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2010年数学高考试题(重庆卷文科)


绝密★ 绝密★启用前

2010 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)

数学试题卷( 史类) 数学试题卷(文史类) 试题卷
解析 : 重庆合川太和中学 杨建

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出 的四个备选项中.只有一项是符合题目要求的. (1) ( x + 1) 4 的展开式中 x 2 的系数为
(A)4 (C)10 解析:由通项公式得 T3 = C 4 x = 6 x
2 2

(B)6 (D)20

(2)在等差数列 {an } 中, a1 + a9 = 10 ,则 a5 的值为 (A)5 (C)8 解析:由角标性质得 a1 + a9 = 2a5 ,所以 a5 =5 (3)若向量 a = (3, m) , b = (2, ?1) , a b = 0 ,则实数 m 的值为 (A) ? (B)6 (D)10
[来源:高&考%资(源#网 KS5U.COM]

3 2

(B)

3 2

(C)2 解析: a b = 6 ? m = 0 ,所以 m =6 (4)函数 y = 16 ? 4 x 的值域是 (A) [0, +∞ ) (C) [0, 4)
x x x

(D)6

(B) [0, 4] (D) (0, 4)

解析:Q 4 > 0,∴ 0 ≤ 16 ? 4 < 16 ∴ 16 ? 4 ∈ [ 0, 4 ) (5)某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人,为 了了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为 7 人,则样本容量为 (A)7 (B)15 (C)25 (D)35 解析:青年职工、中年职工、老年职工三层之比为 7:5:3,所以样本容量为

7
7 15

= 15

(6)下列函数中,周期为 π ,且在 [ (A) y = sin(2 x + (C) y = sin( x +

π π

π
2 )

, ] 上为减函数的是 4 2
(B) y = cos(2 x + (D) y = cos( x +

)

π
2 )

)

π
2

π
2

解析:C、D 中函数周期为 2 π ,所以错误 当 x ∈[

π π

π π ? 3π ? , ] 时, 2 x + ∈ ?π , ? ,函数 y = sin(2 x + ) 为减函数 4 2 2 2 ? 2 ?
而函数 y = cos(2 x +

π
2

) 为增函数,所以选 A

? x ≥ 0, ? (7)设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≥ 0, 则 z = 3 x ? 2 y 的最大值为 ?2 x ? y ? 2 ≤ 0, ?
(A)0 (B)2 (C)4 (D)6 解析:不等式组表示的平面区域如图所示, 当直线 z = 3 x ? 2 y 过点 B 时,在 y 轴上截距最小,z 最大 由 B(2,2)知 zmax = 4 (8)若直线 y = x ? b 与曲线 ?

? x = 2 + cos θ , ( θ ∈ [0, 2π ) )有两个不同的公共点,则实数 ? y = sin θ

b 的取值范围为
(A) (2 ? 2,1) (C) ( ?∞, 2 ? 2) U (2 + 2, +∞ ) 解析: ? (B) [2 ? 2, 2 + 2] (D) (2 ? 2, 2 + 2)

? x = 2 + cos θ , 化为普通方程 ( x ? 2) 2 + y 2 = 1 ,表示圆, y = sin θ ?

因为直线与圆有两个不同的交点,所以

2?b 2

< 1, 解得 2 ? 2 < b < 2 + 2
2,∴ b = 2 ? 2

法 2:利用数形结合进行分析得 AC = 2 ? b = 同理分析,可知 2 ? 2 < b < 2 + 2 (9)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 (A)只有 1 个 (B)恰有 3 个 (D)有无穷多个 (C)恰有 4 个

解析:放在正方体中研究,显然,线段 OO1 、EF、FG、GH、 HE 的中点到两垂直异面直线 AB、CD 的距离都相等, 所以排除 A、B、C,选 D 亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线 AB、CD 的距离相等 (10)某单位拟安排 6 位员工在今年 6 月 14 日至 16 日(端午节假期)值班,每天安排 2 人,每人值班 1 天 . 若 6 位员工中的甲不值 14 日,乙不值 16 日,则不同的安排方法共有 (A)30 种 (B)36 种 (C)42 种 (D)48 种 解析:法一:所有排法减去甲值 14 日或乙值 16 日,再加上甲值 14 日且乙值 16 日的排法
源:Z。xx

[来

即 C6 C4 ? 2 × C5C4 + C4C3 =42
2 2 1 2 1 1

法二:分两类 甲、乙同组,则只能排在 15 日,有 C4 =6 种排法 甲、乙不同组,有 C4C3 ( A2 + 1) =36 种排法,故共有 42 种方法
1 1 2 2

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在 答题卡相应位置上.
(11)设 A = { x | x + 1 > 0} , B = { x | x < 0} ,则 A I B =____________ . 解析: { x | x > ?1} ∩ { x | x < 0} = { x | ?1 < x < 0 (12)已知 t > 0 ,则函数 y =

}

t 2 ? 4t + 1 的最小值为____________ . t

t 2 ? 4t + 1 1 解析: y = = t + ? 4 ≥ ?2(Q t > 0) ,当且仅当 t = 1 时, ymin = ?2 t t
(13)已知过抛物线 y 2 = 4 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A 、 B 两点, AF = 2 ,则

BF = ____________ .
解析:由抛物线的定义可知 AF = AA1 = KF = 2

∴ AB ⊥ x轴

故 AF = BF = 2

(14) 加工某一零件需经过三道工序, 设第一、 三道工序的次品率分别为 二、 且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为____________ . 解析:加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品,由对立事件公式得

1 1 1 、 、 , 70 69 68

加工出来的零件的次品率 p = 1 ?

69 68 67 3 × × = 70 69 68 70

(15)如题(15)图,图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭 曲线 C ,各段弧所在的圆经过同一点 P (点 P 不在 C 上)且半径相 等 . 设 第 i 段 弧 所 对 的 圆 心 角 为

α i (i = 1, 2, 3) , 则

cos

α1
3

cos

α 2 + α3 α1
3 3 cos

? sin 3

α1
3

sin

α2 + α3 α1
3 3 sin

= ____________ . 3 = cos

解析: cos

α 2 + α3

? sin

α2 + α3

α1 + α 2 + α 3
3

又 α1 + α 2 + α 3 = 2π ,所以 cos

α1 + α 2 + α 3
3

1 =? 2

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤.
(16) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分. ) 已知 {an } 是首项为 19,公差为-2 的等差数列, Sn 为 {an } 的前 n 项和. (Ⅰ)求通项 an 及 Sn ; (Ⅱ) {bn ? an } 是首项为 1, 设 公比为 3 的等比数列, 求数列 {bn } 的通项公式及其前 n 项和 Tn .

(17) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分. ) 在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中,每个单位的节目集中安排 在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为 1,2,……,6) ,求: (Ⅰ)甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率; (Ⅱ)甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率.

[来源:Ks5u.com]

(18).(本小题满分 13 分), (Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 8 分.) 设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,且 3 b +3 c -3 a =4 2 bc .
2 2 2

(Ⅰ) 求 sinA 的值;

2sin( A + ) sin( B + C + ) 4 4 的值. (Ⅱ)求 1 ? cos 2 A

π

π

(19) (本小题满分 12 分), (Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 7 分.) 已知函数 f ( x) = ax 3 + x 2 + bx (其中常数 a,b∈R), g ( x ) = f ( x ) + f ′( x ) 是奇函数. (Ⅰ)求 f ( x ) 的表达式; (Ⅱ)讨论 g ( x ) 的单调性,并求 g ( x ) 在区间[1,2]上的最大值和最小值.

(20) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分. ) 如题(20)图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ⊥ 底面 ABCD ,

PA = AB = 2 ,点 E 是棱 PB 的中点.
(Ⅰ)证明: AE ⊥ 平面 PBC ; (Ⅱ)若 AD = 1 ,求二面角 B ? EC ? D 的平面角的余弦值.

(21) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分. ) 已知以原点 O 为中心, F ( 5, 0) 为右焦点的双曲线 C 的离心率 e = (Ⅰ)求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程; (Ⅱ)如题(21)图,已知过点 M ( x1 , y1 ) 的直线 l1 : x1 x + 4 y1 y = 4 与过点 N ( x2 , y2 ) (其中 x2 ≠ x1 )的直线 l2 : x2 x + 4 y2 y = 4 的交点 E 在双曲线 C 上,直线 MN 与双曲线的

5 . 2

uuur uuur
两条渐近线分别交于 G 、 H 两点,求 OG OH 的值.


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