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高中数学1-2-3同角三角函数的基本关系课件新人教B版必修


1.2.3同角三角函数的基本关系

同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系: sin2α+cos2α=1 (2)商数关系: 即同一个角的正弦、余弦的商等于这个角的正切. . 即同一个角的正弦、余弦的平方和等于1.

(3)倒数关系:tanα·cotα=1

,即同一个角的正切、

余切之积等于1(或同一个角的正切、余切互为倒数).

重点:同角三角函数基本关系式的推导及其应用. 难点:关系式在解题中的灵活运用和同学们思维灵活

性的培养.
1.同角三角函数的关系式必须在“同角”的前提下应 用. 2.同角三角函数的基本关系式的应用 (1)同角三角函数的基本关系式主要用于:

①已知某角的一个三角函数值,求它的其余各三角函
数值; ②化简三角函数式; ③证明三角恒等式.

(2)已知某角的一个三角函数值, 求它的其余各三角函 数值时,要注意角所在的象限.这主要是因为在使用 cosα =± 1-sin2α或 sinα=± 1-cos2α时,要根据角 α 所在的 sinα 象限,恰当选定根号前面的正负号.而在使用 tanα= cosα 时, 没有选定正负号的问题. 这类题通常有下列几种情况: ①如果已知三角函数的值,且角的象限已被指定时, 那么只有一组解;

②如果已知三角函数的值,但没有指定角在哪个象限,
那么由已知三角函数值确定角可能在的象限,然后再求解, 这种情况一般有两组解; ③如果所给的三角函数值含字母,且没有指定角在哪 个象限,那么就需要进行讨论.

3 . (1) 三角函数式的化简实际上是一种不指定答案的
恒等变形,要明确化简的基本要求:尽量减少角的个数, 尽量减少三角函数的种数,尽量化同角、化同名等.其他 思想还有:异次化同次、高次化低次、化弦或化切、特殊 角三角函数与特殊值互化等.

化简的方法有切割化弦法,1的代换法等.
(2)已知某个角的一个三角函数值,求这个角的其它三 角函数值的方法.

方法 1 :定义法.设出角终边上点的坐标,用定义求
解. 方法2:公式法.已知正、余弦中的一个值,求其它值 时,要用平方关系 ( 注意开方时符号的选取,有时要讨论 ) ; 已知正切值,求其他值时,需用两个公式建立方程组求

解.
(3)证明恒等式的过程就是通过转化和消去等式两边差 异来促成统一的过程,证明的方法在形式上显得较为灵活, 常用的有以下几种:

①从等式的一边开始证得它的另一边,一般把比较复
杂的一边化简得到另一边,其依据是相等关系的传递性. ②综合法.由一个已知成立的等式 ( 如公式等 ) 恒等变 形得到所要证明的等式,其依据是等价转化的思想,即“a =b等价于c=d,所以a=b成立的充要条件是c=d成立”.

③证明等式左右两边都等于同一个式子,其依据是等
于同一个量的两个量相等,即“ a=c,b=c ,则 a= b”, 它可由相等关系的传递性及对称性推出.

[例 1]

8 已知 cosα=-17,求 sinα,tanα 的值.

[分析] 可先由余弦值是负的确定角α的终边在第二或 第三象限,然后再分象限讨论.

[解析]
象限角.

因为cosα<0,且cosα≠-1,故α是第二或第三

如果α是第二象限角,那么

sinα= 1-cos α=

2

? 8 ?2 15 1-?-17? = , 17 ? ?

sinα 15 ? 17? 15 ? ? tanα=cosα=17× - 8 =- 8 . ? ? 15 15 如果 α 是第三象限角,那么 sinα=- ,tanα= . 17 8

[点评] 本题没有具体指出α是第几象限角,必须由
cosα的值推断α可能是第几象限的角,再分象限加以讨论.

12 (2009· 全国Ⅱ)已知△ABC 中,cotA=- ,则 cosA= 5 ( 12 A. 13 5 C.-13
[答案] D

)

5 B. 13 12 D.-13

[解析]

12 5 ∵cotA=- 5 ,∴tanA=-12,

又∵A 是三角形的内角,∴A 是钝角. 1-cos2A 25 sinA 5 sin2A 25 ∵cosA=-12,∴cos2A=144,∴ cos2A =144, 144 ∴cos A= , 169
2

12 又∵cosA<0,∴cosA=-13.

[例 2] tanθ.

1- 3 已知 sinθ+cosθ= 2

(0<θ<π). 求 sinθ,

[分析] 若能再找出关于sinθ,cosθ的另外的关系式, 可通过解方程分别求出sinθ,cosθ.

[解析]

1- 3 由 sinθ+cosθ= 2 两边平方得: 3? ?2
? ?

?1- 1+2sinθcosθ=? ? 2 ?

3 .∴sinθcosθ=- 4 ,

? ?sinθ+cosθ=1- 3 2 ? 即? 3 ? sinθcosθ=- ? 4 ?



解方程组并注意到 0<θ<π 得: 1 3 3 sinθ= ,cosθ=- ,∴tanθ=- . 2 2 3

[点评] sinθ±cosθ与sinθcosθ之间有着密切的关系,
它们由sin2θ+cos2θ=1联系起来.

若 sinθ 与 cosθ 是方程 2x2-( 3+1)x+m=0 的两个 根, (1)求 tanθ 的值; sinθ cosθ (2)求 + 的值. 1-cotθ 1-tanθ

[解析]

(1)由题设条件 ① ②

? ?sinθ+cosθ= 3+1 ? 2 ? m ? sinθ· cosθ= ? 2 ?

3 ①式平方并将②代入得 m= 2 , 2+ 3 3 由 Δ=( 3+1) -8m≥0 得 m≤ ,∴m= 适合. 4 2
2

3 3 1 ∴方程 2x2-( 3+1)x+ 2 =0 两根,x1= 2 ,x2=2, sinθ 3 ∴tanθ= = 3或 . cosθ 3

3+1 (2)由根与系数关系 sinθ+cosθ= , 2 sin2θ-cos2θ sin2θ cos2θ ∴原式= + = sinθ-cosθ cosθ-sinθ sinθ-cosθ 3+1 =sinθ+cosθ= . 2

[例 3]

化简下列各式.
2

1-2sin10° cos10° (1) 1-sin 400° ;(2) . 2 sin10° - 1-sin 10°

[分析] 本题是化简二次根式,应将被开方式化为完

全平方式,从二次根号下移出来,同时要注意移出后的符
号.

[解析]

(1) 1-sin2400° = cos2400° =|cos400° |

=|cos(360° +40° )|=|cos40° |=cos40° ; 1-2sin10° cos10° (cos10° -sin10° )2 (2) = 2 - cos210° sin10° - 1-sin 10° sin10° |cos10° -sin10° | cos10° -sin10° = = =-1. sin10° -cos10° sin10° -cos10°
[点评] 利用同角三角函数之间的关系公式去掉根号

是解决此题的关键,对于去掉根号后的含绝对值的式子,
需根据绝对值内的式子的符合,做好分类讨论,去掉绝对 值.

1+sinα cosα 求证: = cosα . 1-sinα
[分析] 解法一:因为右边分母为cosα,故可将左边分

子、分母同乘cosα,整理化简即可.
解法二:只要证明左式-右式=0即可.

[解析]

cos2α 解法一:左边= cosα(1-sinα)

1-sin2α = cosα(1-sinα) (1-sinα)(1+sinα) 1+sinα = = =右边, cosα cosα(1-sinα) ∴原式成立. 1+sinα cosα 解法二:∵ - cosα 1-sinα cos2α-(1+sinα)(1-sinα) cos2α-(1-sin2α) = = cosα(1-sinα) cosα(1-sinα)

cos2α-cos2α = =0, cosα(1-sinα) 1+sinα cosα ∴ = cosα . 1-sinα
[点评] 种: (1)从一边开始,证得它等于另一边,一般由繁到简. (2)左右归一法,即证明左右两边都等于同一个式子. 左边 (3) 比较法,即证明“左边-右边= 0”或“ = 右边 1”. 关于三角恒等式的证明,一般方法有以下几

(4)分析法,从被证的等式出发,逐步探求使等式成立
的条件,一直到成立的条件为已知条件或明显的事实为止, 就可以判定原式成立.

[例 4]

1 已知 tanα=- ,求下列各式的值: 3

4sinα-2cosα (1) ; 5cosα+3sinα 3 (2)2sin α- sinαcosα+5cos2α; 2
2

1 (3) . 1-sinαcosα

[分析]

由于已知条件为切, 所求式为弦, 故应想办法

将切化弦, 或将弦化切(这是一种分析综合的思想). 若切化 sinα 1 弦,应把条件 tanα=cosα=-3代入所求式,消去其中一种 函数名, 再进一步求值; 若弦化切, 应把所求式化成用 tanα 表示的式子,一般来说,关于 sinα 和 cosα 的齐次式都可化 为以 tanα 表示的式子.

[解析] 求式得

sinα 1 (1)由 tanα=cosα=-3得 cosα=-3sinα, 代入所

4sinα-2(-3sinα) 10sinα 5 = =-6; 5(-3sinα)+3sinα -12sinα 3 2sin α-2cosαsinα+5cos2α (2)原式= sin2α+cos2α
2

? ? 3 1 2 ? ? = 2tan α-2tanα+5 · 2 ? ? 1+tan α ? 1 1 ? 9 103 =?2×9+2+5?· = ; 20 ? ? 10

1 (3)原式= 2 sin α+cos2α-sinαcosα sin2α+cos2α = 2 tan α+cos2α-sinαcosα 10 1+tan2α 9 10 = 2 = = . tan α-tanα+1 13 13 9 [点评] 第(3)题对分母中常数“1”的处理是利用平方
关系将其转化为sin2α+cos2α,从而将分母转化为sinα和

cosα的齐次式,这是处理三角变换中经常用到的方法.解
第(3)题时,应注意分子、分母是否齐次,不要盲目弦化 切.

(2010· 广东普宁市高一下学期期末测试)已知 tanα=- 1 2 2 2 2,则4sin α+5cos α=________.

7 [答案] 25

[解析]

∵tanα=-2,

1 2 2 2 4sin α+5cos α 1 2 2 2 ∴4sin α+5cos α= sin2α+cos2α 1 2 2 1 2 4tan α+5 4×4+5 7 = 2 = =25. tan α+1 4+1

[例 5]

1+secα+tanα 1+sinα 求证: = cosα . 1+secα-tanα

[解析]

设 M(x, y)为 α 终边上异于原点的一点,|OM|

=r,由三角函数定义有 y x y r sinα=r ,cosα=r ,tanα=x,secα=x. r y 1+x+x x+r+y 左边= = r y x+r-y 1+x-x

(x+r+y)(x+r+y) (x+r+y)2 = = (x+r-y)(x+r+y) (x+r)2-y2 2r2+2xr+2xy+2ry (r+y)(x+r) r+y = = = x , 2 2x +2xr x(x+r) y 1+r r+y 右边= x = x ,∴原等式成立. r

[ 点评 ]

同角三角函数的关系有:平方关系、商数关

系、倒数关系,它们的规律可用“六边形法则”来记 忆.此六边形构造是“上弦、中切、下割,左正、右余、 中 1 ,倒数对角线,乘积两边夹 ( 商数依序除 ) ,平方倒三 角”.

就是说:(1)对角线上的都成倒数关系,即sinα·cscα=
1,cosα·secα=1,tanα·cotα=1; (2)成平方关系的都在顶点向下的三个阴影倒三角形中, 下边顶点处的是其余两个的平方和,即 sin2α + cos2α = 1 , tan2α+1=sec2α,1+cot2α=csc2α;

(3)任何一个都是夹它两个的乘积, 即 tanα=sinα· secα, cscα=secα· cotα??,任何一个都是依顺(或逆)时针顺序两 sinα cosα cotα 个的商,即: tanα= , sinα= , cosα= , secα cosα cotα cscα cscα = cotα ?利用它一可帮助记忆,二可帮助寻找求同角三角 函数值的解题途径.

? 1 ? 1 1 ? ? 1+ 求证:sinθ· (1+tanθ)+cosθ· tanθ?=sinθ+cosθ. ?

[分析] 证明三角恒等式的原则是由繁到简.常用的 方法有:①从一边开始,证得它等于另一边;②证明左右

两边都等于同一个式子;③变更论证,即通过化除为乘、
左右相减等,转化成证明与原结论等价的式子.

[解析]

? ? sinθ ? cosθ ? 左边=sinθ?1+cosθ?+cosθ?(1+ sinθ )? ? ? ? ?

sin2θ cos2θ =sinθ+ +cosθ+ cosθ sinθ
? cos2θ? ? sin2θ? =?sinθ+ sinθ ?+?cosθ+ cosθ ? ? ? ? ?

sin2θ+cos2θ cos2θ+sin2θ = + sinθ cosθ 1 1 = + =右边. sinθ cosθ

[点评] 证明三角恒等式离不开三角函数的变换.在
变换的过程中,把正切函数化成正弦或余弦函数,减少函 数的种类,往往有利于发现等式两边的关系或使式子简化, 要细心观察等式两边的差异,灵活运用所学的知识,使证 明简便.

[例6] 已知cosθ=t,求sinθ,tanθ的值.

[误解]

(1)当 0<t<1 时,θ 为第一或第四象限角,θ 为

第一象限角时,sinθ= 1-cos2θ= 1-t2, 1-t2 sinθ tanθ=cosθ= t ; θ 为第四象限角时,sinθ=- 1-cos2θ=- 1-t2; 1-t2 sinθ tanθ=cosθ=- t .

(2)当-1<t<0 时,θ 为第二或第三象限角,θ 为第二象限 角时,sinθ= 1-cos2θ= 1-t2, 1-t2 sinθ tanθ=cosθ= t ; θ 为第三象限角时, sinθ=- 1-cos2θ=- 1-t2. 1-t2 sinθ tanθ=cosθ=- t .

? 1-t2(θ为第一、二象限角) ? 综上,sinθ=? 2 ? - 1 - t (θ为第三、四象限角) ?
2 ? 1 - t ? (θ为第一、二象限) ? t tanθ=? 1-t2 ? - t (θ为第三、四象限) ? ?



.

[辨析] 上述解法注意到了θ的余弦值含有参数t,根据
余弦函数的取值范围对t进行分类讨论,但上述讨论不全面, 漏掉了很多情况,如t=-1,t=0,t=1.

[正解]

当 t=-1 时,sinθ=0,tanθ=0;

当-1<t<0 时,θ 为第二或第三象限角,若 θ 为第二象
2 1 - t 限角,则 sinθ= 1-t2,tanθ= ,若 θ 为第三象限角, t 2 - 1 - t 则 sinθ=- 1-t2,tanθ= . t

当 t=0 时,sinθ=1,tanθ 不存在或 sinθ=-1,tanθ 不 存在.

当 0<t<1 时,θ 为第一或第四象限角,若 θ 为第一象限
2 1 - t 角,则 sinθ= 1-t2,tanθ= ,若 θ 为第四象限角,则 t 2 1 - t sinθ=- 1-t2,tanθ=- t .

当 t=1 时,sinθ=0,tanθ=0. 综上得:

一、选择题 2 5 π 1.已知 sinα= , <α<π,则 tanα=( 5 2 A.2 1 C. 2 B.-2 1 D.- 2 )

[答案] B

[解析]

2 5 π ∵sinα= , <α<π, 5 2
?2 5? ?2 1-? ? 5 ? =- ? ?

∴cosα=-

5 5,

sinα ∴tanα=cosα=-2.

2sinα-cosα 2.(2009· 陕西)若 tanα=2,则 的值为 sinα+2cosα ( A.0 C.1 3 B.4 5 D. 4 )

[答案] B
2sinα-cosα 2tanα-1 2×2-1 3 [解析] = = =4. sinα+2cosα tana+2 2+2

1 π π 3. sinαcosα=8, 且4<α<2, 则 cosα-sinα 的值为( 3 A. 2 3 C. 4 3 B.- 2 3 D.- 4

)

[答案] B

[ 解析 ]

(cosα - sinα)2 = sin2α - 2sinαcosα + cos2α = 1

1 3 3 π π -2· 8=4,∴cosα-sinα=± 2 ,又4<α<2, 3 sinα>cosα,∴cosα-sinα=- . 2

二、填空题 4. (2010· 广东普宁市高一下学期期末测试)若 sinα= m-3 4-2m π ,cosα= , <α<π,则 m=________. m+5 m+5 2

[答案] 8

[解析]

?m-3 ? >0 ?m+5 ?4-2m <0 由题意,得? ? m+5 ? m+3 2 4-2m 2 ?(m+5) +( m+5 ) =1 ?



解得 m=8,∴m=8.

5.已知 tanα= 3 ________.

3 (π<α< 2π),则 cosα-sinα 等于

[答案]
[解析]

3-1 2
由 tanα=
? 3π? 3?π<α< 2 ?,结合 ? ?

Rt△知 sinα=-

3-1 3 1 ,cosα=- ,∴cosα-sinα= . 2 2 2

三、解答题 1 6.已知 sinθ-cosθ=2,求 sin3θ-cos3θ 的值.
[解析] 1 1 2 ∵sinθ-cosθ=2,故(sinθ-cosθ) =4,

1 3 1-2sinθcosθ=4,sinθcosθ=8, ∴sin3θ - cos3θ = (sinθ - cosθ)(sin2θ + cos2θ + sinθ· cosθ) 3? 11 1 ? = ×?1+8?= . 2 ? ? 16


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