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3.3.3函数的最大(小)值与导数


金堡中学 @雁
2013-01-04

一、最值的概念(最大值与最小值)
如果在函数定义域I内存在x0,使 得对任意的x∈I,总有f(x) ≤f(x0), f(x) ≥f(x0),则称f(x0)为函数f(x) 在定义域上的最大(小)值. 最值是相对函数定义域整体而言的.
如果在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不 断的曲线,那么它必有最大值和最小值

二.如何求函数的最值?
(1)利用函数的单调性;

如:求y=2x+1在区间[1,3]上的最值.
(2)利用函数的图象; 如:求y=(x-2)2+3在区间[1,3]上的最值. (3)利用基本不等式; 如:如果x, y ? R且xy ? 2, 求x ? y的最值

(4)利用函数的导数;

观察区间[a,h]上函数y=f (x)的图象, 你能找出它的极大值点,极小值点吗?

y

o ab c

d

e

极大值点 c e g 你能说出函数的最大值点和最小值点吗? 最大值点 :a , 最小值点:d

h 极小值点 b d f ,

f

g

x

y
y ? f (x)

函数y=f(x)在区间[a,b]上 最大值是f (a), 最小值是f (b).
b

a

o

x

观察下面函数 y = f (x) 在区间 [ a , b ] 上的图象, 回答: (1) 在哪一点处函数 y = f (x) 有极大值和极小值? 极大: 极小:

x1 x2

x3 x4

x5

(2) 函数 y = f (x) 在[a,b]上有最大值和最小值吗?如果有, 最大值和最小值分别是什么?

ymax ? f ( x3 )

ymin ? f ( x4 )
x1 x 2 x3

x4

x5

观察下面函数 y = f (x) 在区间 [ a , b ] 上的图象, 回答: (1) 在哪一点处函数 y = f (x) 有极大值和极小值? 极大: 极小:

x2 x1 x3

(2) 函数 y = f (x) 在[a,b]上有最大值和最小值吗?如果有, 最大值和最小值分别是什么? y y ? f (x)

ymax ? f (a)

ymin ? f ( x1 )
a O

x1 x2 x3 b

x

?a, b?
f (x)

注意: 1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一;
2.最大值一定比最小值大.

求函数 y = f (x) 在[a,b]上的最大值与 最小值的步骤如下:
(1) 求函数 y = f (x) 在 ( a, b ) 内的极值点; (2) 将函数 y = f (x) 的各极值点与端 点处的函数值f (a), f (b) 比较, 其中最 大的一个是最大值, 最小的一个是最 小值.

例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1,5]内 的最大值和最小值 法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方,利用 二次函数单调性处理

例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1,5]内 的极值与最值 法二、 解、函数f(x)=x2-4x+6的定义域为R f ’(x)=2x-4 令f ’(x) =2x-4 =0,即2x-4=0, 得x=2
当 x 变化时, f (x), f ‘(x)的变化情况如下表:

x
y
'

1

(1,2)

2 0 2

(2,5)

5

3

+
11

y

故函数f(x) 在区间[1,5]内当x=2时,函数的极小值为2, 当x=5时函数的最大值为11, 当x=2时函数的最小值为2

例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1, 5]内的最大值和最小值
解:f ′(x)=2x- 4 令f′(x)=0,即2x–4=0,得x =2

x
f ?(x)

1 (1,2) 2
3

(2,5)
+

5
11

0
2

f (x)

故函数f (x) 在区间[1,5]内的最大值 为11,最小值为2

若函数f(x)在所给的区间I内有唯一的极值,则它是函数的 最值

1 3 例2 求函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 4在[0,3]上的最大值与最小值. 3 解: 令 f ?( x) ? x 2 ? 4 ? 0, x ?[0,3]
解得 x = 2 . 当0≤x<2时,f’(x)<0;当2<x≤3时,f’(x)>0

4 所以当 x = 2 时, 函数 f (x)有极小值 f (2) ? ? . 3 又由于 f (0) ? 4, f (3) ? 1, 1 3 所以, 函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 4 在[0,3]上的最大值是4, 3 4 最小值是 ? . 3

注:
求函数最值的一般方法: 一是利用函数性质 二是利用不等式 三是利用导数

例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1,5]内 的最大值和最小值 法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方,利用 二次函数单调性处理

例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1,5]内 的极值与最值 法二、 解、 f ’(x)=2x-4 令f ’(x)=0,即2x-4=0, 得x=2 x 1 (1,2) 2 (2,5) 5
y
'

3

0 2

+
11

y

故函数f(x) 在区间[1,5]内的极小值为3, 最大值为11,最小值为2

练 习
1 4 1 3 1 2 函数 y ? x ? x ? x ,在 4 3 2
[-1,1]上的最小值为(
A.0 B.-2 C.-1

A

)

D.13/12

4x 2、函数 y ? 2 x ?1



C



A.有最大值2,无最小值 B.无最大值,有最小值-2 C.最大值为2,最小值-2 D.无最值

3、函数 f(x)? 2x ? cos x在(-?,+?)上( )
A.是增函数 C.有最大值 B.是减函数 D.最小值

1 例3、求f ( x) ? x ? sin x在区间 2 [0,2π]上的最值.
解:

函数f(x)的最大值 是π , 最小值是0.

已知三次函数f(x)=ax? -6ax? +b.问是否存在实数a,b,使 f(x)在[-1,2]上取得最大值3,最小值-29,若存在,求出 a,b的值;若不存在,请说明理由。

已知三次函数f(x)=ax? -6ax? +b.问是否存在实数a,b,使 f(x)在[-1,2]上取得最大值3,最小值-29,若存在,求出 a,b的值;若不存在,请说明理由。

导数的应用之三、求函数最值. 在某些问题中,往往关心的是函数在 整个定义域区间上,哪个值最大或最小的 问题,这就是我们通常所说的最值问题.
求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤: (1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)

(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其 中最大的一个为最大值,最小的一个最小值 表格法

f(x)在闭区间[a,b]上的最值:
(如果在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不 断的曲线,那么它必有最大值和最小值)

(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值) (2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中 最大的一个为最大值,最小的一个最小值 表格法


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