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热点问题5 等差数列与等比数列(教师版)


热点问题 5
一、填空题

等差数列与等比数列
S6 的值是__________. S3

1.设 Sn 是等比数列 {an } 的前 n 项的和,若 a3 ? 2a6 ? 0 ,则 答案

1 2
3

解析 由 a3 ? 2a6 ? 0 得 q ? ?

1 S a (1 ? q6 ) 1? q 1 ,则 6 ? 1 ? ? 1 ? q3 ? . 3 2 S3 1? q a1 (1 ? q ) 2

2.已知各项均为正数的数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an? 2 an ? 39 ,则数列 ?an ? 前 50 项的和数列 S50 的最小值为______________. 答案 解析

637
S5 0 ? ( a 1? a 3? ? ?a) ( a 2? a ? 4 9 ? 4? ?a) 5 0 4 ?0 1 ?2 ? a
2 5

? (a

2

? a ?

4

?

a ?) 5 0

? 481 ? 13a2 ? 12 ?

39 ? 481 ? 2 13 ? 12 ? 39 ? 637 (当且仅当 a2 ? 39 时取等号). a2

3.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 1 ? a4 ? 4, 2 ? a5 ? 3, S6 取值范围是________. 答案

[0,30]

解析 设数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d ,由 1 ? a4 ? 4, 2 ? a5 ? 3 得:

1 ? a1 ? 3d ? 4 , 2 ? a1 ? 4d ? 3,设 S6 ? xa4 ? ya5 ,
则 6a1 ? 15d ? x(a1 ? 3d ) ? y(a1 ? 4d ) ,所以 ? 从而 S6 ? 9a4 ? 3a5 ??0,30? . 4.各项均为正数的等比数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 , a6 ? a7 ? a6 a7 ? 1 ? 2 ,记数列 ?an ? 前 n 项 积为 Tn ,则满足 Tn ? 1 的最大正整数 n 的值为____________. 答案

?x ? y ? 6 ?x ? 9 ,解得 ? , ? y ? ?3 ?3x ? 4 y ? 15

12

?a6 a7 ? 1 ?a6 ? 1 解析 法 1: a6 ? a7 ? a6 a7 ? 1 ? 2 ? ? ,因为 a1 ? 1 ,所以 ? , ?(a6 ? 1)(a7 ? 1) ? 0 ?a7 ? 1
n ( n ?1) n ?1 ?a q 5 ? 1 n ?1 ? 所以 ? 1 6 ,又 Tn ? a1n q 2 ? (a1q 2 )n ? 1 ,则有 ? 6 ? n ? 13 ,所以 n 的最大值为 12. 2 ? ?a1q ? 1

法 2:由法 1 可知 a6 a7 ? 1 ? a1a12 ? a2 a11 ? ? ? a6 a7 ? 1? T12 ? 1 ,
a7 ? 1 ? a1a13 ? a2 a12 ? ? ? a6 a8 ? 1 ? T13 ? 1 ,所以 n 的最大值为 12.

-1-

5.若数列 ?an ? 中, a1 =1, S n 是数列{ an }的前 n 项之和,且 S n?1 ? 数列 ?an ? 的通项公式是 an =____________.

Sn (n ? 1 ) ,则 3 ? 4S n

?1, (n ? 1) ? 答案 an ? ? 1 1 ? n ?1 , (n ? 2) ? n ?3 ? 2 3 ? 2 1 1 1 3 1 解析 通过 “构造法” , 取倒数 , ? 4? ? k ? 3( ? k ) 待定系数 k ? 2 ,所以数列 { ? 2} Sn S n ?1 S n S n ?1 Sn 1 1 n 首项为 3, 公比为 3 的等比数列, ? 2 ? 3 ,S n ? n , 然后再通过 “作差法” , 要注意分 n ? 1, n ? 2 3 ?2 Sn
的讨论.
2 2 2 2 2 6.若等比数列 {an } 满足: a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 3 , a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,

则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 的值是_________. 答案 4

a1 (1 ? q 5 ) a1 (1 ? q 5 ) 12 a1 (1 ? q10 ) 解析 因为 ? 3, ? ?4 ? 3 ,所以 1? q 1? q 3 1? q2
2 ? n为奇数 ?n 7.设函数 f (n) ? ? 2 ,且 an ? f (n) ? f (n ? 1) ,则 a1 ? a2 ? a3 ??? a2017 ? _____. ? ??n n为偶数

2

答案 2016 解析
a1 ? a2 ? a3 ? ? ?a2 0 1 7 [? f ( 1? ) f

( 2? )]f [ ? ( 2f )

? ?( 3 )? ] f

[ (? 2 f0 1 6 )

(2017)]

? 2[ f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2016)] ? [ f (2017) ? f (1)]

? 2[(12 ? 22 ) ? (22 ? 32 ) ? ? ? (20152 ? 20162 )] ? (20172 ?12 ) ? ?2[1 ? 2 ? 3 ? ? ? 2016] ? (20172 ?1)
? ?2[ (1 ? 2016) ? 2016 ] ? (2017 2 ? 1) ? 2016 . 2

8.数列 {a n }满足a1 ? 1, a n ?1

1 m 2 2 ? 4 ? 1, 记S n ? a12 ? a 2 ?? ? a n , 若 S 2 n?1 ? S n ? 对 2 30 an

任意 n ? N * 恒成立,则正整数 m 的最小值为__________. 答案 10 解析

an an 1 1 1 2 2 f (n) ? S n ?1 ? S n ? a n ?1 ? ? ? ? ? a 2 n ?1 ? ? ? ??? ? , 4n ? 1 4n ? 5 8n ? 1 m 14 28 ? f (1) ? f (n ? 1) ? f (n) ,所以 f (n) 单调递减, ,m ? , mmin ? 10 30 45 3
-2-

通过“构造法” ,

1 an
2

?4?

1 a n ?1
2

,数列 {

1
2

} 成等差数列,

1
2

? 4n ? 1 , a n ?

2

1 ,令 4n ? 3

二、解答题

9.设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ?1 ? S n ? (n ? 1) a n ?1 ? (1)若数列 {an } 是等差数列,求数列 {an } 的通项公式; (2)设 a 2 ? 6 ,求证:数列 {an } 是等差数列. 解:(1)∵ S n ?1 ? S n ? (n ? 1) a n ?1 ?

1 an ? 1. 2

1 an ? 1 2

∴ 2 S n ? na n ?1 ?

1 an ? 1 2

又∵ {an } 是等差数列,设公差为 d, 则 2?na1 ?

? ?

n(n ? 1) ? 1 d ? ? n(a1 ? nd) ? [a1 ? (n ? 1)d ] ? 1 2 2 ?

d ? 2 a ? d ? a ? 1 1 ? d 1 ? 2 2 2 ∴ dn ? (2a1 ? d )n ? dn ? (a1 ? )n ? (a1 ? d ) ? 1 ∴ ? 1 2 2 ? (a ? d ) ? 1 ? 0 1 ? ?2 ?a1 ? 2 ∴? ∴ an ? 4n ? 2 ?d ? 4 1 1 (2)∵ 2 S n ? na n ?1 ? a n ? 1 ① ∴ 2 S n ?1 ? (n ? 1)a n ? a n ?1 ? 1 ② 2 2
①—②得:

2nan?1 ? (2n ? 3)an ? an?1 ? 0(n ? 2) ∴ (2n ? 2)an?2 ? (2n ? 5)an?1 ? an ? 0(n ? 1)
两式相减得 (2n ? 2)an?2 ? (4n ? 5)an?1 ? (2n ? 4)an ? an?1 ? 0(n ? 2) ∴ (2n ? 2)an?2 ? (4n ? 4)an?1 ? (2n ? 2)an ? an?1 ? 2an ? an?1 ? 0(n ? 2) ∴ (2n ? 2)[an?2 ? 2an?1 ? an ] ? an?1 ? 2an ? an?1 (n ? 2) ∵ a2 ? 6 ∴可得 a1 ? 2, a3 ? 10 ∴ a3 ? 2a2 ? a1 ? 0 ∴ an?2 ? 2an?1 ? an ? 0

∴ {an } 是等差数列 10.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? a ? 0 ,数列 {bn } 满足 bn ? an ? an?1 (1)若 {an } 为等比数列,求 {bn } 的前 n 项的和 s n ; (2)若 bn ? 3n ,求数列 {an } 的通项公式; (3)若 bn ? n ? 2 ,求证: 解:(1)? an ? a n?1

1 1 1 ? ??? ? 2 n ? 2 ? 3 a1 a2 an

?bn ? a n?1 ? a n ? a 2n?1 ,

a(1 ? a 2 n ) 当 a=1 时, bn ? 1,则 sn ? n ;当 a ? 1 时, sn ? , 1 ? a2

-3-

(2)? 3n ? an ? an?1

? 3n?1 ? an?1 ? an , (n ? 2, n ? N * ) ?

a n ?1 ? 3 (n ? 2, n ? N * ) a n ?1

当 n ? 2k ? 1,(k ? N * ) 时,?

a2 k ?2 ? 3(k ? N * ) ? a2 k ? a2 3k ?1 =a3k ?1 a2 k
?1 ? n2 3 ( n=2k ? 1) ? ? 3(k ? N * ) ? a2 k ?1 ? 3k ?1 ? an ? ? n?2 ? a3 2 ( n ? 2k ) ?

当 n ? 2k ,(k ? N * ) 时,?

a2 k ?1 a2 k -1

(3)? an an?1 ? n ? 2, ①,? a1 ? 1,? a2 ? 3 ?an?1an ? n ? 1 (n ? 2) ② ①-②得 a( n an?1 ? an?1 ) ? 1? an?1 ? an?1 ?

1 (n ? 2) an

?

1 1 1 ? ??? ? (a3 ? a1 ) ? (a4 ? a2 ) ? ? ? (an?1 ? an?1 ) = an ? an?1 ? a1 ? a2 a2 a3 an 1 1 1 1 1 = an ? an?1 ? a1 ? a2 + ? an ? an?1 ? 3 ? ? ??? a1 a2 a3 an a1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? > 2 n ? 2 -3. a1 a2 a3 an

?

? an ? an?1 ? 2 an ? an?1 ? 2 n ? 2 ?

11.数列 an ? , bn ? , cn ? 满足: bn ? an ? 2an?1 , cn ? an?1 ? 2an?2 ? 2 , n ? N * . (1)若数列 an ? 是等差数列,求证:数列 bn ? 是等差数列; (2)若数列 bn ? , cn ? 都是等差数列,求证:数列 an ? 从第二项起为等差数列; (3)若数列 bn ? 是等差数列,试判断当 b1 ? a3 ? 0 时,数列 an ? 是否成等差数列?证明你的结论. 证明:(1)设数列 an ? 的公差为 d ,∵ bn ? an ? 2an?1 , ∴ bn?1 ? bn ? (an?1 ? 2an?2 ) ? (an ? 2an?1 ) ? (an?1 ? an ) ? 2(an?2 ? an?1 ) ? d ? 2d ? ?d , ∴数列 bn ? 是公差为 ? d 的等差数列. (2)当 n ? 2 时, cn?1 ? an ? 2an?1 ? 2 ,∵ bn ? an ? 2an?1 ,∴ an ?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

bn ?1 ? cn bn ? cn ?1 bn ?1 ? bn cn ?1 ? cn ? ? ? , 2 2 2 2 b ? bn cn ?1 ? cn ? ∵数列 ?bn ? , ?cn ? 都是等差数列,∴ n ?1 为常数, 2 2
∴ an ?1 ? an ? ∴数列 an ? 从第二项起为等差数列.
-4-

bn ? cn ?1 b ?c ? 1 ,∴ an ?1 ? n ?1 n ? 1 , 2 2

?

(3)数列 an ? 成等差数列. 解法 1:设数列 bn ? 的公差为 d ? ,∵ bn ? an ? 2an?1 , ∴ 2n bn ? 2n an ? 2n?1 an?1 ,∴ 2n?1 bn?1 ? 2n?1 an?1 ? 2n an ,?, 2b1 ? 2a1 ? 22 a2 , ∴ 2n bn ? 2n?1 bn?1 ? ? ? 2b1 ? 2a1 ? 2n?1 an?1 , 设 Tn ? 2b1 ? 22 b2 ?? 2n?1bn?1 ? 2n bn ,∴ 2Tn ? 22 b1 ? ?? 2n bn?1 ? 2n?1bn , 两式相减得: ?Tn ? 2b1 ? (22 ?? 2n?1 ? 2n )d ? ? 2n?1 bn , 即 Tn ? ?2b1 ? 4(2n?1 ?1)d ? ? 2n?1bn ,∴ ?2b1 ? 4(2n?1 ?1)d ? ? 2n?1bn ? 2a1 ? 2n?1 an?1 , ∴ 2n?1 an?1 ? 2a1 ? 2b1 ? 4(2n?1 ?1)d ? ? 2n?1bn ? 2a1 ? 2b1 ? 4d ? ? 2n?1 (bn ? d ?) ,

?

?

2a1 ? 2b1 ? 4d ? ? (bn ? d ?) , 2n ?1 2a ? 2b1 ? 4d ? 2a ? 2b1 ? 4d ? ? (b2 ? d ?) ? 1 ? b1 , 令 n ? 2 ,得 a3 ? 1 3 2 23 2a ? 2b1 ? 4d ? ? b1 ? a3 ? 0 ,∴ 2a1 ? 2b1 ? 4d ? ? 0 , ∵ b1 ? a3 ? 0 ,∴ 1 23
∴ an ?1 ? ∴ an?1 ? ?(bn ? d ?) ,∴ an?2 ? an?1 ? ?(bn?1 ? d ?) ? (bn ? d ?) ? ?d ? , ∴数列 an ? ( n ? 2 )是公差为 ?d ? 的等差数列, ∵ bn ? an ? 2an?1 ,令 n ? 1 , a1 ? 2a2 ? ?a3 ,即 a1 ? 2a2 ? a3 ? 0 , ∴数列 an ? 是公差为 ?d ? 的等差数列. 解法 2:∵ bn ? an ? 2an?1 , b1 ? a3 ? 0 ,令 n ? 1 , a1 ? 2a2 ? ?a3 ,即 a1 ? 2a2 ? a3 ? 0 , ∴ bn?1 ? an?1 ? 2an?2 , bn?2 ? an?2 ? 2an?3 , ∴ 2bn?1 ? bn ? bn?2 ? (2an?1 ? an ? an?2 ) ? 2(2an?2 ? an?1 ? an?3 ) , ∵数列 bn ? 是等差数列,∴ 2bn?1 ? bn ? bn?2 ? 0 , ∴ 2an?1 ? an ? an?2 ? 2(2an?2 ? an?1 ? an?3 ) , ∵ a1 ? 2a2 ? a3 ? 0 ,∴ 2an?1 ? an ? an?2 ? 0 ,∴数列 an ? 是等差数列. 12.已知数列 {an } 是等差数列, {bn } 是等比数列,且满足 a1 ? a2 ? a3 ? 9 , b1b2b3 ? 27 . (1)若 a4 ? b3 , b4 ? b3 ? m . ①当 m ? 18 时,求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; ②若数列 {bn } 是唯一的,求 m 的值;
-5-

? ?

?

?

(2)若 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 均为正整数,且成等比数列,求数列 {an } 的公差 d 的最大值. 解:(1)①由数列 {an } 是等差数列及 a1 ? a2 ? a3 ? 9 ,得 a2 ? 3 , 由数列 {bn } 是等比数列及 b1b2b3 ? 27 ,得 b2 ? 3 . 设数列 {an } 的公差为 d ,数列 {bn } 的公比为 q ,

9 ? ?3 ? 2d ? 3q, ?d ? 3, ?d ? ? , 若 m ? 18 ,则有 ? 2 ,解得 ? 或 ? 2 . ?q ? 3 ?3q ? 3q ? 18 ? ?q ? ?2
9 ? ? ?an ? 3n ? 3, ? an ? ? n ? 12, 2 所以, {an } 和 {bn } 的通项公式为 ? 或? n ?1 ? ?b ? 3(?2) n ? 2 ?bn ? 3 ? n

② 由题设 b4 ? b3 ? m ,得 3q2 ? 3q ? m ,即 3q2 ? 3q ? m ? 0 (*) . 因为数列 {bn } 是唯一的,所以 若 q ? 0 ,则 m ? 0 ,检验知,当 m ? 0 时, q ? 1 或 0 (舍去) ,满足题意;
3 1 若 q ? 0 ,则 (?3)2 ? 12m ? 0 ,解得 m ? ? ,代入(*)式,解得 q ? , 4 2 3 又 b2 ? 3 ,所以 {bn } 是唯一的等比数列,符合题意. 所以, m ? 0 或 ? . 4

(2)依题意, 36 ? (a1 ? b1 )(a3 ? b3 ) ,
3 设 {bn } 公比为 q ,则有 36 ? (3 ? d ? )(3 ? d ? 3q ) , (**) q

记m ? 3?d ?

3 , n ? 3 ? d ? 3q ,则 mn ? 36 . q

将(**)中的 q 消去,整理得 d 2 ? (m ? n)d ? 3(m ? n) ? 36 ? 0 ,
n ? m ? (m ? n)2 ? 12(m ? n) ? 144 n ? m ? (m ? n ? 6)2 ? 36 ? 2 2

d 的大根为

而 m, n ? N ? ,所以 ( m, n) 的可能取值为:
( 1 , 3 6 ) , ( 2 , 1 8 ) , ( 3 , 1 2 ) , ( 4 ,192),, 3 ( )6, , (6 1 )8, ,(2 9). , ,4( )3, 6 (, 1)

所以,当 m ? 1, n ? 36 时, d 的最大值为

35 ? 5 37 . 2

-6-


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