .

(Ⅱ)由 f

'

( x ) = (1 + kx ) ekx = 0 ,得 x = ? ( k ≠ 0 ) ,
? ? 1? ' ? 时, f ( x ) < 0 ,函数 f ( x ) 单调递减, k?

1 k

若 k > 0 ,则当 x ∈ ? ?∞, ?

当 x ∈? ?

? 1 ? , +∞, ? 时, f ' ( x ) > 0 ,函数 f ( x ) 单调递增, ? k ? ? ? 1? ' ? 时, f ( x ) > 0 ,函数 f ( x ) 单调递增, k?

若 k < 0 ,则当 x ∈ ? ?∞, ?

当 x ∈? ?

? 1 ? , +∞, ? 时, f ' ( x ) < 0 ,函数 f ( x ) 单调递减, ? k ? 1 ≤ ?1 , k

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,若 k > 0 ,则当且仅当 ?

即 k ≤ 1 时,函数 f ( x ) ( ?1,1) 内单调递增, 若 k < 0 ,则当且仅当 ?

1 ≥1, k

即 k ≥ ?1 时,函数 f ( x ) ( ?1,1) 内单调递增, 综上可知,函数 f ( x ) ( ?1,1) 内单调递增时, k 的取值范围是 [ ?1, 0 ) ∪ ( 0,1] . 2、已知函数 f ( x ) = a ln( x + 1) + ( x + 1) 2 在 x = 1 处有极值. (Ⅰ)求实数 a 值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)令 g ( x ) = f ' ( x ) ,若曲线 g ( x ) 在 (1, g (1)) 处的切线与两坐标轴分别交于 A , B 两点( O 为坐标原 点) ,求 ?AOB 的面积.

解: (Ⅰ)因为 f ( x) = a ln( x + 1) + ( x + 1) ,
2

所以 f ( x ) =
'

a + 2 x + 2 .………………………………………………2 分 x +1 a ' 由 f (1) = 0 ,可得 + 2 + 2 = 0 , a = ?8 . 2

经检验 a = ?8 时,函数 f ( x ) 在 x = 1 处取得极值, 所以 a = ?8 .………………………………………………………………5 分 (Ⅱ) f ( x ) = ?8 ln( x + 1) + ( x + 1) ,
2

f ' ( x) =

?8 2( x ? 1)( x + 3) + 2x + 2 = .………………………………7 分 x +1 x +1

而函数 f ( x ) 的定义域为 (?1, +∞) , 当 x 变化时, f ' ( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f ' ( x) f ( x)

(?1,1)

1 0
极小值

(1, +∞)

?

+

由表可知, f ( x ) 的单调减区间为 (?1,1) , f ( x ) 的单调减区间为 (1, +∞) .……10 分 (Ⅲ)由于 g ( x ) = f ( x ) =
'

?8 + 2x + 2 , x +1

所以 g ' ( x ) =

8 + 2 ,当 x = 1 时, g ' (1) = 4 , g (1) = 0 . ( x + 1) 2

所以切线斜率为 4 ,切点为 (1, 0) , 所以切线方程为 y = 4( x ? 1) ,即 4 x ? y ? 4 = 0 .…………………………………13 分 令 x = 0 ,得 y = ?4 ,令 y = 0 ,得 x = 1 . 所以 ?AOB 的面积 S =

1 × ?4 × 1 = 2 .…………………………………………14 分 2

3. 已 知 二 次 函 数 g ( x ) 的 图 像 经 过 坐 标 原 点 , 且 满 足 g ( x + 1) = g ( x ) + 2 x + 1 , 设 函 数

f ( x) = mg ( x) ? ln( x + 1) ,其中 m 为非零常数
(I)求函数 g ( x ) 的解析式; (II)当 ? 2 < m < 0 时,判断函数 f ( x ) 的单调性并且说明理由;

(III)证明:对任意的正整数 n ,不等式 ln( + 1) >

1 n

1 1 ? 恒成立. n 2 n3

解: (Ⅰ)设 g ( x) = ax 2 + bx + c , g (x ) 的图象经过坐标原点,所以 c=0. ∵ g ( x + 1) = g ( x ) + 2 x + 1 ∴ a ( x + 1) + b( x + 1) = ax + bx + 2 x + 1
2 2 2 2 即: ax + ( 2a + b) x + a + b = ax + (b + 2) x + 1

∴a=1,b=0, g ( x ) = x ;……………………4分
2

1 2mx 2 + 2mx ? 1 (Ⅱ)函数 f ( x ) = mx ? ln( x + 1) 的定义域为 ( ?1, +∞ ) . f ( x) = 2mx ? = , x +1 x +1
2 '

令 k ( x ) = 2mx 2 + 2mx ? 1 , k ( x ) = 2m( x + ∵ ? 2 < m < 0 ,∴ k ( x ) max = ?

1 2 m 1 m ) ? ? 1 , k ( x) max = k (? ) = ? ? 1 , 2 2 2 2

m ? 1 < 0 , k ( x) = 2mx 2 + 2mx ? 1 < 0 在 ( ?1, +∞ ) 上恒成立, 2

即 f ' ( x ) < 0 ,当 ? 2 < m < 0 时,函数 f ( x ) 在定义域 ( ?1, +∞ ) 上单调递减.…9分 (III)当 m = 1 时, f ( x ) = x 2 ? ln( x + 1). ,令 h( x ) = x 3 ? f ( x ) = x 3 ? x 2 + ln( x + 1),

3 x 3 + ( x ? 1)2 则 h ( x) = 在 [ 0, +∞ ) 上恒正, x +1
'

∴ h(x ) 在 [ 0, +∞ ) 上单调递增,当 x ∈ ( 0, +∞ ) 时,恒有 h( x ) > h(0) = 0 ., 即当 x ∈ ( 0, +∞ ) 时,有 x 3 ? x 2 + ln( x + 1) > 0, ln( x + 1) > x 2 ? x 3 , 对任意正整数 n ,取 x =

1 1 1 1 得 ln( + 1) > 2 ? 3 .…………13分 n n n n


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