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高中数学中向量的应用









构都是非常简单的 , 可 以 用 坐 标 法 处 理 的 解 析 几 何 问 题 中 许 多都可以用向量法解决 。

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065200

曹 数学概念 , 经 常 被 用 来 研 究 几 何 、 代 数 问 题 。 在 现 小 在 新 版 本 的 高 中 数 学 课 程 标 准 中 ,其 有 关 “向 量 ” 亮 的学习内容 得 到 了 增 加 , 因 而 , 中 学 阶 段 的 学 生 就
必须要 掌 握 可 以 利 用 向 量 来 解 决 更 多 的 常 见 的 数 学问题 。 在 这 种 背 景 下 , 有 必 要 关 注 和 研 究 下 “ 运 用向量法解题 ” 的相关问题 。 关键词 : 高中数学 ; 向量 ; 应用 向量是现代数学中的一个重要概念, 它集数 形于一身 , 沟通 了 代 数 、 几 何 、 三 角 , 由 于 高 中 数 学 课程当中 , 有关 “ 向 量 ” 的 内 容 得 到 了 增 加 , 那 么 着 也相应 地 有 了 一 种 更 为 新 的 思 路 来 解 决 数 学 的 相 关问题 , 其解题方法也更为便捷和多样化 。 一 、 向量在不等式中的应用 对于形如 姨a2+b2 ± 姨c2+d2 结构 , 常 构 造 向 量 的模的 和 或 差 , 解 答 此 种 题 型 在 于 恰 当 地 构 造 向 量 , 并利用向量 的 三 角 不 等 式 a 軆 - b 軋 ≤ a 軆 ±b 軋 ≤

摘 要 :向 量 ,是 现 代 教 学 当 中 一 个 较 为 重 要 的

軆 + b 軋 求解 。 a 例 1 证 明 姨 (x-2 )2+9 + 姨 (x-5 )2+1 ≥5 证 軆 = (x -2 ), b 軋 = (5 -x ,1 ), 由 軆 + 軋 ≥ 軆 軋 而 明 :设 a a b a ±b ) 得 出 + ≥ 姨 (x-2 )2+9 姨 (x-5 )2+1 2 2 2 2 最 后 得 出 ( ( ) ( ) ) ( ) , x -2+5x + 3+1 x -2 +9 x -5 +1 + 姨 姨 姨 ≥5 。
与三角代换 法 对 比 简 洁 得 多 , 比 利 用 两 点 间 距 离 公 式 的 几 何 意 义 求 解 还 要 简 单 ,构 思 巧 妙 ,解 法 新 颖 ,给 人 耳 目 一 新 的感觉 。 同时可以展示出 学 生 数 学 建 模 的 全 部 过 程 : 问 题 、 建 模 、 解模 、 还原 , 其中构造符 合 题 意 的 两 个 向 量 是 关 键 , 体 现 了 向量的工具性作用 。 二 、 向量在三角函数中的应用 证明正余弦的两角和与差公式 , 是向量数量积的一个直接 运用 ,较之传统证明方法 ,更加简洁明了 。 例 2 证明 cos(α-β )=

四 、 向量在立体几何中的应用 向量在立体 几 何 中 的 运 用 , 只 是 向 量 在 平 面 几 何 中 应 用 的扩充与推广 , 但由 于 空 间 想 象 能 力 的 个 别 差 异 导 致 了 学 生 们在用传统方法处理 立 体 几 何 问 题 时 的 巨 大 差 异 。 而 向 量 法 在立体几何问题中具 有 简 化 作 用 , 显 示 出 向 量 具 有 处 理 问 题 的一般性 。 例 4 如 图 所 示 在 四 棱 锥 ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 矩 形 , PA=AB =2 ,BC =a , 又 侧 棱 PA ⊥ 底 面 ABCD 。 当 a 为 何 值 时 , BD⊥ 面 PAC 试证明你的结论 ; (2 ) 当 a=4 时 , 求点 D 到平面 PBC 的距离 。 解 :(1 ) 以 A 为 坐 标 原 点 , 以 AD 、AB 、AP 所 在 直 线 分 别 为 x 轴 、y 轴 、z 轴 , 建 立 空 间 坐 标 系 , 如 图 所 示 , 当 a =2 时 ,BD ⊥ AC , 又 PA ⊥BD , 故 BD ⊥ 面 PAC , 故 a = 2。 (2 ) 当 a =4 时 , 易 知 D (4 ,0 ,0 ),B (0 ,2 ,0 ),C (4 ,2 ,0 ),P (0 ,0 ,2 ), BB PB = (0 ,2 ,-2 ),BB BC = (4 ,0 ,0 ), 设面 PBC 得法 B B 向量 n = (x ,y ,z ), 则 n ·( a 軆 + b 軋 + c 軆 )
2

4 为其上动点 。 当 ∠F1PF2 为钝角时 , 点 P 的横坐标的取值范围是 ___ 。 解 : 由题可知焦点坐标分别为 F1(- 姨 5 ,0 ),F2( 姨 5 ,0 )。 设点 P (x ,y ), 则由向 量 的 内 积 的 定 义 知 ∠F1PF2 为 钝 角 的 充 要 BB BB BB BB 条 件 是 PF PF 1· 2 < 0 。 因 PF2 = ( - 姨 5 - x , 0- y ), PF2 = ( 姨 5 - x , 0-y ), 所以有 (- 姨 5 -x )( 姨 5 -x )+ (-y )(-y )<0 , 得出 x2-5+y2< 0 , 将椭圆方程代入不等式得出 - 3 <x< 3 。 姨5 姨5

例 3 (2000 年 高 考 题 ) 椭 圆 x + y =1 的 焦 点 为 F1、F2, 点 P

2

2

9

軆 2+ b 軋 2+ c 軆 2+2 ( a 軆·b 軋 + a 軆·c 軆 + = a B BB 軋·c 軆 ) =0 , n ·BC =0 , 即 (x ,y ,z )· b
B

cosαcosβ+sinαsinβ 证 明 : 设 ( e1, e2) 是 平 面 上 的 标 准 正 交 基 , a , b 是 平 面 上 的 单位向量 ,a 与 e1 的夹角为 α ,b 与 e2 的夹角为 β , 且 α>β 。 向量 a 在 (e1,e2) 下 的 坐 标 为 (cosα ,sinα ), 向 量 b 在 (e1,e2) 下 的 坐 标 軆 = (cosα ,sinα ), b 軋 = (cosβ ,sinβ ), 则 有 軆 = 軋 为 (cosβ ,sinβ ), 即 a a b 軆 軋 軆·b 軋 cos (α-β )=cos (α-β )=cosαcosβ+sinαsinβ 。 b= a =1 。 所以 a·
由此我们可 以 看 出 向 量 所 具 有 的 几 何 的 直 观 性 、 表 述 的 简洁性 , 尤其是相对 于 传 统 的 三 角 变 换 和 传 统 的 几 何 证 明 而 言 , 向量流畅地运算自然换得简捷的方法 。 三 、 向量在解析几何中的应用 引进向量代数后 , 我 们 可 看 到 空 间 、 平 面 和 直 线 的 向 量 结

·(4 ,0 ,0 )=0 , 所 以 x=0 ,y=z , 取 y =1 , 故 n = (0 ,2 ,-2 )=0 ,(x ,y ,z ) B BB DC = 2 。 (0 ,1 ,1 ), 设 D 点到平面 PBC 的距离为 d , 则 d= n · 姨

軋 n

过去学习几 何 主 要 使 用 从 图 形 的 一 个 性 质 推 出 图 形 的 另 一性质 , 对于这种推理方 法 的 学 习 , 一 般 情 况 下 是 没 有 任 何 规 律可寻的 , 相对来说 学 习 起 来 也 比 较 难 。 向 量 几 何 主 要 采 用 “ 形 - 数 - 形 ” 复燃推理 , 这种推理方法 , 有较强的 规 律 性 。 由 以 上简单分析我们可以看出 , 向 量 作 为 一 种 数 学 工 具 , 运 用 其 自 身的有关知识和运算 方 法 , 可 以 很 容 易 地 避 免 繁 琐 复 杂 的 运 算方法 , 将计算量大大地 降 低 , 这 样 的 话 就 会 新 颖 且 简 单 。 学 生能够掌握有关向量 的 解 题 方 法 和 知 识 , 对 于 培 养 学 生 在 解 题和创新意识的培养上有很大的帮助 。

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英语教学中的小组合作学习
(淄博市张店区金苑学校 ,山东 淄博

董桂玲

255000 )

素质教育的实施 , 要求教师要更新教育理念 。 同时 ,《 全日 制义务教育普通高级中学英语课程标准 ( 实验稿 ) 》 指出 , 合作精 神的发展是基础教育阶段英语课程的主要任务之一 。 在高科技 日新月异的今天, 越来越细的分工更强调一种小组合作的方 式 , 一项事业的成功与否也是由于群体共同努力的结果 。 之所 以会产生这样的结果, 是因为小组合作会给学生带来一种轻 松 、民 主 、愉 快 的 学 习 氛 围 ,因 而 ,学 生 也 就 会 在 这 种 氛 围 的 伴 随 下 ,不 断 地 实 践 、参 与 、合 作 、交 流 中 逐 步 提 高 其 综 合 运 用 语 言的能力 。 合 作 学 习 (Cooperative Learning ) 是 由 美 国 著 名 教 育 家 David Koonts 首先倡导并实施的 。 它是指将一个班级分为几个 由若干个学生组成的小组 , 学生通过个体努力以及小组成员间 的合作 、 互助 , 完成指派的学习任务 , 每个成员的学习活动成为 整个小组学习活动的有机组成部分 , 最后将小组的活动成绩与 其他的小组进行对比 , 他倡导的是 “ 组内合作 , 组间竞争 ”, 它的 宗旨是 “ 不求人人成功 , 但求人人进步 ”。 小组的成功取决于小 组集体目标的实现 , 小组集体目标的有效实现 , 有助于师生 、 生

生之间多向 、 互动 、 多元的信心交流方式的达成 , 并且每个学生 也会从中感受到成长的快乐 。 作为一名中学英语教师 ,在教学实践中我有深刻的体会 :随 着初中办学规模的日益扩大 , 初中生的英语水平参差不齐现象 日益明显 , 两极分化现象渐趋严重 , 而且 , 后进生的人数随着年 级的升高及教材难度的上升呈上升趋势 。 一般情况下 ,一个班融 有几十名学生 , 一堂课大概是 40 分钟 , 而如果想要每名学生在 这 40 分钟之内都能够体会到教学所带来的快乐 , 是不大可能 的 ,绝大多数的学生在这里面所起到的角色只是一名旁观者 。 为 此 ,针对于这种情况 ,班级中采用小组教学的学习形式是最为有 效的 。 小组合作的学习方式主要可以体现在以下几个环节 。 一 、 科学 、 合理的分组 根 据 学 生 的 学 业 基 础 、学 习 习 惯 、学 习 能 力 和 语 言 技 能 等 差 异 ,采 用 “组 间 同 质 ,组 内 异 质 ,优 势 互 补 ”的 划 分 方 式 ,组 成 四人学习小组 。 人数太多不利于学生间的交流和个人才能的充 分展示 , 人数太少也不利于学生间的交流和互助 。 每一组内都 有各种层次的学生 , 确保各小组的总体英语水平均衡 。 小组成

114 2011 年第 9 期


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