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苏州市2015届高三数学必过关题(逐题解析)——函数(1)


高三必过关题 1 函数(1)
一、填空题
例1 函数 f ( x) ? 答:[3,+ ? )

x ? 2 ?1 log 2 ( x ? 1)

的定义域为



?x ?1 ? 0 ? 提示:要使 f ( x ) 有意义,则 ? x ? 1 ? 1 ,解得 x ? 3 . ? x ? 2 ?1 ? 0 ?
例2 若函数 f ( x) ?

( x ? 1)( x ? a) 为奇函数,则 a = x



答: ?1 提示:由函数 f ( x ) 为奇函数,则 f (?1) ? ? f (1) ,解得 a ? ?1 .

例3 设 f ( x) ? ? 答: ?2

?lg x, x ? 0
x ?10 , x ? 0

,则 f ( f (?2)) ?



) 提 示 : ∵ x ? ?2 ? 0 , ∴ f ( ? 2 ?

?2 1 0 ?

f(f ( ? 2? )) ? .2
1 3

1 ? 100

0 所 以 f (10 ) ? lg10 ,

?2

?2

? ?2 , 即

? 例4 若 ? ? {?1, 0, , 2} ,则使函数 y ? x 的定义域为 R,且在(-∞,0)上单调递增的 ?

值为 答:



1 3

提示:利用幂函数的图像和性质即可得到答案. 例5 函数 f ( x) ? ? x ? 3 x ? 4的定义域为 ?m,3? ,值域为 ? 4,
2

? 25 ? ,则实数 m 的取值范围 ? 4? ?

是 答: [0, ]



3 2

提示:配方得 f ( x) ? ?( x ? ) ?
2

3 2

25 ,再利用二次函数的图像,抓住 m 与对称轴的比较以及值域 4

得出 m 范围.
1

? ?) 上是增函数,则 m 的取值范围是 例6 若函数 f ( x) ? mx2 ? x ? 5 在 ? ?2,
答: ?0,1 ? ? ? 4? ? 提示: (1)当 m=0 时满足条件; (2)当 m ? 0 时,则 ?



?m ? 0 1 ? ;解得 m ? [0, ] . 1 4 ? ? ?2 ? ? 2m

例7 lg 25 ? lg 2 lg 50 ? (lg 2) 2 = 答:2



提示: 原式 ? lg5 ? lg 2lg(5 ?10) ? (lg 2) ? 2lg5 ? lg 2(lg5 ? 1) ? (lg 2) ? 2lg 5 ? lg 2(lg 2 ? lg 5) ? lg 2 ? 2 .
2 2

2

例8 若 f ( x ) 是 R 上的减函数,且 f ( x ) 的图象经过点 A(0,3)和 B(3,-1) ,则不等式

f ( x ? 1) ?1 ? 2 的解集是
答: ?x | ?1 ? x ? 2?



提示:由题知 ?2 ? f ( x ? 1) ? 1 ? 2 ,即 ?1? f ( x ? 1 ) ?3 , 单调性即可得到答案. 例9 已知 f (3x ) ? 4x log2 3 ? 233 , 则 f( 2 ) ?( 4 f) 答:2008 提示:

由 f (0) ? 3 , ( f1 ? ) 0, ?

再利用函数的

( 8 ? )f

? ( 2? )f

8

的值等于



f (3x ) ? 4x log2 3 ? 233 ? 4log2 3x ? 233,
? f (28 ) ?

? f ( x) ? 4 l o 2 gx ?

2 3 3,

? f (2) ? f (4) ? f (8) ?

8 ? 233 ? 4(log2 2 ? 2log2 2 ? 3log2 2 ?

? 8log2 2) ? 1864 ? 144 ? 2008 .


例10 设 a ? log3 ? , b ? log2 3, c ? log3 2 ,则 a,b,c 的大小关系是 答: a ? b ? c 提示:

log3 2 ? log2 2 ? log2 3 ?b ? c

log2 3 ? log2 2 ? log3 3 ? log3 ? ?a ? b?a ? b ? c .
例11 设 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数, 当 0 ? x ? 1 时,f ( x) ? 2 x(1 ? x) , 则 f (? ) ?
2

5 2



答: ?

1 2 5 2 5 1 1 1 1 1 ? 2) ? f (? ) ? ? f ( ) ? ?2 (1 ? ) ? ? . 2 2 2 2 2 2 1 3

提示: f (? ) ? f (?

例12 定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 在 ?0 , ? ?? 上递增, f ( ) ? 0 ,则满足 f (log1 x) >0 的 x
8

的取值范围是 答: ? 0 ,



? ?

1? ? ? ?2 , ? ? ? 2?

提示:由 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,得 f ( x) ? f (?x) ? f ( x ) , 则 f (log1 x) >0 即 f ( log 1 x ) ? f ( ) ,于是 log 1 x ?
8
8 8

1 3

1 ? 1? ,解此得 x ? ? 0 , ? ? ?2 , ? ? ? . 3 2? ?

例13 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ?x ? 和 偶 函 数 g ?x ? 满 足 f ?x? ? g ?x? ? a x ? a ? x ? 2

? a ? 0且a ? 1? ,若 g ?2? ? a ,则 f ?2? ?
答:



15 4
2 ?2

提示:由条件可得: f ?2? ? g ?2? ? a ? a 即 ? f ?2? ? g ?2? ? a
?2

? 2 , f ?? 2? ? g ?? 2? ? a ?2 ? a 2 ? 2 ,

? a 2 ? 2 ,由此解得 g ?2? ? 2 , f ?2? ? a 2 ? a ?2 ,
15 . 4

2 ?2 所以 a ? 2 , f ?2 ? ? 2 ? 2 ?

例14 设 函 数 f ? x ? ? ?log 是 .

log x, x?0 ? ? 2 x ? 0 若 f ? a ? ? f ? ?a ? , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 1 ? ?x? , ? ? 2

答: a ? ? ?1,0? U?1,??? 提示:若 a ? 0 ,则 log 2 a ? log 1 a ,即 2log2 a ? 0 ,所以 a ? 1 ,
2

若 a ? 0 则 log 1 ? ?a ? ? log2 ? ?a ? ,即 2log2 ? ?a ? ? 0 ,所以 0 ? ? a ? 1 , ?1 ? a ? 0 . 所以实数 a 的取值范围是 a ? 1 或 ?1 ? a ? 0 ,即 a ? ? ?1,0? U?1,??? .
3
2

例15 若函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 2x ? 3 ,则该函数的解析 式为 .

?2 x ? 3, x ? 0 ? 答: f ( x) ? ?0, x?0 ??2? x ? 3, x ? 0 ?
提示:当 x ? 0, f (0) ? 0; 当 x ? 0, ? x ? 0, f (? x) ? 2? x ? 3 ? ? f ( x) ,所以 f ( x) ? ?2? x ? 3 .

例16 已知函数 y= 1 ? x ? x ? 3 的最大值为 M ,最小值为 m ,则

m 的值为 M



答:

2 2

提示:由 ?

?1 ? x ? 0 ? ?3 ? x ? 1, 又 y2 ? 4 ? 2 1? x ? x ? 3 ? 4 ? 2 (1? x)( x ? 3) ,且 y ? 0 , ?x ? 3 ? 0
? m 2 . ? M 2

所以当 x ? ?1 时, y 取最大值 M ? 2 2 ,当 x ? ?3或1 时 y 取最小值 m ? 2

x 例17 若 函 数 f ( x)? a ? x? a ( a ?且 0

有 a ?1 ) 两个零点,则实数 a 的取值范围

是 . 答: a ? 1 提示:设函数 y ? a x (a ? 0, 且 a ? 1} 和函数 y ? x ? a , 则函数 f ( x) ? ax ? x ? a( a ? 0且a ? 1) 有两个零点, 就是函数 y ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )与函数 y ? x ? a 有两个交点.
x 由图象可知, 当 0 ? a ? 1 时两函数只有一个交点, 不符合, 当 a ? 1 时, 因为函数 y ? a (a ? 1) 的

图象过点(0, 1), 而直线 y ? x ? a 所过的点一定在点(0, 1)的上方, 所以一定有两个交点. 所以实数 a 的取值范围是 a ? 1 . 例18 已知关于 x 的方程 x ? kx ? k ? 3 ? 0 ( k 为实数)有两个正根,那么这两个根的倒数
2

和的最小值是 答:



2 3
2

提示:设 f ( x) ? x ? kx ? k ? 3 ,因为方程有两个正根,设两正根为 x1 , x2 ,

4

?? ? 0 ?k ? ?2或k ? 6 ? ?k ? ? ?k ?6 则 ?? ?0 ? ?k ? 0 2 ? ? ?k ? ?3 ? ? f (0) ? k ? 3 ? 0
?

2 1 1 x1 ? x2 k 3 ,因此,当 k ? 6 时取最小值 . ? ? ? ? 1? 3 x1 x2 x1 x2 k ?3 k ?3
例19 设函数 f ( x) ?

ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的定义域为 D ,若所有点 (s, f (t ))(s, t ? D) 构成


一个正方形区域,则 a 的值为 答: ?4
2

提示:设 ax ? bx ? c ? 0 的两根为 x1 , x2 ,由题得 | x1 ? x2 |? f max ( x) , 即

b2 ? 4ac 4ac ? b2 ,得到 | a |? 2 ?a ,即 a ? ?4 . ? a2 4a
例20 设函数 f ? x ? ? x2 ?1 .对任意 x ? ? , ?? ? , f ?

?3 ?2

? ?

?x? 2 ? ? 4m f ? x ? ? f ? x ? 1? ? 4 f ? m ? ?m?

恒成 立,则实数 m 的取值范围是 答: ? ??, ?



? ? ?

? 3? ? 3 ? U ? , ?? ? ? 2 ? ? 2 ?

提示:不等式化为 f ? x ? 1? ? 4 f ? m ? ? f ?

?x? 2 ? ? 4m f ? x ? ? 0 ,即 m ? ?

? x ? 1?

2

? 1 ? 4m 2 ? 4 ?

x2 1 ? ? ? 1 ? 4m2 x 2 ? 4m2 ? 0 ,整理得 ?1 ? 2 ? 4m2 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 , 2 m ? m ?

因为 x ? 0 ,所以 1 ?
2

1 2x ? 3 2x ? 3 ?3 ? ? 4m 2 ? ,设 g ? x ? ? , x ? ? , ?? ? . 2 2 2 m x x ?2 ?

于是题目化为 1 ?

1 ?3 ? ? 4m 2 ? g ? x ? ,对任意 x ? ? , ?? ? 恒成立的问题. 2 m ?2 ? 2x ? 3 1 2 ?3 ? , x ? ? , ?? ? 的最大值.设 u ? ,则 0 ? u ? . 2 x x 3 ?2 ?
2

为此需求 g ? x ? ?

函数 g ? x ? ? h ?u ? ? 3u ? 2u 在区间 ? 0, ? 上是增函数,因而在 u ? 处取得最大值. 3 ? 3?
5

?

2?

2

1 8 4 2? 2 8 ?2? h ? ? ? 3? ? ? ,所以 1 ? 2 ? 4m2 ? umax ? x ? ? , m 3 9 3 3 ?3?
2 2 4 2 整理得 12m ? 5m ? 3 ? 0 ,即 4m ? 3 3m ? 1 ? 0 ,

?

??

?

所以 4m ? 3 ? 0 ,解得 m ? ?
2

3 3 或m ? , 2 2
? ? ? ? 3? ? 3 , ?? ? ? U? ?. 2 ? ? 2 ?

因此实数 m 的取值范围是 m ? ? ??, ?

二、解答题
x 例21 已知函数 f ( x) ? 2 ?

1 . 2| x|

(1)若 f ( x) ? 2 ,求 x 的值; (2)若 2 f (2t ) ? mf (t ) ≥0 对于 t ?[1 , 2] 恒成立,求实数 m 的取值范围.
t
x 解: (1)当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? x 由条件可知 2 ?

1 2x

1 ? 2 ,即 22 x ? 2 ? 2x ? 1 ? 0 解得 2x ? 1 ? 2 x 2

∵ x ? 0∴ x ? log 2 (1 ? 2)
t 2t (2)当 t ?[1, 2] 时, 2 (2 ?

1 1 ) ? m(2t ? t ) ? 0 2t 2 2

2t 4t 2t 2t 即 m(2 ?1) ? ?(2 ?1) ,∵ 2 ? 1 ? 0 ,∴m ? ?(2 ? 1)

∵t ? [1, 2] ,∴?(22t ? 1) ?[?17, ?5]
故 m 的取值范围是 [?5, ??) .

例22 设二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 在区间 ? ?2, 2? 上的最大值、最小值分别是 M、m,集
2

合 A ? ?x | f ( x) ? x? . (1)若 A ? {1, 2},且 f (0) ? 2 ,求 M 和 m 的值; (2)若 A ? 2? ,且 a ? 1 ,记 g (a) ? M ? m ,求 g (a ) 的最小值.
6

?

解: (1)由 f (0) ? 2可知c ? 2,又 A ? ?1 , 2?,故1 , 2是方程ax2 ? (b ? 1) x ? c ? 0的两实根.

1-b ? 1+2= ? ? a ?? , c ? 2= ? a ?

解得a ? 1 ,b ? ? 2

? f ( x) ? x2 ? 2x ? 2 ? ( x ? 1)2 ? 1,

x ???2,2?

当x ? 1时,f ( x)min ? f (1) ? 1,即m ? 1

当x ? ?2时,f ( x)max ? f (?2) ? 10,即M ? 10.
(2)由题意知,方程ax2 ? (b ? 1) x ? c ? 0有两相等实根x=2,

1-b ? 2+2= ? ?b=1-4a ? a ?? ,即 ? ?c=4a ?4 ? c ? a ?

? f ( x) ? a2x ? ( 1 ? 4a ) x? 4a ,?x ? ?? 2 , 2

其对称轴方程为x ?

4a ? 1 1 ? 2? , 2a 2a

又a ? 1, 故2 ?

1 ?3 ? ? ,2? 2a ? ?2 ?

? M ? f (?2) ? 16a ? 2,

? 4a ? m? f ? ? 2a

1? 8 a? 1 , ?? 4a ?

? g (a) ? M ? m ? 16a ?

1 4a
63 . 4

又g (a)在区间?1, ??? 上为单调递增的, ?当a ? 1时,g (a)min ?
x x

例23 已知函数 f ( x) ? a ? 2 ? b ? 3 ,其中常数 a , b 满足 a ? b ? 0 (1)若 a ? b ? 0 ,判断函数 f ( x ) 的单调性; (2)若 a ? b ? 0 ,求 f ( x ? 1) ? f ( x) 时的 x 的取值范围. 解: (1) 当 a ? 0, b ? 0 时,任意 x1 , x2 ? R, x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a(2 1 ? 2 2 ) ? b(3 1 ? 3 2 )
x x x x

∵ 2 1 ? 2 2 , a ? 0 ? a(2 1 ? 2 2 ) ? 0 , 3 1 ? 3 2 , b ? 0 ? b(3 1 ? 3 2 ) ? 0 ,
x x x x x x x x

7

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 R 上是增函数. 当 a ? 0, b ? 0 时,同理函数 f ( x ) 在 R 上是减函数. (2) f ( x ? 1) ? f ( x) ? a ? 2x ? 2b ? 3x ? 0 , 当a ? 0 , b? 0 时,( ) ? ?
x

3 2

a a , 则x ?l o g (3 ? ) ; 2b 2b 2

当 a ? 0, b ? 0 时, ( ) ? ?
x

3 2

a a ,则 x ? log 3 (? ) . 2b 2b 2

例24 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的 车流速度 v (单位:千米/小时)是车流密度 x (单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达 到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v?x ? 的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/ 小时) f ?x ? ? x ? v?x ? 可以达到最大,并求出最大值. (精确到 1 辆/小时) . 解: (1)由题意:当 0 ? x ? 20 时, v?x ? ? 60 ;当 20 ? x ? 200 时,设 v?x ? ? ax ? b ,

1 ? a?? ? ?200a ? b ? 0 ? 3 显然 v?x ? ? ax ? b 在 ?20,200?是减函数,由已知得 ? ,解得 ? ?20a ? b ? 60 ?b ? 200 ? 3 ?

0 ? x ? 20, ?60, ? 故函数 v?x ? 的表达式为 v?x ? = ? 1 ?200 ? x ?, 20 ? x ? 200. ? ?3 0 ? x ? 20, ?60x, ? (2)依题意并由(Ⅰ)可得 f ?x ? ? ? 1 x?200 ? x ?, 20 ? x ? 200. ? ?3
当 0 ? x ? 20 时, f ?x ? 为增函数,故当 x ? 20 时,其最大值为 60 ? 20 ? 1200 ;

1 1 ? x ? ?200 ? x ?? 10000 当 20 ? x ? 200 时, f ?x ? ? x?200 ? x ? ? ? , ? ? 3 3? 2 3 ?
2

当且仅当 x ? 200 ? x ,即 x ? 100 时,等号成立.

8

10000 . 3 10000 ? 3333 , 综上,当 x ? 100 时, f ?x ? 在区间 ?0,200?上取得最大值 3
所以,当 x ? 100 时, f ?x ? 在区间 ?20,200?上取得最大值 即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时. 例25 已知函数 f ( x ) 满足 f (log a x ) ?

a ( x ? x ?1 ) ,其中 a ? 0 且 a ? 1 . a ?1
2

(1)对于函数 f ( x ) ,当 x ? (?1,1) 时, f (1 ? m) ? f (1 ? m2 ) ? 0 ,求实数 m 的取值集合; (2)当 x ? (??, 2) 时, f ( x) ? 4 的值恒为负数,求 a 的取值范围.
t x 解: (1)令 loga ? t ?t ? R ? ,则 x ? a ,所以 f ? t ? ?

a ? ? at ? a ?t ? , a ?1
2

a a ? ? a x ? a ? x ? ? x ? R? ,故 f ? ? x ? ? 2 ? ? a?x ? a x ? ? ? f ? x ? . a ?1 a ?1 所以 f ? x ? 在 ? ??, ??? 上是奇函数,而且当 a ? 1 时,由复合函数单调性易得 f ? x ? 在 ? ??, ???
即 f ? x? ?
2

单调递增,当 0 ? a ? 1 时, f ? x ? 在 ? ??, ??? 单调递增也是单调递增,因此当 a ? 0 且 a ? 1 ,

f ? x ? 在 ? ??, ??? 始终单调递增.

2 2 由 f ?1 ? m ? ? f 1 ? m ? 0 及 f ? x ? 是奇函数,得 f ?1 ? m ? ? f m ? 1 ,再由 f ? x ? 的单调性

?

?

?

?

? ?1 ? 1 ? m ? 1 ? 2 及定义域得 ? ?1 ? 1 ? m ? 1 , 解得 1 ? m ? 2 . ?1 ? m ? m 2 ? 1 ?

(2)因为 f ? x ? 是 R 上的增函数,所以 f ? x ? ? 4 在 R 上也是增函数.

由 x ? 2 ,得 f ? x? ? f ? 2? .要使 f ? x ? ? 4 在 ? ??,2? 上恒为负数,只需 f ? 2? ? 4 ? 0 ,即

a ? ? a 2 ? a ?2 ? ? 4 ? 0 ,解得 a ? 2 ? 3,1 ? 1, 2 ? 3 . a ?1
2

?

? ?

?

例26 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a, b, c ? R) ,且同时满足下列条件:
2

① f (?1) ? 0 ; ② 对于任意的实数 x , 都有 f ( x) ? x ? 0 ; ③ 当 x ? (0, 2) 时, 有 f ( x) ? ( (1)求 f (1) 的值; (2)求 a, b, c 的值;

x ?1 2 ) . 2

(3)当 x ?? ?1,1? 时,函数 g ( x) ? f ( x) ? mx ( m 是实数)是单调函数,求 m 的取值范围. 解: (1)

f ? x ? ? x ? 0 对一切 x ? R 恒成立,? f ?1? ?1 ? 0 ,即 f ?1? ? 1 ,
9



当 x ? ? 0,2? 时, f ? x ? ? ?

? x ?1 ? ? ,所以 f ?1? ? 1 .从而 f ?1? ? 1. ? 2 ?
1 . 2

2

(2) f ?1? ? 1,? a ? b ? c ? 1 .又 f ? ?1? ? 0 ,? a ? b ? c ? 1 ,解之得 b ? a ? c ? 由 f ? x ? ? x ? 0 即 ax 2 ? 即 ? 4a ? 1? ? 0 ,? a ?
2

1 1 ?1 ? ?1 ? x ? ? ? a ? ? 0 在 R 上恒成立,得 ? ? ? 4a ? ? a ? ? 0 , 4 2 ?2 ? ?2 ?
1 1 1 1 1 .从而 c ? .即 a, b, c 的值分别为 , , . 4 4 4 2 4

(3) g ? x ? ?

1 2 1 1 1 1? 1 ? x ? x ? ? mx ? x 2 ? ? m ? ? x ? . 4 2 4 4 2? 4 ?

1 1 m? 2 ? ?1 或 2 ? 1 ,? m ? 0 或 m ? 1 . 则要使 g ? x ? 在 ??1,1? 上是单调函数,只要 1 1 2? 2? 4 4 m?

10


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