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2016届云南省昆明第一中学高中新课标高三第二次双基检测数学(理)试题(扫描版)


昆 明 第 一 中 学 2016 届 高 中 新 课 标 高 三 第 二 次 双 基 检 测 理 科 数 学 试 卷

昆明市第一中学 2016 届高三第二次月考 参考答案(理科数学)
命题、审题组教师 彭力 丁茵、顾先成、杨仕华、鲁开红、张兴虎、张波、李建民、张宇甜、

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 题号 答案 1. 2. 1 D 2 C 3 B 4 D 5 A 6 A 7 B 8 D 9 D 10 C 11 C 12 B

解析:集合 M ? ? x | x ? 0? , N ? ?0, ?1? ,所以 M I N 解析:因为 z1

? ??1,0?,选 D.

2 1 ? 1 ? ? 1 ? i ,所以 z2 ? ?1? i ,所以 z1z2 ? ? ?1 ? i ? ? ?2i ,选 C.

i

3. 4.

解析: a ? 2b ?

?

?

?2 ? ? ?2 a ? 4a ? b ? 4 b ? 3 ? 12 ? 16 ? 7 ,选 B.

解析: p1 是假命题, ?x ? R , 3 sin x ? cos x ? 2sin ? x ?

? ?

??

? ? ? ?2, 2? , 6?

p2 是假命题, y=sin ?sin x ? 是奇函数,

p3 是真命题,在 ?ABC 中, sin A ? sin B ? a ? b ? A ? B ,
p4
是 真 命 题 ,

?x ??? , 2? ?



x ?? ? ? ,? ? 2 ? ?2 ?



1 ? cos x x x x ? cos2 = cos ? ? cos ,选 D. 2 2 2 2
5. 解析:由三视图可知,原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥后得到的几何体, 如图,体积为

1 1?1 ? ? 6 ? 8 ?10 ? ? ? 6 ? 8 ? ? 6 ? 192 ,选 A. 2 3? 2 ?
6. 解 析 : 由 程 序 框 图 知 , 算 法 的 功 能 是 求

6 4 6 8

S ? cos

?
3

? cos

2? k? ? cos ? ? ? ? cos 的值. 3 3 2? 2017? ? cos ? ? ? ? cos 3 3

跳出循环的 n 值为 2017 ,输出

S ? cos


?
3

? cos

? k ? 1? ? ? cos ? k ? 2 ? ? ? cos ? k ? 3? ? ? cos ? k ? 4 ? ? ? cos ? k ? 5? ? ? 0 k? ? cos 3 3 3 3 3 3 ? 1 所以输出 S ? 336 ? 0 ? cos ? ,选 A . 3 2
cos
7. 8.
x 解析: f ?( x) ? 2 f ?(1) ? e , f ?(1) ? 2 f ?(1) ? e , f ?(1) ? ?e ,选 B.

解析:如图所示, 作出不等式组表示的平面区域,由图 可知,当平行直线 z ? x ? 4 y 过点 A(2, 2) 时,目标函数

z ? x ? 4 y 取得最小值为 10,选 D.
9. 解析:设 A(x1 ,y1 ) , B (x2 ,y2 ) ,直线 l 的斜率为 k ,由方





? y 2 =5 x ? ? 5? ? ? y =k ? x ? 4 ? ? ? ?





y



? 5k 2 ? 25k 2 5 5 k 2 x2 ? ? +5 ? x + =0 , x1 +x2 = + 2 , 所 以 2 k 16 ? 2 ?
5 5 20 AB =x1 +x2 + =5+ 2 = ,解得 k = ? 3 ,选 D. 2 k 3
10. 解析:如图,因为侧棱垂直于底面,所以侧面 BCC1B1 ? 底面 ABC , 由 AB ? AC ? 7 知 AD ? BC ,所以 AD ? 平面 BCC1B1 , 故 ?AB1 D 为 直 角 三 角 形 , 由 条 件 可 求 得 AD ? 3 , DB1 ? 13 , 所 以
A1 B1 C1

1 1 39 S?AB1D ? ? 3 ? 1 3? , 又 S ?B1DC1 ? ? 4 ? 3 ? 6 , 设三棱锥 C1 ? AB1D 2 2 2 1 1 12 13 的高为 h ,则 ? S?AB1D ? h ? ? S ?B1DC1 ? AD 得: h ? ,选 C. 3 3 13

A D B

C

1 2 11. 解析:当男生甲站在正中间后, 2 名女生相邻的站法有 A4 A2 种站法,剩余 4 名男生的
1 2 4 4 站法数有 A4 种,则共有 A4 A2 A4 ? 192 种,选 C.

12. 解析:因为函数 y ? 转化为点 M

1 ln x 与 y ? e2 x 互为反函数,其图像关于 y ? x 对称,故 MN 可 2

到直线 y ? x 距离的 2 倍,与 y ? x 平行的曲线 y ?

1 ?1 1 1? ln x 的切线对应切点为 ? , ln ? , 2 ?2 2 2?

1 1 1 ? ln 2 ?1 ? ln 2 ? 该点到直线 y ? x 距离为 d ? 2 2 2 ? , 所 以 MN 的 最 小 值 为 4 2

2 ? 1? l n ?2 ,选 B. 2
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
3 3 r r r r 13. 解析:设通项为 Tr ?1 ? C8 a ? 56a3 ? 7 , (ax)r ? C8 a x ,令 r ? 3 ,即 x3 的系数为 C8

所以 a ?
3

1 1 ,a ? . 8 2
2 cos( x?

14. 解析:函数 f ( x) ? sin 2x ?

?
4

)= sinx2 +sin x +cos x, 令 sinx +cosx ? t ,

? t?? ? ? 2, 2 ? ;

? 5 ? ? 1? 5 所以 y ? t +t ? 1= ? t ? ? ? ,则值域为 ? ? ,1 ? 2 ? ? 4 ? ? 2? 4
2

2

15. 解析: 1 ? lg

1 1 1 , 或 lg ? ?1 ? ?1 ? lg x, 或 lg x ? 1 ? x ? 10, 或 0 ? x ? ,所以 x 的 x x 10

1 ? , 或x ? 10? . 10 ? ? ? ? ? ? ? 16. 解 析 : 由 OP =1 得 (xe1 +ye2 )2 =1 , 所 以 圆 O 方 程 为 x2 +y 2 +xy ? 1=0 , 变 形 为
取值范围为 ? x 0 ? x ?

?

2 3 2 3 1 2 2 2 ,由均值不等式得 (x +y ) ? (x +y ) +1 ,解得 ? . ? x+y ? (x +y ) =x y +1 4 3 3
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. 解:( I )由 4S1 ? (a1 ? 1)2 得 a1 =1.

4S n ? (an ? 1) 2

① , 4S n?1 ? (an?1 ? 1) 2 (n ? 2)
2 2

② ??? 4 分

由 ① ? ② 得 4an ? an ? 2an ? an?1 ? 2an?1

即 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0 而 an ? 0 ,所以 an ? an?1 ? 2(n ? 2) 故数列 {an } 是首项为 1,公差为 2 的等差数列.所以 an ? 2n ? 1 ( II ) bn ? ???6 分

1 1 1 1 ? ( ? ) , Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? (1 ? ) ??? 10 分 2 3 2 3 5 2 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 1 1 1 1 ) 为增函数, 所以 ? Tn ? 因为 Tn ? (1 ? ????12 分 2 2n ? 1 3 2 P 18. 解: (Ⅰ)证明:连接 BD ,交 AC 于点 O ,连接 PO , EO , ?
则 O 为 BD 的中点, ???2 分 因为 E 为侧棱 PD 的中点,所以 OE ∥ PB , 又 OE ? 平面 AEC , PB ? 平面 AEC , 所以 PB ∥平面 AEC . ???5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知点 O 为正方形 ABCD 的中心, 所以 PO ? 平面 ABCD ,以点 O 为原点,分别以直线 OB ,

E A O B C D

z
P

OC , OP 为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系 O ? xyz ,
设 OP ? 2a ,因为 AB ? 2 2 ,所以 O(0,0,0) ,

E A O D C

A(0, ?2, 0) , C (0, 2,0) , P(0, 0, 2a) , D(?2, 0, 0) ,
因为 E 为侧棱 PD 的中点,所以 E (?1, 0, a) ; ???6 分

x

B

y

所以 AC ? (0, 4,0) , AD ? (?2, 2,0) , AE ? (?1, 2, a) ,

??? ?

??? ?

??? ?

C 设平面 ACE 的法向量为 m ? ( x, y, z) , 由 m ?A

??

? ?? ?

m ? AE 可求得 m ? (az,0, z) , , 取 z ?1

??

??? ?

??

得 m ? (a,0,1) ;同理可求得平面 ADE 的一个法向量为 n ? (a, a, ?1) ; 由已知条件可得 cos ? m, n ?? 0 求得 a ? 1 ; 所以三棱锥 E ? ACD 的高为 1 ,所以 VE ? ACD ?

??

?

???8 分

?? ?

???10 分

1 1 4 ? ? (2 2) 2 ? 1 ? . ???12 分 3 2 3 19. 解: (Ⅰ)设“游戏结束后甲取了 3 次黑球”为事件 A , “游戏结束后甲取了 2 次黑球”
为事件 B , “游戏结束后乙取到 1 个黑球”为事件 C , “甲取球 3 次后记录所得的黑球次 数大于乙所取黑球个数”为事件 M ,则
1 2 C2 C 1 3 5 ?1? 2?1? P( M ) ? P( A) ? P( BC ) ? C ? ? ? C3 ? ? ? 3 2 ? ? ? ???6 分 8 16 16 ?2? ? 2 ? C4 3 3 3 3

(Ⅱ)由题意, X 可取 0 , 1 , 2 , 3 ; Y 可取 1 , 2 ,则
i ?1? P( X ? i) ? C3 ? ? ?2? i

?1? ?? ? ? 2?
1 3 8

3?i

(i ? 0,1, 2,3) ; P(Y ? 0) ? P(Y ? 1) ?
2 3 8

1 2 C2 ? C2 3 C4

X P

0 1 8

3 1 8

Y P

1 1 2

2 1 2

则 ? 可取 0 , 1 , 2 ,

3 1 3 1 3 P(? ? 0) ? P( X ? 1) P(Y ? 1) ? P( X ? 2) P(Y ? 2) ? ? ? ? ? ; 8 2 8 2 8

P(? ? 1) ? P( X ? 0) P (Y ? 1) ? P( X ? 1) P(Y ? 2) ? P ( X ? 2) P (Y ? 1) ? P( X ? 3) P(Y ? 2) 1 1 3 1 3 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8 2 8 2 8 2 8 2 2
1 1 1 1 1 P(? ? 2) ? P( X ? 0) P(Y ? 2) ? P( X ? 3) P(Y ? 1) ? ? ? ? ? 8 2 8 2 8
则 ? 的分布列为

Y P

0 3 8

1 1 2

2 1 8
???10 分

所以 E? ? 0 ?

3 1 1 3 ? 1? ? 2 ? ? . ??? 12 分 8 2 8 4

20. 解: (Ⅰ) 由题意 tan ?MF1 F2 =

MF2

1 = , 设 MF2 =m , F 则 MF1 = 5m , 1F2 =2m , F1 F2 2

由双曲线定义得 2a = MF1 ? MF2 = 5m ? m ,又 2c =2m , 所以 e=

2c 2m 5+1 = = 2a 2 5m ? m

???5 分

(Ⅱ)设直线 MN 与 y 轴的交点为 G (0,2) ,因为点 O 为 F1 F2 的中点,且 OG ∥ MF2 ,

b2 =4 . 所以 G 为 MF1 的中点, MF2 = ???8 分 a ???? ???? ? 由 MN =5 F1 N 可得 FG ,设 N (x1 ,y1 ) ,则 (c,2)=3(x1 +c,y1 ) , =3 F N 1 1
4 2 4 c 2 x y 2 2 9 =1 , 代入双曲线方程 2 ? 2 =1(a >0,b >0) 得 2 ? 9 又 b =4a , x1 = ? c ,y1 = , 2 3 a b a b 3
2 2

c 2 =a 2 +b2 ,所以

4(a 2 +4a) 1 ? =1 ,解得 a =3 ,于是 b 2 =12 , b=2 3 .???12 分 2 9a 9a
b 3 在 点 (1, f (1)) 的 切线 方 程为 y ? x ? 1 ? , 所 以 e e

21. 解 : (Ⅰ )因 为 f ( x ) ? ax ln x ?

f (1) ?

b 3 3 ? , 所 以 b ? 3 , f ( x) ? ax ln x ? , 所 以 f ?( x) ? a(1 ? ln x) , 所 以 e e e

???4 分; f ?(1)? a ? 1

2x 3 ex f ( x) ? 2 等价于 x ln x ? x ? . 证明: (Ⅱ) e e x
设 g ( x) ? x ln x ,则 g ?( x) ? 1? ln x ,当 x ? (0, ) 时, g ?( x ) ? 0 ;当 x ? ( , ??) 时,

1 e

1 e

g ?( x ) ? 0.
所 以 g ( x) 在 x ? (0, ) 单 调 递 减 , 在 x ? ( , ??) 单 调 递 增 . 所 以

1 e

1 e

1 1 g ( x) min ? g ( ) ? ? .???8 分; e e 2x 3 2 设 h( x ) ? x ? , h?( x) ? x (1 ? x) , 当 x ? ( 0, 1) 时 , g ?( x ) ? 0; 当 x ? (1,?? )时 , e e e

g ?( x ) ? 0.
所以 h( x) 在 x ? (0,1) 单调递增, 在 x ? (1, ??) 单调递减, 所以 h( x ) max ? h(1) ? ? . ??? 10 分; 所以 g ( x) ? h( x) ,即 x ln x ?

1 e

2x 3 ex ? f ( x) ? 2 .???12 分 ,所以 ex e x

第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22. 解 : ( Ⅰ ) 因 为 PA 是 圆 O 的 切 线 , AB 是 圆 O 的 弦 , 所 以 ?BAP ? ?C , 又

?APD ? ?CPE ,所以 ?BAP ? ?APD ? ?C ? ?CPE ,
又因为 ?ADE ? ?BAP ? ?APD , ?ADE ? ?C ? ?CPE 所以 ?ADE ? ?AED . 即 ?ADE 是等腰三角形,又 H 点是线段 DE 的中点,所以 AH ? ED ,所以

?PHF ? ?PHA ? 900 ,又
?APE ? ?CPE , PH ? PH ,
所以 ?PAH ? ?PFH ,所以 AH ? HF , 所以 AF 与 DE 互相垂直且平分. ???6 分

2 (Ⅱ)因为圆 O 的半径为 3 , PB ? 3 ,所以 PC ? 9 ,由切割线定理得, PA ? PB ? PC .由

(Ⅰ)知 AP ? PF ,从而 PF ? PB ? PC ? 27 ,所以 PF ? 3 3 .
2

???10 分

? x ? 3cos? 23. 解:(Ⅰ)由 ? ? y ? 2sin ?
由 ? ? 2 2 cos(? ?

得:

x2 y 2 ? ?1 9 4

???2 分

?
4

? ? 2cos? ? 2sin ? , 所以 ? 2 ? 2? cos? ? 2? sin? ) 得:

所以 x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 即: ( x ?1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 曲线 C1 ,C2 的普通方程分别为: 分 (Ⅱ)方程

x2 y 2 ? ? 1 ;( x ?1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 ; ???5 9 4

x2 y 2 ? ? 1 中, 令 y ? 0 易知点 P(3,0) , 因为曲线 C2 是以点 G(1, ?1) 为 9 4

圆心,半径 r ? 2 的圆,所以当 PM ? PN 取得最大值时直线 MN 与直线

PG 重合,所以过点 M , N 的直线的普通方程为: y ?

?1 ? 0 ( x ? 3) ,即 1? 3

x ? 2 y ? 3 ? 0 . ???10 分
2 2 2 2 2 24. 证明:(Ⅰ)要证 ? a ? b ? ab ? c ? 4abc ,可证 a b ? ac ? ab ? bc ? 4abc ? 0 ,

?

?

2 2 2 2 需证 b a ? c ? 2ac ? a c ? b ? 2bc ? 0 ,

?

? ?
2

?

即证 b ? a ? c ? ? a ? c ? b ? ? 0 ,当且仅当 a ? b ? c 时,取等,
2

由 已 知 , 上 式 显 然 成 立 , 故 不 等 式 立. ???5 分 法 2: a , b , c 均为正实数

? a ? b ? ? ab ? c 2 ? ? 4abc



a ? b ? 2 ab ,当且仅当 a ? b 时,取等, ab ? c2 ? 2 ab ? c ,当且仅当 ab ? c 时,取等,
2 所以 ? a ? b ? ab ? c ? 4abc ,当且仅当 a ? b ? c 时,取等.

?

?

(Ⅱ)因为 a , b , c 均为正实数,由不等式性质知:

a ?1? 2 a ? 3 ? ,当且仅当 a ? 1 ? 2 时,取等, 2 2 b ?1? 2 b ? 3 b ?1 ? 2 ? ? ,当且仅当 b ? 1 ? 2 时,取等, 2 2 c ?1? 2 c ? 3 c ?1 ? 2 ? ? ,当且仅当 c ? 1 ? 2 时,取等, 2 2 a?b?c?9 ?6 以上三式相加得: 2 a ? 1 ? b ? 1 ? c ? 1 ? 2 a ?1 ? 2 ?

?

?

所 以 等.

a ?1 ? b ? 1 ? c? ? 1

3 , 2 当 且 仅 当 a ? b ? c ?1 时 , 取

???10 分 法 2:由柯西不等式知

a ?1 ? 2 ? b ?1 ? 2 ? c ?1 ? 2 ? a ?1? b ?1? c ?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 6
所以

a ? 1 ? b ? 1? c ? 1? 3 2, 当 且 仅 当

a ?1 b ?1 c ?1 即 ? ? 2 2 2

a ? b ? c ? 1 时,取等.


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