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2.1.2求导法则


2.1.2

第二章

求导法则
一、四则运算求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题 五、隐函数的求导 六、参数方程表示函数的导数 七、高阶导数 八、相关变化率

一、四则运算求导法则
定理1. 的和、 差、 积、 商 (除分母 为 0的点外) 都在点 x 可导

, 且

(v( x) ? 0)
下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和 例题 .

(1) (u ? v)? ? u? ? v? 证: 设 f ( x ) ? u ( x ) ? v ( x ) , 则 f ( x ? h) ? f ( x ) f ?( x) ? lim h?0 h [ u ( x ? h) ? v ( x ? h) ] ? [ u ( x ) ? v ( x ) ] ? lim h?0 h u ( x ? h) ? u ( x ) v ( x ? h) ? v ( x ) ? lim ? lim h?0 h?0 h h ? u?( x) ? v?( x) 故结论成立.
此法则可推广到任意有限项的情形. 例如,

(2) (u v)? ? u?v ? u v?
证: 设 f ( x) ? u ( x)v( x) , 则有
f ( x ? h) ? f ( x ) u ( x ? h ) v ( x ? h ) ? u ( x ) v ( x ) f ?( x) ? lim ? lim h ?0 h ?0 h h
? v( x) ? u ( x ? h) ? u ( x ) v ( x ? h ) ? v ( x ? h) ? u ( x ) ? lim ? ? h ?0 ? h h ?

? u ?( x)v( x) ? u ( x)v?( x)

故结论成立.

推论: 1) ( C u )? ? C u ? ( C为常数 )

2) ( uvw )? ? u ?vw ? uv?w ? uvw? ? 1 ln x ? ? 3) ( log a x )? ? ? ?? ? ln a ? x ln a

例1. y ? x ( x ? 4 cos x ? sin 1) ,
3 ? ( x ? 4 cos x ? sin 1) 解: y ? ? ( x )

3

? x ( x ? 4 cos x ? sin 1)?
3

2 x 1 y ? x ?1 ? (1? 4 cos 1? sin 1) ? ( 3 ? 4 sin 1) 2 7 7 ? ? sin 1 ? 2 cos 1 2 2

?

1

( x 3 ? 4 cos x ? sin 1) ? x ( 3 x 2 ? 4 sin x )

(3) ?

u ? u ?v ? u v? ? ? 2 v v
u ( x) v( x)

证: 设 f ( x ) ?

, 则有

f ( x ? h) ? f ( x ) f ?( x) ? lim ? lim h ?0 h ?0 h

u ( x ? h) u ( x) ? v ( x ? h) v( x)

h

v ( x ? h) ? v( x) u ( x ? h) ? u ( x) v( x) ? u ( x) ? ? h h ? lim ? ?
h ?0

?

v ( x ? h )v ( x )

?

u ?( xu )v ( x )( ?xu ( x) v?( x) ? ( x ) v ) ? 故结论成立. 2 u ( x ? h)v( x) ? u (v x)( vx ()x ? h) C ? ? C v? h: v( x 推论 ? ? h? )v? ( x) 2 ( C为常数 ) v v

例2. 求证

? sin x ? (sin x)? cos x ? sin x (cos x)? ? 证: (tan x)? ? ? ?? cos 2 x ? cos x ?
2 2 cos x ? sin x ? sec 2 x ? cos 2 x ? ? cos x ? 1 ? ? (sin x)? ? (csc x)? ? ? ? ? 2 2 ? sin x ? sin x sin x

? ? csc x cot x
类似可证: (cot x)? ? ? csc 2 x , (sec x)? ? sec x tan x .

二、反函数的求导法则
( y ) 的反函数 , f ( y ) 在 y 的某邻域内单调可导, 且 [ f ?1 ( y )]? ? 0 d y 1 f ?( x) ? ?1 或 ? d1x dx [ f ( y )]?
证: 在 x 处给增量 ?x ? 0 , 由反函数的单调性知 ?y 1 ? ? ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ? 0 , ?x ?x ? y 且由反函数的连续性知 ?x ? 0 时必有?y ? 0 , 因此 ?y 1 ? 1 f ?( x) ? lim ? lim ? ?1 x ?x?0 ?x ?y ?0 ? [ f ( y ) ] ?y
d y

定理2. 设 y ? f ( x) 为 x ? f

?1

?1

例3. 求反三角函数及指数函数的导数.
解: 1) 设 则

y ? (?
1

?
2

,

?
2

),

? cos y ? 0 , 则

1 ? ? (sin y )? cos y

1 ? sin 2 y

利用 ? arccos x ? ? arcsin x 2 类似可求得

x y ? a (a ? 0 , a ? 1) , 则 x ? log a y , y ? ( 0 , ? ?) 2) 设 1 1 ? y ln a ? ? 1 (log a y )?

y ln a

特别当 a ? e 时, ( e x )? ? e x

小结:

( arcsin x)? ? ( arctan x)? ?
(a )? ? a ln a
x x

( arccos x)? ? ( arc cot x)? ?
( e x )? ? e x

三、复合函数求导法则
定理3. 在点 x 可导, 在点

可导

复合函数 在点 x 可导, 且 dy ? f ?(u ) g ?( x) dx ?y 证: ? y ? f (u ) 在点 u 可导, 故 lim ? f ?(u ) ? u ?0 ?u ? ? y ? f ?(u )?u ? ? ?u (当 时 ) ?y ?y ?u ?u ? f ?(u ) ? ? (? x ? 0? ) u ? f ?(u ) ? ? 故有 ?x ?x ?x

dy ?y ? ? lim ? lim ? ? d x ? x ?0 ? x ? x ?0 ?

? ? f ?(u ) g ?( x) ? ?

推广:此法则可推广到多个中间变量的情形.

例如,

y
d y d y d u dv ? ? ? d x d u dv d x

u v x

? f ?(u ) ? ? ?(v) ? ? ?( x)

关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.

例4. 设 解:



1 x x ? x ? ( ? sin( e )) ? e cos( e )

? ?e x tan(e x )

例5. 设 解:

1 x ? x2 ?1
? 1 x2 ?1

?? 1?

1 2 x ?1
2

? 2x

?

记 arsh x ? ln ( x ? x 2 ? 1 ) , 则 (反双曲正弦)

e x ? e? x sh x ? 2 的反函数

(arsh x)? ?

1 x2 ?1

四、初等函数的求导问题
1. 常数和基本初等函数的导数 (P59)

(C )? ? 0 (sin x)? ? cos x (tan x)? ? sec 2 x (sec x)? ? sec x tan x (a x )? ? a x ln a
1 (log a x)? ? x ln a 1

? ?1 ( x ? )? ? ? x (cos x)? ? ? sin x (cot x)? ? ? csc 2 x (csc x)? ? ? csc x cot x ( e x )? ? e x

1 (ln x)? ? x
2

1? x 1 (arctan x)? ? 1 ? x2

(arcsin x)? ?

1 ? x2 1 (arc cot x)? ? ? 1 ? x2

(arccos x)? ? ?

1

2. 有限次四则运算的求导法则

(u ? v)? ? u? ? v? (u v)? ? u?v ? u v?
3. 复合函数求导法则

(C u )? ? C u ? ( C为常数 ) u ? u ?v ? u v? (v ? 0) ? ?? 2 v v

y ? f (u ) , u ? ? ( x)
dy dy d u ? ? ? f ?(u ) ? ? ?( x) dx d u dx
4. 初等函数在定义区间内可导,

且导数仍为初等函数

例6. y ?

x ?1 ? x ?1 求 ? , y . x ?1 ? x ?1
2

2x ? 2 x ?1 2 ? x ? x ?1 解: ? y ? 2 1 x ? y? ? 1 ? ? (2 x) ? 1 ? 2 x2 ?1 x2 ?1
例7. 设 y ? x
aa

?a

xa

?a
xa ax

ax

(a ? 0), 求 y ?.
a ?1

解: y ? ? a x

a a a ?1

?a ?a

ln a ? a x

ln a ? a x ln a

例8. y ? e
解:

sin x2

arctan x ? 1 ,求

2

y? .

y? ? (e

sin x 2

? cos x 2 ? 2 x) arctan x 2 ? 1 1 sin x 2 1 ? ? 2 x ?e ( 2 ) x 2 x2 ?1
1 x x ?1
2

2 sin x 2arctan x 2 ? 1 ? 2 x cos x e

?

e

sin x 2

关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导

1 1 1? x ?1 2 ,求 y ?. 例9. 设 y ? arctan 1 ? x ? ln 2 2 4 1 ? x ?1 1 1 x 解: y ? ? ? 2 1 ? ( 1 ? x2 )2 1 ? x2
1 1 x 1 x ? ? ? ? ? 2 2 4 1? x2 ?1 1 ? x2 1 ? x ?1 1 ? x

2

?

1 1 1 x ? 2 ? ? ? 2 x 2 1? x2 2 ? x ?1 ? 2 (2 x ? x 3 ) ln( 1? x 1 ? x 2 ? 1) ? ln( 1 ? x 2 ? 1)

五、隐函数的导数
若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 则称此 函数为隐函数 . 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 可确定显函数

可确定 y 是 x 的函数 ,
但此隐函数不能显化 . 隐函数求导方法: 两边对 x 求导 (含导数 y ? 的方程)

例10. 求由方程 在 x = 0 处的导数

确定的隐函数

解: 方程两边对 x 求导



dy dy ? 1 ? 21x 6 ? 0 5y ?2 dx dx 6 d y 1 ? 21x ? ? 4 dx 5 y ? 2
4

因x=0时y=0, 故

例11. 求椭圆

在点

处的切线方程.

解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 ? y ? y? ? 0 8 9 3 9 x ? y? x ? 2 ? ? x?2 ? ? 4 16 y 3 3 y ? 3 y? 3
2 2

3 3 故切线方程为 y ? 3 ? ? ( x ? 2) 2 4


例12. 求

的导数 .

解: 两边取对数 , 化为隐式

两边对 x 求导

?

1 sin x ? y ? cos x ? ln x ? y x sin x sin x y ? ? x (cos x ? ln x ? ) x

说明:
1) 对幂指函数 y ? u v 可用对数求导法求导 :

注意:

ln y ? v ln u 1 u ?v y ? ? v? ln u ? y u u ?v v y ? ? u ( v? ln u ? ) u y ? ? u v ln u ? v? ? vu v ?1 ? u ?
按幂函数求导公式

按指数函数求导公式

2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,
两边取对数 a ln y ? x ln ? a [ ln b ? ln x ] ?b [ ln x ? ln a ] b 两边对 x 求导 a a b y? ? ln ? ? b x x y

( x ? 1)( x ? 2) 又如, y ? ( x ? 3)( x ? 4)
两边取对数

1 ln y ? ? ln x ? 1 ? ln x ? 2 ? ln x ? 3 ? ln x ? 4 2 对 x 求导
y? 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? y 2 x ?1 x ? 2 x ? 3 x ? 4

u? ( ln u )? ? u

?

? ?

?

1 1 1 1 ? ? ? x ?1 x ? 2 x ? 3 x ? 4

六、参数方程表示函数的导数
若参数方程 关系, 可导, 且 可确定一个 y 与 x 之间的函数



d y d y d t d y 1 ? ?(t ) ? ? ? ? ? dx d t dx d t dx ? ?(t ) dt ? ?(t ) ? 0 时, 有 dx dx d t dx 1 ? ?(t ) ? ? ? ? ? d y d t d y d t d y ? ?(t ) d t (此时看成 x 是 y 的函数 )

? ?(t ) ? 0 时, 有

若上述参数方程中 则由它确定的函数

二阶可导, 且
可求二阶导数 .

x ? ? (t ) 利用新的参数方程 d y ? ?(t ) ,可得 ? dx ? ?(t ) d d y dx d 2 y d (d y ) ? ( ) ? 2 dx dx d t dx d t dx ? ??(t )? ?(t ) ?? ?(t )? ??(t ) ? ?(t ) ? 2 ? ? (t )
y x ? ??(t )? ?(t ) ? ? ?(t )? ??(t ) ? ?x ??? ?y ? ? ? 3 x ? ? (t ) ?3

注意 : 已知

?
d2 y 1 ? f ??(t ) d x2

?

x ? f ?(t ) d2 y 求 . ? ? f ( t ) ? 0 , , 且 例13. 设 2 y ? t f ?(t ) ? f (t ) dx
d y t f ??(t ) ? t, ? 解: f ??(t ) dx

?x ? t 2 ? 2 t (0 ? ? ? 1) 例14. 设由方程 ? 2 ? t ? y ? ? sin y ? 1
确定函数 y ? y ( x) , 求 解: 方程组两边对 t 求导 , 得

dx ? 2t ? 2 dt dy dy ? ? cos y 2t ? ?0 dt dt


dx ? 2 (t ? 1) dt dy 2t ? d t 1 ? ? cos y

dy t dy ? d t dx ? (t ? 1)(1 ? ? cos y ) dx dt

七、高阶导数
引例:变速直线运动
速度 加速度 即 即 v ? s?

a ? ( s?)?

定义. 若函数 y ? f ( x) 的导数 y? ? f ?( x) 可导, 则称
的导数为 f ( x) 的二阶导数 , 记作 或 即

d2 y d dy y?? ? ( y?)? 或 ? ( ) 2 d x dx dx
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,

n ? 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作



例15. 设
解:



y? ? a1 ? 2a2 x ? 3a3 x 2 ? ? ? nan x n ?1 y?? ? 2 ?1a2 ? 3 ? 2a3 x ? ? ? n(n ? 1)an x n ? 2

依次类推 , 可得

y

( n)

? n!an

? y ? x ( ? 为任意常数 ) , 问 思考: 设

(n) 例16. 设 y ? e a x , 求 y .

解:

2 ax 3 ax ? ? ? ? ? y ? ? ae , y ? a e , y ? a e , ? , ax

y
例17. 设

(n)

?a e

n ax

y? ? ?

特别有: (e x ) ( n ) ?e x 求

1 1? x

1 y?? ? ? (1 ? x) 2

1 1 2 1? 2 , y ??? ? (?1) , , y ?? ? ? 解: y ? ? 2 3 1? x (1 ? x) (1 ? x)

?,
思考:

y

(n)

? (?1)

n ?1

(n ? 1)!
(1 ? x) n

规定 0 ! = 1

例18. 设



解:

) y? ? cos x ? sin( x ? ? 2
? ?? ) y?? ? cos( x ? ? ) ? sin( x ? 2 2 2

? sin( x ? 2 ? ? ) 2
?) y??? ? cos( x ? 2 ? ? ) ? sin( x ? 3 ? 2 2

一般地 , 类似可证:

(sin x)

(n)

?) n ? ? sin( x ? 2

(cos x) ( n ) ? cos( x ? n ? ? ) 2

(n) f (0) 存在的最高 求使 例19. 设 f ( x) ? 3x ? x x , 2 阶数 4 x3 , x ? 0 ? f ( x) ? ? 3 分析 ? 2x , x ? 0 : 2 x3 ? 0 ? (0) ? lim ? f? 2 ?0 x ? 0 ? 12 x , x x? 0 ? ? ? f ( x ) ? ? 2 4 x3 ? 0 6x , x ? 0 ? ? f ? (0) ? lim ?0 ? x x? 0 6x2 ??(0) ? lim 又 f? 24 x , x ? 0 ?0 ? ? x x? 0 ? f ??( x) ? ? ? 12 x , x ? 0 12 x 2 ??(0) ? lim? ?0 f? x x? 0 ???(0) ? 24 , ? f ???(0) 不存在 . 但是 f ? ???(0) ? 12 , f ?
3 2

高阶导数的运算法则
设函数 及 都有 n 阶导数 , 则

(C为常数)
n( n ? 1) 2! n(n ? 1) ? (n ? k ? 1) ??? k!

莱布尼兹(Leibniz) 公式

八、相关变化率
为两可导函数 之间有联系
相关变化率问题解法: 之间也有联系 称为相关变化率

找出相关变量的关系式
对 t 求导

得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率

例20. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升, 其速率为 140 m min , 当气球高度为 500 m 时, 观察员 视线的仰角增加率是多少? 解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为? , h 则 tan ? ? 500 ? 500 两边对 t 求导
d? 1 dh sec ? ? ? d t 500 d t
2

h

sec 2 ? ? 1 ? tan 2 ?

dh 已知 ? 140 m min , h = 500m 时, tan ? ? 1 , sec 2 ? ? 2 , dt d? 1 1 ( rad/ min ) ? ? ?140 d t 2 500

思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以
100 m/min 的速率向气球出发点走来 当距离为500 m , 时, 仰角的增加率是多少 ?

500 提示: tan ? ? x 对 t 求导
2

500

x d? 500 dx sec ? ? ?? 2 dt x dt dx d? ? 100 m min , x ? 500 m , 求 . 已知 dt dt

?

例21. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 , 今以 25 cm3 s自顶部向容器内注水 , 试求当容器内水 位等于锥高的一半时水面上升的速度.
h 解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x , 水的 x 体积为 V , 则 2 ? R 3 3 1 ? R 2 h ? 1 ? r 2 (h ? x) ? [ h ? ( h ? x ) ] 3 3 2 3h 两边对 t 求导 r h?x ? dV ? R 2 d V h ? 2 ? ( h ? x ) 2 ? dx , 而 ? 25 (cm 3 s)R h?x dt dt h dt r? R 2 h dx 100 25h ? (cm s) , 故 2 2 2 dt ? R ? R (h ? x)

r

内容小结
求导公式及求导法则 (见 P59) ? u u? ? ? 注意: 1) (uv)? ? u ?v?, ? ? ? ? v ? v? 2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .

思考与练习

1. ? ? ?

1 ? ? 3?1? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? x x ? ? ? x? ? 4? x?

?

3 ? 1 ?4

?

?

?

1 4

对吗?
?1 4

3?1? ? ? ? 4? x?

?1 ? 2 x

2. 设

其中 ? ( x) 在 x ? a 处连续,

在求 f ?(a) 时, 下列做法是否正确?

因 f ?( x) ? ? ( x) ? ( x ? a)? ?( x) 故 f ?(a) ? ? (a) 正确解法:
f ( x) ? f (a) ( x ? a )? ( x) f ?(a ) ? lim ? lim x ?a x ?a x?a x?a ? lim ? ( x) ? ? (a)
x ?a

?

3. 求下列函数的导数

a? ? 解: (1) y? ? b ? ? ? x?

b ?1

a ?a? (2) y ? ? ? ? ln ? ( ? x )? b ?b?
b ?b? ? ?b? 或 y? ? ? ? ? ? ? ? ? ln a ?a? ?a?
x x

?x

4. 设 f ( x) ? x ( x ? 1)( x ? 2)?( x ? 99), 求 f ?(0). 解: 方法1 利用导数定义.

f ( x) ? f (0) f ?(0) ? lim x ?0 x?0 ? lim ( x ? 1)( x ? 2) ?( x ? 99) ? ?99!
x ?0

方法2 利用求导公式.

f ?( x) ? ( x)?

?x
? f ?(0) ? ?99!

5. 设 y ? (sin x)

tan x

?

x x
ln x

3

y2 ? , y2 ?. 提示: 分别用对数微分法求 y1
答案:

y1

2? x , 求 y ?. 2 (2 ? x)

? ? y2 ? y? ? y1
? (sin x) tan x (sec 2 x ? ln sin x ? 1)
? 1 x
ln x 3

3? x x 2x ? 2 ? 1 ? 2 ln x ? 3(2 ? x) 3(2 ? x) (2 ? x)

?

6. 设

由方程

确定 , 求

解: 方程两边对 x 求导, 得

e y y? ? y ? x y? ? 0
再求导, 得
y 2 ? e y ? (e ? x) y?? ? 2 y? ? 0 y





当 x ? 0 时, y ? 1, 故由 ① 得 1 y ?(0) ? ? e 1 ? ? 再代入 ② 得 y (0) ? 2 e

备用题 1. 设
解:



2 . 设 y ? f ( f ( f ( x))) , 其中 f ( x) 可导, 求 y ?. 解: y? ? f ?( f ( f ( x)) ) ? f ?( f ( x) ) ? f ?( x)

3. 设 解: 方法1

求其反函数的导数 .

方法2 等式两边同时对 y 求导

4. 设
解 :

,求

方程组两边同时对 t 求导, 得

dy ? dx

t ?0


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