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辽宁省葫芦岛市第一高级中学2015-2016学年高一数学上学期期中试题


2015—2016 学年度上学期期中考试 高一数学试题
考试时间 120 分钟 试卷满分 150 分 说明:本试卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成。第Ⅰ卷为选择题,第Ⅱ卷为主观题,将答案答在答题 纸上,在本试卷上答题无效。 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上) 1. 已知全集 U ? ?0,1, 2,3, 4? ,集合 A ? ?1, 2,3? , B ? ?2, 4? ,则 ? CU A? ∪ B 为 A. ?1, 2, 4? B. ?4? C. ?0, 2, 4? D. ?0, 2,3, 4? 2. 已知 A ? ?x | 0 ? x ? 4?, B ? ?y | 0 ? y ? 2? ,从 A 到 B 的对应法则分别是:

1 x ; (2) f : x ? y ? x ? 2 ; 2 (3) f : x ? y ? x ; (4) f : x ? y ? x ? 2 .
(1) f : x ? y ? 其中能够成一 一映射的个数是 A.1 B.2 C.3 D. 4

1 3. 已知 f ( x ? 1) ? 2 x ? 5 ,且 f (a ) ? 6 ,则 a 等于 2 7 7 4 A. ? B. C. 4 4 3
A. f ( x) ? 5.化简 A.

D. ?

4 3
D. f ( x) ? ? lg x

4. 下列函数中,在其定义域内,既是奇函数又是减函数的是

1 x

B. f ( x) ? 的结果是 B. x
4

?x

C. f ( x) ? 2 ? x ? 2 x

x ? 3 x2 x?6 x

x

C. 1

D. x

2

6. 幂函数 f ( x) ? x 5 ,若 0 ? x1 ? x 2 ,则 f ( A. f (

x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) )? 2 2 x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) )? C. f ( D.无法确定 2 2 x 7.已知 lg a ? lg b ? 0 ,则函数 f ( x) ? a 与函数 g ( x) ? ? log b x 在同一坐标系内的图像
可能是

x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ), 大小关系是 2 2 x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) )? B. f ( 1 2 2

8.





1

1 a ? 21.2 , b ? ( ) ?0.8 , c ? 2 log 5 2 ,则 a, b, c 的大小关系为 2 A. c ? b ? a B. c ? a ? b C. b ? c ? a D .b ? a ? c ? x? 9. 设函数 f (2x ) 的定义域是 ? 2, 4? ,则函数 f ? ? 的定义域为 ?2? ?1 ? A. ?1, 2? B. ? ,1? C. ? 2,8? D. ?8,32? ?2 ?
10. 设函数 f ( x) 满足对任意的 m, n ? Z ? , 都有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n), 且 f (1) ? 2 ,则

f (2) f (3) f (2011) ? ? ??? ? ? f (1) f (2) f (2010)
A.2011 B.2010 C.4020 D.4022

11. 若函数 f(x)= ?log ( ? x), x ? 0 ,若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是 1

?log 2 x, x ? 0, ? ? ?
2

B. (-∞,-1)∪(1,+∞) D. (-∞,-1)∪(0,1) [x] 12. 已知 x∈R,符号[x]表示不超过 x 的最大整数,若函数 f(x)= (x>0),则给出以下四个 x 结论正确的是 A.函数 f(x)的值域为[0,1] B.函数 f(x)没有零点 C.函数 f(x)是(0,+∞)上的减函数 3 4 D.函数 g(x)=f(x)﹣a 有且仅有 3 个零点时 <a≤ . 4 5 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线上) 。 13. 函数

A.(-1,0)∪(0,1) C. (-1,0)∪(1,+∞)

y ? a x ?1 ? 1 (a ? 0且a ? 1) 的图象必经过定点
log
2

______

.

14. 化简 2

5

? lg 5lg 2 ? lg 2 2 ? lg 2 的结果为___________________.
2

15.设函数 f ( x) ? x ? (m ? 1) x ? 1 在区间[0,2]上有两个不同的零点,则实数 m 的取值 范围是 16. 下列各式:
1

.

? (1)   [( ? 2 ) ? 2 ] 2 ? ? 2 ;

(2)已知 log a

2 2 ,则 a  ?1     ?  ; 3 3

(3)函数 y ? 2 x 的图象与函数 y ? ?2 ? x 的图象关于原点对称; (4)函数 f(x)=

1 mx 2 ? mx ? 1

的定义域是 R,则 m 的取值范围是 0< m <4;

(5)函数 y ? ln( ? x 2 ? x ) 的递增区间为 (??, ] . 正确的 有 ... .(把你认为正确的序号全部写上)
2

1 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 12 分) 设集合 A ? ?x | ?7 ? 2x ? 5 ? 9?, S ? ?x | k ?1 ? x ? 2k ?1?, (1)若 S ? ? 且 S ? A ,求 k 的取值范围: (2)当 A ∩ S = ? 时,求 k 的取值范围:

18. 据气象中心观察和预测:发生于 M 地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度

v(km / h) 与时间 t (h) 的函数图像如图所示,过线段 OC 上一点 T (t , 0) 作横轴的垂线 l ,梯
形 OABC 在直线 l 左侧部分的面积即为在时间 t (h) 内沙尘暴所经过的路程 S (km) . (1)直接写出 v(km / h) 关于 t (h) 的函数关系式; (2)当 t ? 20 h 时,求沙尘暴所经过的路程 S (km) ; (3) 若 N 城位于 M 地的正南方向, 且距 M 地 650km , 试判断这场沙尘暴是否会侵袭到 N 城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到 N 城?如果不会,请说明理由. V(km/h) L

30

A

B

O

10

20

T

35

t(h)

19.(本题满分 12 分) 已知二次函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ? 1 ,且 f (0) ? 3 . (1)求 f ( x) 的解析式; (2)若 x ? [?1,1] 时, f ( x) ? 2mx 恒成立,求实数 m 的取值集合.

20.(本小题满分 12 分) 已知 f ( x ) 为偶函数,且 x ? 0 时, f ( x) ?

(1)判断函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上的单调性,并加以证明; (2)是否存在实数 a ,使 f ( x ) 在 ? , 2 ? 上的值域是 ? , 2 ? ,若存在,求出 a 的值,不存 2 2
3

1 1 ? (a ? 0) . a x

?1 ?

? ?

?1 ?

? ?

在说明理由; (3)求 x ? (??,0) 时,函数 f ( x ) 的解析式.

21.(本小题满分 12 分) 定义在 (0, ??) 上的函数 f ( x) 满足下面三个条件: ①对任意正数 a, b ,都有 f (a ) ? f (b) ? f (ab) ; ②当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ; ③ f (2) ? ?1 (I)求 f (1) 和 f ( ) 的值; (II)试用单调性定义证明:函数 f ( x) 在 (0, ??) 上是减函数; (III)求满足 f (log4 x) ? 2 的 x 的取值集合.

1 4

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? log 9 (9 x ? 1) ? kx ( k ? R )是偶函数. (1)求 k 的值; (2)若函数 y ? f ( x) 的图象与直线 y ?

(3)设 h( x) ? log 9 a ? 3 x ? 4 a ,若函数 f ( x) 与 h( x) 的图象有且只有一个公共点,求实数 a 3 的 取值范围.

?

?

1 x ? b 没有交点,求 b 的取值范围; 2

4

2015—2016 学年度上学期期中考试 高一数学试题参考答案: 一. CBBCC ABADC CD 14.25 15. ? 二.13.(1,2) 三.

3 ? m ? ?1 2

16.(3)

……4 分 ……6 分

……10 分 18.

……………………6分 ……………………………………7分 ………9分

……………………………………11 分

………………………………12 分 19. 解: (1) f ( x) ? x ? 2 x ? 3 ———————————— 4 分 (2)因为 x ? [?1,1] 时, f ( x) ? 2mx
2

设 g ( x) ? f ( x) ? 2mx ,即 g ( x) min ? 0 恒成立—————————————————— 5 分
5

g ( x) ? x 2 ? 2(m ? 1) x ? 3 ,对称轴 x ? m ? 1 当 m ? 1 ? ?1 时,即 m ? ?2 时, g (?1) ? 1 ? 2(m ? 1) ? 3 ? 0 ? m ? ?3 所以 ? 3 ? m ? ?2 —————————————————————————————— 7
分 当 ? 1 ? m ? 1 ? 1 ,即 ? 2 ? m ? 0 时, g (m ? 1) ? 0 ? ?1 ? 3 ? m ?

3 ?1

所以 ? 2 ? m ? 0 ————————9 分 当 m ? 1 ? 1 ,即 m ? 0 时, g (1) ? 0 ? m ? 1 ,所以 0 ? m ? 1 ———————————11 分 综上: ? 3 ? m ? 1 ——————————————12 分 20.

21.解: (1). f ?1? ? 0

…………2 分

?1? f ? ? ? 2 …………4 分 ?4? (2). 设x1 , x2 ? ? 0, ?? ? 且x1 ? x2,x1.x2任意
?x ? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? 2 ? …………7 分 ? x1 ?

?? 5分

?x ? x2 ? 1 ? f ? 2 ? ? 0 ? f ? x2 ? ? f ? x1 ? x1 ? x1 ? ? f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是减函数………………8 分 1 (3). f (log4 x) ? f ( ) 4 由(2) f ? x ? ? 0, ?? ? 上是减函数 由
1 ? ?log 4 x ? 所以 ? 4 ? ?log 4 x ? 0 解得 1 ? x ? 2
………………10 分

………………12 分 22. (1) 因为 y ? f ( x) 为偶函数,所以 ?x ? R, f (? x) ? f (? x) , 即 log 9 (9? x ? 1) ? kx ? log 9 (9 x ? 1) ? kx 对于 ?x ? R 恒成立.
x 1 ? log (9 x ? 1) ? ? x 恒成立, 于是 2kx ? log 9 (9? x ? 1) ? log 9 (9 x ? 1) ? log 9 9 ? 9 9x 而 x 不恒为零,所以 k ? ? 1 . ……………………4 2 (2) 由题意知方程 log 9 (9 x ? 1) ? 1 x ? 1 x ? b 即方程 log 9 (9 x ? 1) ? x ? b 无解. 2 2 x 令 g ( x) ? log 9 (9 ? 1) ? x ,则函数 y ? g ( x) 的图象与直线 y ? b 无交点.

x 1 ? log ?1 ? 1 ? g ( x) 在 ??, ? ? 上是单调减函数. 因为 g ( x) ? log 9 9 ? ? ? ? 9? x 9 ? 9x ?

1? 因为 1 ? 1x ? 1 ,所以 g ( x) ? log 9 ? ?1 ? x ? ? 0 . 9 ? 9 ?
6

所以 b 的取值范围是 ? ??, 0?.

………………8

(3) 由题意知方程 3x ? 1x ? a ? 3x ? 4 a 有且只有一个实数根. 3 3 令 3x ? t ? 0 ,则关于 t 的方程 (a ? 1)t 2 ? 4 at ? 1 ? 0 (记为(*))有且只有一个正 3 根. …………10 若 a=1,则 t ? ? 3 ,不合, 舍去; 4 若 a ? 1 ,则方程(*)的两根异号或有两相等正跟. 由 ? ? 0 ? a ? 3 或-3;但 a ? 3 ? t ? ? 1 ,不合,舍去;而 a ? ?3 ? t ? 1 ; 4 4 2 2 方程(*)的两根异号 ? ? a ? 1? ? ? ?1? ? 0 ? a ? 1. 综上所述,实数 a 的取值范围是 {?3} ? (1 , ? ?) . ……………………12

7


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