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安徽省马鞍山市2017届高三第三次模拟数学(理)试卷 Word版含答案


2017 年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量监测

理科数学试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 考生注意事项: 1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、姓名、班级、座号、 准考证号. 2. 答第Ⅰ卷时, 每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题

目的答案标号涂黑. 如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 3.答第Ⅱ卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上 书写,要求字体工整、 .... 笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡 规定的位置绘出,确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签 ... 字笔描清楚. 必须在题号所指示的答题区域作答, 超出答题区域书写的答案无效 , 在试题卷 、 ............. .... 草稿纸上答题无效 . ........ 4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交.

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. (1)已知集合 A ? {x | x 2 ? 3x ? 4 ? 0} , B ? {x | | x | ? 3} ,则 A ? B ? ( ▲ ) (A) [3, 4) (B) (?4, ?3] (C) (1,3] (D) [?3, ?1) 【答案】D 【命题意图】本题考查集合基本运算,难度:简单题. ? ? ? ? ? ? (2)已知向量 a ? (2,1) , b ? (3, 4) , c ? (1, m) ,若实数 ? 满足 a ? b ? ? c ,则 ? ? m ? ( ▲ ) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 【答案】B 【命题意图】本题考查平面向量相等的定义及坐标运算,难度:简单题. (3)欧拉公式 eix ? cos x ? i sin x (为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数 函数的定义域扩大到复数集, 建立了三角函数和指数函数的关系, 它在复变函数论里占 有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知, e4i 表示的复数在复 平面中对应的点位于( ▲ ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

【答案】C 【命题意图】本题考查复数,三角函数的基本知识,难度:简单题. 2017 x ? 1 (4) 已知命题 p : 函数 f ( x) ? 是奇函数, 命题 q : 函数 g ( x) ? x3 ? x 2 在区间 (0, ??) 上 2017 x ? 1 单调递增.则下列命题中为真命题的是( ▲ ) (A) p ? q (B) p ? q (C) ?p ? q (D) ?p ? q 【答案】A 【命题意图】本题考查简易逻辑,难度:中等题. (p 真 q 假)

(5)执行如图所示的程序框图,若输出的值为

31 ,则输入的整数 p ? ( ▲ ) 32

n ? n ?1
S?S? 1 2n

开始

输入 p

n=0,S=0 第 5 题图

n<p? 否

输出 S

结束

(A) 【答案】B

(B)

(C)

(D)

【命题意图】本题考查程序框图,中等题. (6)已知 (1 ? x) n 的展开式中第 5 项与第 7 项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数 和为( ▲ ) (A) 29 【答案】A 【命题意图】本题考查二项式定理,难度:中等题. (7)某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位:小 时) ,制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时 间的范围是[17.5, 30], 样本数据分组为[17.5, 20), [20, 22.5), [22.5,25),[25,27.5),[27.5,30]. 根据直方图, 若这 200 名学生中每周的自习时间不超过 m 小时的人 数为 164,则 m 的值约为( ▲ )
0 17.5 20 22.5 25 0.04 0.02 27.5 30 自习时间(小时) 0.10 0.08
频率 组距

(B) 210

(C) 211

(D) 212

0.16

(A) 26.25 (C) 26.75

(B) 26.5 (D) 27

第 7 题图

【答案】B 【命题意图】本题考查统计的基础知识,难度:中等题. (8)已知等比数列 {an } 的前项和 Sn ? p n ?1 ? q ( p ? 0且p ? 1 ) ,则等于( ▲ ) (A) (B) ?1 (C) p (D) ? p 【答案】D 【命题意图】本题考查数列的基础知识,难度:中等题. (提示:等比数列前 n 项和的一般 n 形式为 Sn ? Aq ? A )
1 ? x ? y… ? (9)已知实数 x, y 满足 ?mx ? y? 0 ,若 z ? 3x ? y 的最大值为 1,则 m 的值为( ▲ ) ?2 x ? y ? 2… 0 ?

(A)

8 3

(B)2

(C)1

(D)

2 3

【答案】A 【命题意图】本题考查线性规划的基本知识,难度:中等题.

( 10 )已知△ ABC 的顶点都在半径为 R 的球 O 的球面上,球心 O 到平面 ABC 的距离为
3 R , AB ? BC ? AC ? 3 ,则球 O 的体积是( ▲ ) 2

(A)

16 ? 3

(B) 16?

(C)

32 ? 3

(D) 32?

【答案】 C 【命题意图】本题考查球的有关计算,难度:中等题. (提示:球半径为 2) 2 2 b x y (11)过双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的右焦点 F 作直线 y ? ? x 的垂线,垂足为 A , a a b ??? ? ??? ? 交双曲线的左支于 B 点,若 FB ? 2 FA ,则该双曲线的离心率为( ▲ ) (A) 3 【答案】C 【命题意图】本题考查双曲线的基本运算,难度:中等题. (提示: A( 式得 B(
a 2 ab , ? ) ,由中点公 c c

(B)2

(C) 5

(D) 7

2a 2 ? c 2 2ab ,? ) 在双曲线上) c c (12)定义在 (0, ??) 的函数 f ( x) 的导函数 f ?( x) 满足 x3 f ?( x) ? 8 ? 0 ,且 f (2) ? 2 ,则不等式
f (e x ) ? 4 ? 1 的解集为( ▲ ) e2 x (A) (??, 2) (B) (??, ln 2)

(C) (0, 2)

(D) (0, ln 2)

【答案】B 【命题意图】本题考查函数与导数、不等式的综合知识,难度:较难题. (提示:由条件知
8 4 8 令 F ( x) ? f ( x) ? 2 ? 1 , 则 F ?( x) ? f ?( x) ? 3 ? 0 , 故 F ( x) 在 (0, ??) 上是增函数, ?0, 3 x x x 4 4 F (2) ? f (2) ? 2 ? 1 ? 0 ,又 F (e x ) ? f (e x ) ? 2 x ? 1 ? 0 ? F (2) ,从而 e x ? 2 ,即 x ? ln 2 . 2 e f ?( x) ?

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都 必须做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请在答题卡上答题. (13)过抛物线 y 2 ? 2 x 焦点的直线交抛物线于 A,B 两点,若 AB 的中点 M 到该抛物线准 线的距离为 5,则线段 AB 的长度为 ▲ .

【答案】10 【命题意图】本题考查抛物线的基础知识,难度:简单题.

(14)一个几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为



.

1 2 1 2 2

y 2

正视图

侧视图

O 1

5π 6

x

2

2

第 15 题图
2

俯视图

第 14 题图

【答案】

10 3

【命题意图】本题考查三视图,难度:中等题. (15)已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ?? ? ? ? 0 )的部分图象如上图所示, 则? ? 【答案】 ?
5? 6

▲ .

【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质,中等题. 1 5? ( 提 示 : 由 图 象 sin ? ? ? ? ? ? 2k? ? (k ? Z ) 2 6 3T 5? 5? 10 ? 9 12 , ? ?T ? ?T ? ? ?? ?
6 9 5 5 5? 5? ? 再由 sin( ? ? ? ) ? 0 ? ? ? ? ? 2k? ? ? (k ? Z ) ? ? ? (2k? ? ? , 2k? ? ) ) 6 6 2 4 6





(16)在数列的每相邻两项之间插入此两项的积,形成新的数列,这样的操作叫做该数列的 一次“扩展”. 将数列 1,2 进行 “扩展” ,第一次得到数列 1,2,2;第二次得到数 列 1 , 2 , 2 , 4 , 2 ; ? . 设 第 次 “ 扩 展 ” 后 所 得 数 列 为 1, x1 , x2 ,? , xm , 2 , 并 记
an ? log 2 (1 ? x1 ? x2 ? ? ? xm ? 2) ,则数列 {an } 的通项公式为



.

3n ? 1 2 【 命 题 意 图 】 本 题 考 查 数 列 的 综 合 , 较 难 题 .( 提 示 : an ?1 ? log 2 [1 ? (1 ? x1 ) ? x1 ? ( x1 x2 ) ? x2 ? ? ? xm (2 xm ) ? 2]

【答案】 an ?

? log 2 (13 ? x13 ? x23 ? ? ? xm3 ? 22 ) ? 3an ? 1 .)

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 已知△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,且 A ? 2C . (Ⅰ)若△ ABC 为锐角三角形,求
a 的取值范围; c

(Ⅱ)若 b ? 1 , c ? 3 ,求△ ABC 的面积.

【命题意图】本题考查解三角形的基础知识与基本运算,难度:简单题. 【解】 (Ⅰ)由正弦定理可得, ? 分
a c sin A sin 2C ? ? 2 cos C , sin C sin C

………………….2

? ? ? ? ?0 ? A ? 2 ?0 ? 2C ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 因为 ?ABC 为锐角三角形, 所以 ?0 ? B ? ? ?0 ? ? ? 3C ? ? ? C ? , 2 2 6 4 ? ? ? ? ? ? ?0 ? C ? 2 ?0 ? C ? 2 ? ?
分 进而可知, 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,
a ? 2 cos C ,所以 a ? 2c cos C ? 6cos C , c
2 3 a ? cos C ? , 即 的取值范围是 ( 2, 3) ; 2 2 c

……….4

……………………………….6

由余弦定理可知, c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ,即 9 ? 36cos 2 C ? 1 ? 12cos 2 C , ∵ A ? 2C , ∴ C 为锐角, 解得 cos C ? 分 从
S? 1 a bs i n C? 2
3 6 a ? 6cos C ? 2 3 , 所以 sin C ? , ………….10 3 3


2.

?ABC



面 ………….12 分
6 亦可) 3





(由 sin B ? sin 3C ? 3sin C ? 4sin 3 C 结合正弦定理求得 sin C ? (18) (本小题满分 12 分)

某理财公司有两种理财产品 A 和 B .这两种理财产品一年后盈亏的情况如下(每种理 财产品的不同投资结果之间相互独立) : 产品 A 产品 B (其中 p、q > 0 ) 投资结果 概 投资结果 概 率 获利 40%
1 3

获利 20%
p

不赔不赚
1 3

亏损 10%



不赔不赚
1 2

亏损 20%
1 6

(Ⅰ)已知甲、乙两人分别选择了产品 A 和产品 B 进行投资,如果一年后他们中至少有一
3 人获利的概率大于 ,求 p 的取值范围; 5

(Ⅱ)丙要将家中闲置的 10 万元钱进行投资,以一年后投资收益的期望值为决策依据,在 产品 A 和产品 B 之中选其一,应选用哪个? 【命题意图】本题考查概率的计算,随机变量的分布列与期望.难度:中等题. 【解】(Ⅰ)记事件 A 为 “甲选择产品 A 且盈利”,事件 B 为“乙选择产品 B 且盈利”,事件 C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”, P( A) =

2 , P ( B ) = 1- p , 3
5

所以 P(C ) = 1 - P( AB) = 1 - 2 (1 - p) = 1 + 2 p > 3 ,所以 p > 2 .
3 3 3 5

……………4 分 ……………………………6 分

又因为 p +

1 所以 0 < p < 2 .所以 2 < p < 2 . + q = 1, q > 0 , 3 5 3 3

(Ⅱ) 假设丙选择产品 A 进行投资,且记 X 为获利金额(单位:万元) ,所以随机变量 X 的分布列 为:
X

4

0

?2
1 6
6

P

1 3
3 2

1 2

则 E ( X ) ? 4 ? 1 ? 0 ? 1 ? (?2) ? 1 ? 1 .

…………………………………………………8 分

假设丙选择产品 B 进行投资,且记 Y 为获利金额(单位:万元) ,所以随机变量 Y 的分布列 为: Y 2 0

?1

P

p
…………………10

则 E (Y ) ? 2 ? p ? 0 ? 1 ? (?1) ? q ? 2 p ? q ? 2 p ? ( 2 ? p) ? 3 p ? 2 (0 ? p ? 2 ) .
3 3 3 3

分 当p?
5 时, E ( X ) ? E (Y ) ,选择产品 A 和产品 B 一年后投资收益的数学期望相同,可以在 9 5 时, E ( X ) ? E (Y ) ,选择产品 A 一年后投资收益的数学期望大,应选产品 A ; 9

产品 A 和产品 B 中任选一个; 当0? p ? 当

5 2 ? p ? 时, E ( X ) ? E (Y ) ,选择产品 B 一年后投资收益的数学期望大,应选产品 9 3

B . ……12 分
(19) (本小题满分 12 分) 如图, 四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 四边形 ABCD 为梯形, A1 A ? 底面 ABCD , AD∥BC , 且 AD ? 2 BC , Q 为 BB1 的中点,过 A1 , Q, D 三点的平面记为 α . (Ⅰ)证明:平面 α 与平面 A1 B1C1 D1 的交线平行于直线 CD ;

BC ? CD ? 3 ,?BCD ? 120? , (Ⅱ) 若 AA1 ? 3 , 求平面 α 与底面 ABCD 所成二面角的大小. 【命题意图】本题考查空间几何体的线面位置关系,空间想象能力,空 间角的计算问题.难度:中等题.

A1 B1 C1

D1

Q

α D

A B C

【解】(Ⅰ)如图,延长 AB , DC 交于点 P , 因为 AD∥BC , 且 AD ? 2 BC , 所以 AB ? BP , 又 Q 为 BB1 的中点, 所以 A1,Q,P 三点共线, 此时平面 α 与平面 ABCD 的交线为 CD , 又平面 ABCD // 平面 A1 B1C1 D1 ,根据面面平行的性质定理可得,平面 α 与平面 A1 B1C1 D1 的交 线平行于直线 CD ;??????????6 分 (Ⅱ)在梯形 ABCD 中,由题意可计算出, BD ? 3 , AD ? 2 3 , ?ADB ? 进而可计算 AB ? 3 , ?DAB ?

?
6



?
3

,说明梯形 ABCD 是等腰梯形,所以有 AC ? BD ? 3 ,

进一步可知 ?ADP 为等边三角形,连接 AC 、 A1C ,则 AC ? CD ,又 AA1 ? CD ,所以 此时 ?A1CA 就是平面 α 与底面 ABCD 所成二面角的平面角, 在直角 ?A1CA CD ? 平面AA1C , 中 , AC ? AA1 ? 3 , 所 以 ?A1CA ?

?
4

, 即 平 面 α 与 底 面 ABCD 所 成 二 面 角 的 大 小 为

?
4

.???????????????6 分

(20) (本小题满分 12 分)
x2 y 2 平面直角坐标系 xOy 中, 过椭圆 M : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) 焦点的直线 x ? y ? 2 2 ? 0 b a

交 M 于 P,Q 两点, G 为 PQ 的中点,且 OG 的斜率为 9. (Ⅰ)求 M 的方程; (Ⅱ) A、B 是 M 的左、右顶点,C、D 是 M 上的两点,若 AC ? BD ,求四边形 ABCD 面积的最大值. 【命题意图】本题考查直线与椭圆的位置关系,运算求解能力的培养.难度:中等题. 【解】 (Ⅰ)设 P( x1 , y1 ),Q( x2 , y2 ) ,G ( x0 , y0 ) ,则 由此可得
y ? y1 x12 y12 x2 2 y2 2 , ? ?1 , ? ? 1 ? 2 ? 1, 2 2 2 2 x2 ? x1 b a b a

y0 a 2 ( x1 ? x2 ) y2 ? y1 a2 ,因为 , , ,所以 ?9, x ? x ? 2 x y ? y ? 2 y ? ? ? 1 ? 9 1 2 0 1 2 0 b 2 ( y1 ? y2 ) x2 ? x1 b2 x0

又由题意知, M 的一个焦点为 (0, 2 2) ,故 a 2 ? b 2 ? 8 .因此 a 2 ? 9 , b 2 ? 1 , 所以 M 的方程为 x 2 ? 分 (Ⅱ)由题意可设直线 AC 的斜率为,所以直线 AC 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,
y2 ? 1 .?????????????????????????? 5 9

? 2 y2 ?1 k2 ? 9 ?x ? 联立方程组 ? 可得, (9 ? k 2 ) x 2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 9 ? 0 ,所以有 x A xC ? 2 ,进而可 9 k ?9 ? y ? k ( x ? 1) ?

得 xC ? ? 分

k2 ? 9 18 1 ? k 2 2 ,所以 ,?????????????7 | AC | ? 1 ? k | x ? x | ? C A k2 ? 9 k2 ? 9

18 1 ?

同理可计算出 | BD |?

1 2 k 2 ? 18 | k | 1 ? k , 1 1 ? 9k 2 ?9 2 k

所以四边形 ABCD 面积
S? 1 1 18 1 ? k 2 18 | k | 1 ? k 2 162 | k | (1 ? k 2 ) | AC || BD |? ? ? ? ,????????9 分 2 2 k2 ? 9 1 ? 9k 2 (1 ? 9k 2 )(k 2 ? 9)
2

1 1 |k|? | k | (1 ? k ) 1 |k| |k| ? ? 设 y? ,令 |k |? ?t ( t ? 2 ),所以 2 2 1 9 9 (1 ? 9k )(k ? 9) ( ? 9k )( ? k ) 9k 2 ? |k| ? 82 k k k2 |k|?
k2 ?

t 1 1 1 8 ? ? ,当且仅当 t ? 时取得等号, ? 2 ? t 2 ,此时 y ? 2 2 64 9t ? 64 9t ? 48 k 3 t

所以四边形 ABCD 面积的最大值为 (21) (本小题满分 12 分)

27 .???????????????????12 分 8

已知函数 f ( x) ? ln(ax ? b) ? e x ?1 ( a ? 0 ). (Ⅰ)当 a ? ?1,b ? 1 时,判断函数 f ( x) 的零点个数; (Ⅱ)若 f ( x)? e x ?1 ? x ? 1 ,求 ab 的最大值. 【命题意图】本题考查函数与导数的综合应用.难度:较难题. 【解】(Ⅰ)当 a ? ?1,b ? 1 时, f ( x) ? ln(? x ? 1) ? e x ?1 ,定义域为 {x | x ? 1} , 当 x ? 0 时, f ( x) ? ln(? x ? 1) ? e x ?1 ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 (??, 0] 内无零点; 当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ?
1 1 1 ? e x ?1 ,因为 ? ?1 , e x ?1 ? 1 ,所以 f ?( x) ? ? e x ?1 ? 0 , x ?1 x ?1 x ?1

1 ? 1 说明函数 f ( x) 在 (0,1) 上单调递减, 又 f (0) ? e?1 ? 0 , 当 x ? 1 ? 时,f ( x) ? e e ? 1 ? e0 ? 1 ? 0 , e

所以函数 f ( x) 在 (0,1) 内有且只有一个零点; 综上,函数 f ( x) 的零点个数是 1;?????????????????????5 分

(Ⅱ)若 ln(ax ? b) ? e x ?1 ? e x ?1 ? x ? 1 ,即 ln(ax ? b) ? x ? 1 ,设 g ( x) ? ln(ax ? b) ? x ? 1 , 若 a ? 0 ,则当 x ? ?? 时,显然 g ( x) ? 0 ,故不符合题意,所以 a ? 0 .??????7 分
g ?( x) ? a ?ax ? a ? b ( ax ? b ? 0 ), ?1 ? ax ? b ax ? b

当?

b b b b ? x ? 1 ? 时, g ?( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 (? ,1 ? ) 上单调递增; a a a a b b 时, g ?( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 (1 ? , ??) 上单调递减; a a

当 x ?1?

b b 从而 g ( x) max ? g (1 ? ) ? ln a ? ? 2 , a a b b 由题意可知 g ( x) max ? g (1 ? ) ? ln a ? ? 2 ? 0 ,所以 b ? 2a ? a ln a ,????????9 分 a a

此时 ab ? 2a 2 ? a 2 ln a ,令 h(a) ? 2a 2 ? a 2 ln a , h?(a) ? 3a ? 2a ln a , 可知 h(a) 在 (0, e 2 ) 上单调增,在 (e 2 , ??) 上单调减,
1 1 所以 h(a)max ? e3 ,故 ab 的最大值为 e3 .???????????????????12 分 2 2
3 3

四、请考生在第(22) , (23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作 答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 1 ? x ?1? t ? 2 ? 已知曲线 C1 的参数方程为 ? (为参数).在以坐标原点为极点,轴的正半轴为 ?y ? 3 t ? ? 2 12 极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? 2 ? . 3 ? sin 2 ? (Ⅰ)求曲线 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程; 1 1 (Ⅱ)若 C1 与 C2 相交于 A、B 两点,设点 F (1,0) ,求 的值. ? | FA | | FB | 【命题意图】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化方法,直线与椭圆的位 置关系,中等题.
1 ? x ?1? t ? 2 ? 【解】 (I) ? (为参数) ? ? y ? 3 t, ? 2 ?

?t ? 2 x ? 2 ? ? 2 3 ? y ?t ? 3 ?

3x ? y ? 3 ? 0 ,

所以曲线 C1 的普通方程为 y ? 3( x ? 1) .
?2 ?

???????????????2 分

12 ? 3? 2 ? ? 2 sin 2 ? ? 12 ? 3( x 2 ? y 2 ) ? y 2 ? 12 ? 3 x 2 ? 4 y 2 ? 12 , 3 ? sin 2 ?

所以 C2 的直角坐标方程为

x2 y 2 ? ?1 . 4 3

???????????????5 分

(Ⅱ)由题意可设,与 A、B 两点对应的参数分别为 t1 , t2 , 将 C1 的参数方程代入 C2 的直角坐标方程
x2 y 2 ? ?1 , 4 3

4 ? t ?t ?? ? ?1 2 5 化简整理得, 5t ? 4t ? 12 ? 0 ,所以 ? , ?t ? t ? ? 12 1 2 ? 5 ?
2

???????????????7 分

所以

FA ? FB t ? t2 1 1 , ? ? ? 1 FA FB FA ? FB t1 ? t2
12 ? 0 ,所以 t1 ? t2 ? t1 ? t2 ? 5

因为 t1 ? t2 ? ?

? t1 ? t2 ?

2

? 4? ? 12 ? 16 , ? 4t1 ? t2 ? ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? 5? ? 5? 5

2

16 1 1 4 ? ? 5 ? 所以 ??????????????10 分 FA FB 12 3 5

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ? a ? 2 x ? 2 ? 5 ( a ? R ). (Ⅰ)试比较 f (?1) 与 f (a) 的大小; (Ⅱ)当 a ? ?5 时,求函数 f ( x) 的图象与轴围成的图形面积. 【命题意图】本题考查含绝对值代数式大小比较,绝对值函数图象特征等基础知识,以及分 类讨论思想和运算求解能力,中等题. 【解】 (I)因为 f (a) ? f (?1) ? 2a ? 2 ? 5 ? ? a ? 1 ? 5 ? ? a ? 1 ? 0 ,于是 f (a) ? f (?1) . 当且仅当 a ? ?1 时等号成立;???????????????????????5 分
?3x ? 2, x ? ?1, ? (Ⅱ)当 a ? ?5 时, f ( x) ? x ? 5 ? 2 x ? 2 ? 5 ? ?? x ? 2, ?5 ? x ? ?1, ??3x ? 12, x ? ?5, ?

可知函数 f ( x) 的图象和轴围成的图形是一个三角形,其中与轴的两个交点分别为 A(?2,0) ,
2 B(? , 0) ,三角形另一顶点坐标为 C (?1, ?1) , 3

从而 ?ABC 面积为 S ?

1 2 2 ? (2 ? ) ? 1 ? . 2 3 3

?????????????10 分

注:以上各题,其他解法请酌情给分。


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