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9-等比数列的前n项和公式课件


等比数列的前n项和

古罗马有这么一句谚语:

The Room is not built one day!

某建筑队,由于资金短缺,向某砖厂借红砖盖房,

可砖厂厂长很风趣,提出这样一个条件:在一个月
(30天)内,砖厂每天向建筑队提供10000块砖,为

了还本付息,建筑队第一天要向厂方还1块砖,第二
天还2块砖,第三天还4块砖,即每天还的砖数是前一

天的2倍,请问,假如你是建筑队队长,你会接受这个
条件吗 ? 同学们,根据以上条件,你能提取 到什么信息?

建立出数学模型:
建筑队在这 30天内向砖 厂赊借与返 还的砖数分 S30 别记为 S '30、

借: 令常数列{an }, 其中a1 ? 10000,
S 30 ? 10000 ? 30 ? 3.0 ?10 ;
' 5

还: 令等比数列{bn }, 其中b1 ? 1, q ? 2,
S30 ? 1 ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? 2 .
2 28 29

探究
等差数列{an }的前n项和
Sn ? n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? a1n ? d 2 2

它能用首项和末项表示,那么对于 S30是否也能用

首项和末项表示?

如果可以用首项和 末项表示,那我们 该怎么办呢?
2 28 29

S30 ? 1 ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? 2 ~~~~~~~~~~~

消去中间项

求等差数列{an }的前n项和用了 倒序相加法 即
Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an
Sn ? an ? an ?1 ? ? ? a1

两式相加 而得 Sn
能否找到一 个式子与原 式相减能消 去中间项?

对于式子是否也能用倒序相加法呢??

S30 ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 228 ? 229
2
22
23

2 29

230

S30 ? 1 ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? 2
2 28

29


30

两边同时乘以2,

2S30 ????2 ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? 2
2 3 29



由①-②得,
?S30 ? 1 ? 2
'
30
30 10 S ? 2 ? 1 ? 1.0 ? 10 . 即 30

而S30 ? 3.0 ?10 ,显然S30比S30 大得多,
5 '

因此,建筑队队长最好不要同意这样的 条件,否则会亏大的.

对于一般的等比数列我们又将怎样求得它的前n项和呢?

{an } 设 为等比数列, a1 为首项,q为公比,它的前n项和

Sn ? a1 ? a1q ? a1q2 ? ?? a1qn?2 ? a1qn?1



两边同时乘以 q 为
qSn ? a1q ? a1q ? a1q ? ?? a1q
2 3 n?1

? a1q

n

错 位 4 相 减

由③- 4 得
(1 ? q ) S n ? a1 ?1 ? q n ?

(1 ? q ) S n ? a1 ?1 ? q

n

? ? ? S ?
n

a1 ?1 ? q n ? 1? q
等比数列的 通项公式

分类讨论 当 q ? 1 时,

Sn ?

a1 ?1 ? q n ? 1? q

an ? a1qn?1

a1 ? an q ? ; 1? q

当 q ? 1 时, 即{an } 是一个常数列

Sn ? na1.

例1 求等比数列

1 1 1 , , ,? 2 4 8
1 4 1 2

的前8项的和.

解 由题意知,
Sn ? a1 ?1 ? qn ? 1? q

1 a1 ? , q ? 2

1 ? , n?8 2

代入公式

8 ? 1 ?1? ? ?1 ? ? ? ? 2? ?2? ? 255 ? ? S8 ? ? 1 256 1? 2

a1 , q, n, Sn

练习 紧接例1,补充两个小问
63 (1) 此等比数列的前多少项等于 64 ? 1 1 1 63 4 a ? , q ? ? , S ? , 因为 1 2 n 1 2 64 2

所以

1 2

n ? ?1? ? ?1 ? ? ? ? ?2? ? ? ? ? ? 63 , 1 64 1? 2



n ? 6.

63 则此数列的前6项之和等于 64 .

1 1 1 (2)求等比数列 , , ,…第5项到第10项之和? 2 4 8

方法一:

因为

1 a1 ? , q ? 2

1 4 1 2

1 ? , 2
10 ? 1 ?1? ? ?1 ? ? ? ? 2? ?2? ? 1023 ? ? S10 ? ? . 1 1024 1? 2



4 ? 1 ?1? ? ?1 ? ? ? ? 2? ?2? ? ? ? ? 15 , S4 ? 1 16 1? 2

所以

S10 ? S 4 ?

1023 15 63 ? ? . 1024 16 1024

方法二: (构造新数列)
可将原数列的第5项看做新数列{bn } 的第1项,第10项之 1 和看做第6项,新数列的公比仍为 2 ,则原题的所求的即为 新数列的前6项之和,记作 S '6 .
1 1 因为 a1 ? , q ? , 2 2



等比数列的 通项公式

?1? a5 ? a1q ? ? ? , ?2?
4

5

an ? a1qn?1



?1? b1 ? ? ? , ?2?
?1? ? ? ?2?
5

5

1 q? . 2

n b (1 ? q ) ' 1 Sn ? 1? q

所以

S '6 ?

? ? 1 ?6 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ?2? ? ? ? 63 . 1 1024 1? 2

方法三: (与方法二构造数列)
1 1 因为 a1 ? , q ? , 2 2



?1? ?1? 9 a5 ? a1q ? ? ? , a10 ? a1q ? ? ? , ?2? ?2?
4

5

10

?1? ?1? 则 b1 ? ? ? , b6 ? ? ? , q ? 1 . 2 ? 2? ? 2?
1 ?1? ?1? ? ? ? ? ? ? 63 2 2 2 ' S6 ?? ? ? ? ? 1 1024 1? 2
5 10

5

10

a1 ? an q Sn ? 1? q
'

所以

课堂小结

(1)等比数列的前n项和公式
? a1 ?1 ? q n ? a1 ? an q ? Sn ? ? , ? q ? 1? 1? q 1? q ? ? ? Sn ? na1?????????????????????????????????? ? q ? 1?

(2) 公式推导过程中用到的“错位相减” 方法; (3) 公式的运用.

a1 , q, n, Sn

作业布置
(1)复习今天所学内容; (2)思考题:能否用其他方法推导等比数列 前n项和公式; (3)趣味题: 远望巍巍塔七层, 红光点点倍自增. 共灯三百八十一, 请问尖头几盏灯?


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