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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学苏教版选修1-2【备课资源】2.1.2演绎推理


2.1.2

2.1.2 演绎推理
【学习要求】
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1.理解演绎推理的意义. 2.掌握演绎推理的基本模式, 并能运用它们进行一些简单推理. 3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系. 【学法指导】 演绎推理是数学证明的主要工具,其一般模式是三段论.学 习中要挖掘证明过程包含的推理思路, 明确

演绎推理的基本 过程.

填一填·知识要点、记下疑难点

2.1.2

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1.演绎推理 由 一般性 的命题推演出 特殊性 命题的推理方法, 通常称为 演绎推理. 演绎推理是根据 已有的事实 和 正确的结论 (包括 定义 、 公理 、 定理 等)按照严格的 逻辑法则 得到新结论的推 理过程. 三段论 是演绎推理的主要形式.

填一填·知识要点、记下疑难点

2.1.2

2.三段论 (1)三段论的组成
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①大前提——提供了一个一般性的原理 . ②小前提——指出了一个 特殊对象 . ③结论——揭示了 一般原理 与 特殊对象 的内在联系. (2)三段论的常用格式为 M-P( M是P S-M( S是M S-P( S是P ) ) )

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2.1.2

探究点一
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演绎推理与三段论

问题 1

分析下面几个推理,找出它们的共同点.

(1)所有的金属都能导电,铀是金属,所以铀能够导电; (2)一切奇数都不能被 2 整除,(2100+1)是奇数,所以(2100+ 1)不能被 2 整除; (3)三角函数都是周期函数,tan α 是三角函数,因此 tan α 是周期函数; (4)两条直线平行,同旁内角互补.如果∠A 与∠B 是两条平 行直线的同旁内角,那么∠A+∠B=180° .

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2.1.2

答 问题中的推理都是从一般性的原理出发, 推出某个特殊 情况下的结论,我们把这种推理叫演绎推理.
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问题 2 演绎推理有什么特点?
答 演绎推理是从一般到特殊的推理.演绎推理的前提是一 般性原理,结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实.
问题 3 演绎推理的结论一定正确吗?
答 在演绎推理中, 前提和结论之间存在必然的联系, 只要 前提是真实的,推理形式是正确的,结论必定是正确的.

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2.1.2

问题 4
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演绎推理一般是怎样的模式?
“三段论”是演绎推理的一般模式,它包括:



(1)大前提——提供了一个一般性的原理;(2)小前提——指 出了一个特殊对象;(3)结论——揭示了一般原理与特殊对 象的内在联系.

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例 1 将下列演绎推理写成三段论的形式.

2.1.2

(1)平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所 以菱形的对角线互相平分;
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(2)等腰三角形的两底角相等,∠A,∠B 是等腰三角形的底 角,则∠A=∠B; (3)通项公式为 an=2n+3 的数列{an}为等差数列.
解 (1)平行四边形的对角线互相平分, 菱形是平行四边形, 菱形的对角线互相平分. 大前提 小前提 结论

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2.1.2

(2)等腰三角形的两底角相等, ∠A,∠B 是等腰三角形的底角, ∠A=∠B.
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大前提 小前提 结论

(3)数列{an}中,如果当 n≥2 时,an-an-1 为常数,则{an}为等 差数列, 通项公式为 an=2n+3 时,若 n≥2, 则 an-an-1=2n+3-[2(n-1)+3]=2(常数), 通项公式为 an=2n+3 的数列{an}为等差数列. 小前提 结论 大前提

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2.1.2

小结
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用三段论写推理过程时,关键是明确大、小前提,三段

论中的大前提提供了一个一般性的原理, 小前提指出了一种特 殊情况, 两个命题结合起来, 揭示了一般原理与特殊情况的内 在联系.有时可省略小前提,有时甚至也可把大前提与小前提 都省略, 在寻找大前提时, 可找一个使结论成立的充分条件作 为大前提.

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跟踪训练 1 把下列推断写成三段论的形式:

2.1.2

(1)因为△ABC 三边的长依次为 3,4,5, 所以△ABC 是直角三 角形;
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(2)函数 y=2x+5 的图象是一条直线; (3)y=sin x(x∈R)是周期函数.
解 (1)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直 大前提 小前提 结论

角三角形, △ABC 三边的长依次为 3,4,5,而 32+42=52, △ABC 是直角三角形.

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2.1.2

(2)一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线, 函数 y=2x+5 是一次函数,
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大前提 小前提 结论

函数 y=2x+5 的图象是一条直线.

(3)三角函数是周期函数, y=sin x(x∈R)是三角函数, y=sin x(x∈R)是周期函数.

大前提 小前提 结论

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探究点二 三段论的错误探究 例 2 指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因: (1)整数是自然数, -3 是整数,
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2.1.2

大前提 小前提 结论 大前提 小前提 大前提 小前提 结论

-3 是自然数. (2)常函数的导函数为 0, 函数 f(x)的导函数为 0, f(x)为常函数.结论 (3)无限不循环小数是无理数, 1 (0.333 33?)是无限不循环小数, 3 1 是无理数. 3

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2.1.2

(1)结论是错误的,原因是大前提错误.自然数是非负整数.

(2)结论是错误的,原因是推理形式错误.大前提指出的一般性 原理中结论为“导函数为 0”,因此演绎推理的结论也应为
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“导函数为 0”. 1 (3)结论是错误的, 原因是小前提错误.3(0.333 33?)是循环小数 而不是无限不循环小数. 小结 演绎推理的结论是否正确,取决于该推理的大前提、小

前提和推理形式是否全部正确,因此,分析推理中的错因实质 就是判断大前提、小前提和推理形式是否正确.

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2.1.2

跟踪训练 2 因:
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指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原 大前提 小前提 结论 大前提 小前提 结论

(1)因为中国的大学分布在中国各地, 北京大学是中国的大学, 所以北京大学分布在中国各地. (2)因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形, 而菱形是所有边长都相等的凸多边形, 所以菱形是正多边形.

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2.1.2


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(1)推理形式错误.大前提中的 M 是“中国的大学”, 它表

示中国的各所大学, 而小前提中 M 虽然也是“中国的大学”, 但它表示中国的一所大学, 二者是两个不同的概念, 故推理形 式错误.
(2)结论是错误的,原因是大前提错误.因为所有边长都相等, 内角也都相等的凸多边形才是正多边形.

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探究点三 三段论的应用

2.1.2

例 3 如图,在锐角三角形 ABC 中,AD⊥ BC,BE⊥AC,D,E 是垂足,求证:
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AB 的中点 M 到点 D,E 的距离相等.

证明 (1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形, 大前提 在△ABD 中,AD⊥BC,即∠ADB=90° , 所以△ABD 是直角三角形. 同理,△AEB 也是直角三角形。 小前提 结论

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(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半, 因为 DM 是直角三角形 ABD 斜边上的中线, 1 所以 DM= AB. 2 1 同理 EM= AB. 2 所以 DM=EM.

2.1.2
大前提 小前提 结论

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小结 应用三段论证明问题时, 要充分挖掘题目外在和内在条 件(小前提), 根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提), 并保证每一步的推理都是正确的,严密的,才能得出正确的结 论.如果大前提是显然的,则可以省略.

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跟踪训练 3 已知:在空间四边形 ABCD 中, 点 E,F 分别是 AB,AD 的中点,如图所 示,求证:EF∥平面 BCD.
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2.1.2

证明 三角形的中位线平行于底边, 点 E、F 分别是 AB、AD 的中点, 所以 EF∥BD.

大前提 小前提 结论

若平面外一条直线平行于平面内一条直线则直线与此平面 平行, EF?平面 BCD,BD?平面 BCD,EF∥BD, EF∥平面 BCD. 大前提 小前提 结论

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2.1.2

① 1.下面几种推理过程是演绎推理的是________.
①两条直线平行,内错角相等,如果∠A 与∠B 是两条平行
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直线的内错角,则∠A=∠B ②某校高三 1 班有 55 人,2 班有 54 人,3 班有 52 人,由此 得高三所有班人数超过 50 人 ③由平面三角形的性质,推测空间四边形的性质 1 ? 1? ? ? ④在数列{an}中 a1=1,an= ?an-1+ (n≥2),由此归纳 2? an-1? ? 出{an}的通项公式

解析 ①是演绎推理,②④是归纳推理,③是类比推理.

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2.1.2

2.推理:“①矩形是平行四边形,②三角形不是平行四边形, ② ③所以三角形不是矩形.”中的小前提是________.
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解析 三段论推理中小前提是指研究的特殊情况.
3.把“函数 y=x2 +x+1 的图象是一条抛物线”恢复成三段 二次函数的图象是一条抛物线 论,则大前提:______________________________;

函数y=x2+x+1是二次函数 小前提:____________________________________; 函数y=x2+x+1的图象是一条抛物线 结论:_______________________________________.

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2.1.2

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1.演绎推理是从一般性原理出发,推出某个特殊情况的推理方 法; 只要前提和推理形式正确, 通过演绎推理得到的结论一 定正确. 2.在数学中,证明命题的正确性都要使用演绎推理,推理的一 般模式是三段论,证题过程中常省略三段论的大前提.


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