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高二数学选修1、1-4全称量词与存在量词


1.4 全称量词与存在量词
一、选择题 1.下列命题中全称命题的个数为( )

①平行四边形的对角线互相平分 ②梯形有两边平行 ③存在一个菱形, 它的四条边不 相等 A.0 C.2 [答案] C [解析] ①②是全称命题,③是特称命题. 2.下列特称命题中真命题的个数是( ) B.1 D.3

①?x∈R,x≤0 ②至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数 ③?x∈{x|x 是整 数},x2 是整数 A.0 C.2 [答案] D [解析] ①②③都是真命题. 3.(2009· 辽宁文,11)下列 4 个命题 1 1 p1:?x∈(0,+∞),?2?x<?3?x ? ? ? ? 1 1 p2:?x∈(0,1),log x>log x 2 3 1 1 p3:?x∈(0,+∞),?2?x>log x ? ? 2 1 1 1 p4:?x∈?0,3?,?2?x<log x ? ? ? ? 3 其中的真命题是( A.p1,p3 C.p2,p3 [答案] D [解析] 考查指数函数、对数函数图像和性质.选 D. 4.下列语句是特称命题的是( A.整数 n 是 2 和 5 的倍数 B.存在整数 n,使 n 能被 11 整除 7 C.若 3x-7=0,则 x= 3 D.?x∈M,p(x) ) ) B.p1,p4 D.p2,p4 B.1 D.3

[答案] B 5.命题“存在 x∈Z,使 x2+2x+m≤0”的否定是( A.存在 x∈Z,使 x2+2x+m>0 B.不存在 x∈Z,使 x2+2x+m>0 C.对于任意的 x∈Z 都有 x2+2x+m≤0 D.对于任意 x∈Z 都有 x2+2x+m>0 [答案] D [解析] “不存在 x∈Z 使 x2+2x+m≤0”等价于对于任意 x∈Z,都有 x2+2x+m>0. 6.命题 p:?x>1,log2x>0,则綈 p 是( A.?x>1,log2x≤0 B.?x≤1,log2x>0 C.?x>1,log2x≤0 D.?x≤1,log2x>0 [答案] C [解析] 全称命题的否定是特称命题. 7.下列命题中,是真命题且是全称命题的是( ) ) )

A.对任意的 a,b∈R,都有 a2+b2-2a-2b+2<0 B.菱形的两条对角线相等 C.?x, x2=x D.对数函数在定义域上是单调函数 [答案] D [解析] A 中含有全称量词“任意的”, 因为 a2+b2-2a-2b+2=(a-1)2+(b-1)2≥0; 故是假命题.B、D 在叙述上没有全称量词,但实际上是指“所有的”,菱形的对角线不一 定相等,所以 B 是假命题,C 是特称命题,故选 D. 8.设 a、b、c 是互不相等的正数,则下列不等式中不恒成立的是( .... A.a+b>2 ab B.(a-b)+ 1 ≥2 a-b )

C.a2+b2+c2>ab+bc+ca D.|a-b|≤|a-c|+|c-b| [答案] B [解析] 本题考查有关均值不等式成立的条件问题,对于 B 项当 a-b<0 时有-(a-b) + 1 1 ≥2,所以(a-b)+ ≤-2. -(a-b) a-b

9.已知命题“非空集合 M 的元素都是集合 P 的元素”是假命题,那么下列说法: ①M 的元素都不是 P 的元素; ②M 中有不属于 P 的元素; ③M 中有 P 的元素; ④M 中元素不都是 P 的元素. 其中正确的个数为( A.1 C.3 [答案] B [解析] 结合韦恩图可知②④正确. 10.若(2x+ 3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2 的值是( A.1 C.0 [答案] A [解析] (2x+ 3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,令 x=1,得 a0+a1+a2+a3+a4=(2+ 3)4,令 x=-1,得 a0-a1+a2-a3+a4=(-2+ 3)4, 所以(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a2+a4+a1+a3)(a0+a2+a4-a1-a3)=(2+ 3)4(-2 + 3)4=(-1)4=1.这是一个恒成立问题,属于全称命题,即当 x∈R 时,恒有原式成立,所 以不妨采用赋值法解之. 二、填空题 11. 命题“末位是 0 的整数, 可以被 5 整除”________全称命题. (填“是”或“不是”) [答案] 是 [解析] 所有末位为 0 的整数都可以被 5 整除. 12.命题“存在实数 x,y,使得 x+y>1”,用符号表示为________;此命题的否定是 ________(用符号表示),是________(填“真”或“假”)命题. [答案] ?x,y∈R,x+y>1;?x,y∈R,x+y≤1;假 [解析] 注意练习符号?、?、綈、∧、∨等,原命题为真,所以它的否定为假. 13.下列命题中真命题为________,假命题为________. ①末位是 0 的整数, 可以被 2 整除 ②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 ③ 正四面体中两侧面的夹角相等 角形 ⑥所有的菱形都是正方形 [答案] ①②③④⑤ ⑥ 14.(2010· 安徽文,11)命题“存在 x∈R,使得 x2+2x+5=0”的否定是____________. ④有的实数是无限不循环小数 ⑤有些三角形不是等腰三 B.-1 D.2 ) B.2 D.4 )

[答案] 对?x∈R,都有 x2+2x+5≠0. [解析] 该题考查命题的否定.注意存在性命题的否定是全称命题. 三、解答题 15.写出下列命题的否定. (1)所有自然数的平方是正数; (2)任何实数 x 都是方程 5x-12=0 的根; (3)对任意实数 x,存在实数 y,使 x+y>0; (4)有些质数是奇数. [解析] (1)的否定:有些自然数的平方不是正数. (2)的否定:存在实数 x 不是方程 5x-12=0 的根. (3)的否定:存在实数 x,对所有实数 y,有 x+y≤0. (4)的否定:所有的质数都不是奇数. 16.判断命题的真假,并写出命题的否定. (1)存在一个三角形,它的内角和大于 180° . (2)所有圆都有内接四边形. [答案] (1)假命题 所有的三角形,它的内角和都不大于 180° . (2)真命题 存在一个圆,没有内接四边形. 17.写出下列命题的否定: (1)若 2x>4,则 x>2; (2)若 m≥0,则 x2+x-m=0 有实数根; (3)可以被 5 整除的整数,末位是 0; (4)被 8 整除的数能被 4 整除; (5)若一个四边形是正方形,则它的四条边相等. [解析] (1)的否定:存在实数 x0,虽然满足 2x0>4,但 x0≤2. (2)的否定:存在一个实数 m≥0 使 x2+x-m=0 无实根. (3)的否定:存在一个可以被 5 整除的整数,其末位不是 0. (4)的否定:存在一个数能被 8 整除,但不能被 4 整除. (5)存在一个四边形,虽然它是正方形,则它的四条边中至少有两条不相等. 1 18.若方程 log2(ax2-2x+2)=2 在?2,2?内有解,求实数 a 的取值范围. ? ? 1 [解析] 方程 log2(ax2-2x+2)=2 在?2,2?内有解. ? ?

1 即方程 ax2-2x+2=4 在?2,2?内有解. ? ? 1 即 ax2-2x-2=0 在?2,2?内有解. ? ? 2x+2 2 2 1 1 1 方程 ax2-2x-2=0 可化为 a= 2 = 2+ =2? x+2?2- ? ? 2 x x x 1 1 1 3 1 令 t=2?x+2?2- ,当 x∈?2,2?时,t∈?2,12?. ? ? 2 ? ? ? ? 1 3 ∴要使原方程在 x∈?2,2?内有解,a∈?2,12?. ? ? ? ?


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