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高中数学选修圆锥曲线


高中数学选修圆锥曲线基本知识点与典型 题举例
一、椭圆
1.椭圆的定义: 第一定义: 平面内到 点的轨迹叫 做椭圆,这两个定点叫做椭圆的 ,两焦点的距离叫做 第二定义: 平面内到 的距离之比是常数 的点的轨迹是椭圆,定点叫做椭圆的焦点,定直线 l 叫做椭圆的 ,常数 e 叫做椭圆的离心率. 2.椭圆的标准方程及其几何性质(如下表所示) 标准方 程 图形

顶点 对称轴 焦点 焦距 离心率

例 1. F1,F2 是定点,且|F1F2|=6,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6,则 M 点的轨迹方 程是( ) (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段

例 2.

已知 ?ABC 的周长是 16, A( ?3,0) ,B (3,0) , 则动点的轨迹方程是(

)

24

(A) 例 3.

x2 y2 ? ?1 25 16

(B)

x2 y2 x2 y2 ? ? 1( y ? 0) (C) ? ?1 25 16 16 25

(D)

x2 y2 ? ? 1( y ? 0) 16 25

若 F(c, 0)是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点, F 与椭圆上点的距离的最大值为 M, a 2 b2

最小值为 m,则椭圆上与 F 点的距离等于 (A)(c, ?
b2 ) a

M ?m 的点的坐标是( 2
(C)(0,± b)

)

( B)(?c, ?

b2 ) a

(D)不存在

例 4 设 F1(-c,0)、F2(c,0)是椭圆

x2 y2 + =1(a>b>0)的两个焦点,P 是以 F1F2 为 a2 b2

直径的圆与椭圆的一个交点, 若∠PF1F2=5∠PF2F1,则椭圆的离心率为( (A)
3 2

) (C)
2 2

(B)

6 3

(D)

2 3

例 5. P 点在椭圆 标是 .

x2 y2 ? ? 1 上,F1、F2 是两个焦点,若 PF1 ? PF2 ,则 P 点的坐 45 20

例 6. 写出满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)长轴与短轴的和为 18,焦距为 6; (2)焦点坐标为 (? 3 ,0) , ( 3,0) ,并且经过点(2,1);

. .
1 3

(3)椭圆的两个顶点坐标分别为 ( ?3,0) , (3,0) ,且短轴是长轴的 ; (4)离心率为
3 ,经过点(2,0); 2

____.

二、双曲线
1.双曲线的定义: 第一定义:平面内到 等于定值 的点的轨迹叫做双曲线 ,这两个定点叫做双曲线的 ,两焦点的距离 叫做双曲线的 第二定义 : 平面内到 距离之比是常数 的点的轨迹是双曲线,定点叫做双曲线的焦点,定直线 l 叫做双曲线 的 ,常数 e 叫做双曲线的离心率 标准方程

25

图形

顶点 对称轴 焦点 焦距 离心率

例 8 .命题甲:动点 P 到两定点 A、B 的距离之差的绝对值等于 2a(a>0);命题乙: 点 P 的轨迹是双曲线。则命题甲是命题乙的( ) (A) 充要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分不必要条件 (D) 不充分也 不必要条件

例9

到定点的距离与到定直线的距离之比等于 log23 的点的轨迹是( (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线
x2 ? y 2 ? 1 有相同渐近线的双曲线的方程是( 2



例 10. 过点(2,-2)且与双曲线
x2 y2 ? ?1 4 2

)

(A)

(B)

y2 x2 ? ?1 4 2

(C)

x2 y2 ? ?1 2 4

(D)

y2 x2 ? ?1 2 4

例 11. 双 曲 线

x2 ? y 2 ? 1 (n ? 1 ) 的 两 焦 点 为 F1 , F2 , P 在 双 曲 线 上 , 且 满 足 n

PF1 ? PF2 ? 2 n ? 2 ,则 ?PF1 F2 的面积为(
( A)1

)
(C ) 2
1 2

( B)

1 2

(D ) 4

例 12

设 ?ABC 的顶点 A( ?4,0) , B(4,0) ,且 sin A ? sin B ? sin C ,则第三个顶点
26

C 的轨迹方程是________.

例 13. 根据下列条件,求双曲线方程: ⑴与双曲线
x2 y 2 ? ? 1 有共同渐近线,且过点(-3, 2 3 ); 9 16 x2 y 2 ? ? 1 有公共焦点,且过点( 3 2 ,2). 16 4

⑵与双曲线

例 14. 设双曲线 x 2 ?

y2 ? 1 上两点 A、B,AB 中点 M(1,2)求直线 AB 方程; 2

注:用两种方法求解(韦达定理法、点差法)

三、.抛物线
1.抛物线的定义: 平面内到 不在 l 上).定点 F 叫做抛物线的焦点, 定直线 l 叫做 2.抛物线的标准方程及其几何性质(如下表所示) 标 准 方 y 2 ? 2 px( p ? 0) y 2 ? ?2 px( p ? 0) 程 图形 点的轨迹叫做抛物线(点 F

x2 ? 2 py( p ? 0)

x2 ? ?2 py( p ? 0)

对称轴 焦点 顶点

27

准线 离心率

例 15. 顶点在原点,焦点是 (0, ?2) 的抛物线方程是( (A)x2=8y 例 16 (B)x2=-8y (C)y2=8x

) (D)y2=-8x )

抛物线 y ? 4 x 2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是(
16

(A) 17

(B) 15
16

(C) 7
8

(D)0 ) (D)1 条

例 17. 过点 P(0,1)与抛物线 y2=x 有且只有一个交点的直线有( (A)4 条 (B)3 条 (C)2 条

例 18. 过抛物线 y ? ax 2 (a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别为 p、q,则 (A)2a (B)
1 1 ? 等于( p q

) (C) 4a (D)

1 2a

4 a

例 19 若点 A 的坐标为(3, 2), F 为抛物线 y2=2x 的焦点, 点 P 在抛物线上移动, 为使|PA|+|PF|取最小值,P 点的坐标为( ) 1 (A) (3,3) (B)(2,2) (C)( ,1) (D)(0,0) 2 例 20 是 动圆 M 过点 F(0 , 2) 且与直线 y=-2 相切,则圆心 M 的轨迹方程 .

例 21 过抛物线 y2=2px 的焦点的一条直线和抛物线交于两点, 设这两点的纵坐 标为 y1、y2,则 y1y2=_________. 例 22 以 抛 物 线 x 2 ? ?3 y 的 焦 点 为 圆 心 , 通 径 长 为 半 径 的 圆 的 方 程 是

_____________. 例 23 过点(-1,0)的直线 l 与抛物线 y2=6x 有公共点,则直线 l 的斜率的范围 是 . 例 24 设 p ? 0 是一常数,过点 Q(2 p, 0) 的直线与抛物线 y 2 ? 2 px 交于相异两点
28

A、B,以线段 AB 为直经作圆 H(H 为圆心) 。 (Ⅰ)试证:抛物线顶点在圆 H 的圆周上; (Ⅱ)求圆 H 的面积最小时直线 AB 的方程

圆锥曲线定义的辨析
在本章中,椭圆、双曲线、抛物线的定义是基础,学生要在理解圆锥曲线定 义的基础上掌握它们定义的辨析题型. 1.已知 ?ABC 的顶点 A(0,-2),B(0,2),且 4(sin B ? sin A) ? 3 sin C ,则顶点 C 的轨 迹是

2.已知以点 C 为圆心,半径为 R(R>6)的圆内有一个定点 A,且 AC=6,如果 圆 P 过点 A 且与圆 C 内切,求圆心 P 的轨迹

3.已知点 N (2,0) ,圆 M : ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 36 ,点 A 是圆 M 上一个动点,线段 AN 的垂 直平分线交 AM 于点 P ,则点 P 的轨迹方程是

4.平面内,若动点 M 到定点 F(0,-3)的距离比到定直线 y=2 的距离大 1,则动 点 M 的轨迹是

四、求点的轨迹问题
如何求曲线(点的轨迹)方程,它一般分为两类基本题型: 一是已知轨迹类型求 其方程,常用待定系数法,如求直线及圆的方程就是典型例题;二是未知轨迹类 型,此时除了用代入法(相关点法)外,通常设法利用已知轨迹的定义解题,化 归为求已知轨迹类型的轨迹方程。 因此在求动点轨迹方程的过程中,一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关 系),侧重于数的运算,一是寻找与动点有关的几何条件,侧重于形,重视图形 几何性质的运用。 求轨迹方程的一般步骤:建、设、现(限) 、代、化. ???? ? ???? 例 25. 已知两点 M(-2,0) ,N(2,0) ,点 P 满足 PM ? PN =12,则点 P 的轨
29

迹方程为
x2 ? y 2 ? 1 ( B) x2 ? y 2 ? 16 16

( A)

(C ) y 2 ? x2 ? 8

( D) x2 ? y 2 ? 8

例 26. ⊙O1 与⊙O2 的半径分别为 1 和 2,|O1O2|=4,动圆与⊙O1 内切而与⊙O2 外切,则动圆圆心轨迹是 (A)椭圆 (B)抛物线 (C)双曲线 (D)双曲线的一支

例 27. 动点 P 在抛物线 y2=-6x 上运动,定点 A(0,1),线段 PA 中点的轨迹方程是 (A)(2y+1)2=-12x(B)(2y+1)2=12x (C)(2y-1)2=-12x(D)(2y-1)2=12x

例 28.

过点 A (2,0)与圆 x 2 ? y 2 ? 16 相内切的圆的圆心 P 的轨迹是 (B)双曲线 (C)抛物线 (D)圆

(A)椭圆

例 29. (A)

已知 ?ABC 的周长是 16, A( ?3,0) ,B (3,0) 则动点的轨迹方程是(
x2 y2 x2 y2 ? ? 1 (B) ? ? 1( y ? 0) 25 16 25 16

)

(C)

x2 y2 ? ?1 16 25

(D)

x2 y2 ? ? 1( y ? 0) 16 25

例 30. 椭圆

4 x2 y2 ? ? 1 中斜率为 的平行弦中点的轨迹方程为 4 3 3

.

例 31. 已知动圆 P 与定圆 C: (x+2) 2 +y 2 =1相外切,又与定直线 l:x=1 相切,那么动圆的圆心 P 的轨迹方程是______________.

五、简单的直线与圆锥曲线相交问题
1.已知抛物线 C: y 2 ? 2 px( p ? 0) 与直线 l : y ? x ? b 相交于 A、B 两点, 线段 AB 中 点的横坐标为 5,且抛物线 C 的焦点到直线 l 的距离为 2 ,试求 p、b 的值

30

2.已知直线 y ? x ? b 与抛物线 x 2 ? 2 y 交于 A,B 两点, 且 OA ? OB (O 为坐标原点) , 求 b 的值 3.若椭圆 ax2 ? by2 ? 1 于直线 x ? y ? 1 交于 A,B 两点,M 为 AB 的中点,直线 OM (O 为原点)的斜率为
2 ,且 OA ? OB ,求 a , b 的值 2

4.设双曲线 C 的方程为 时,直线 l 与双曲线 C (1)有两个公共点; (2)有一个公共点; (3)没有公共点;

x2 ? y 2 ? 1 ,直线 l 的方程是 y ? 1 ? k ( x ? 2) ,当 k 为何值 4

5、设 F 为抛物线 C : y 2 ? 4x 的焦点,过点 P(?1,0) 的直线 l 交抛物线 C 于 A, B 两 点,点 Q 为线段 AB 的中点,若 FQ ? 2 13 ,则直线 l 的斜率等于

6、已知 AB 为抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的过焦点的弦,若 AB ? m ,则线段 AB 的中 点的横坐标为 ,若直线 AB 的倾斜角为 ? ,则 AB ?
31

7、点 P(8,1)平分双曲线 x 2 ? 4 y 2 ? 4 的一条弦,这条弦所在的直线方程是

8、设椭圆

x2 y2 ? (a>b>0)与直线 x+y=1 交于 PQ 两点,且 OP ? OQ ,其中 O a2 b2
1 1 ? 2 ?2 2 a b

为坐标原点,求证:

六、圆锥曲线综合问题
直线与圆锥曲线的位置关系 ⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定 直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况:相交、相切、相离. 直线方程是二元一次方程,圆锥曲线方程是二元二次方程,由它们组成的方程 组,经过消元得到一个一元二次方程,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必 要条件分别是 ? ? 0 、 ? ? 0 、 ? ? 0 . ⑵直线与圆锥曲线相交所得的弦长 直线具有斜率 k , 直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 则
2 它的弦长 AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? (1 ? k 2 ) ? ?( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? ? ? 1?

1 y1 ? y2 k2

注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技 巧而已(因为 y1 ? y2 ? k( x1 ? x2 ) ,运用韦达定理来进行计算. 当直线斜率不存在是,则 AB ? y1 ? y2 . 注: 1.圆锥曲线,一要重视定义,这是学好圆锥曲线最重要的思想方法,二 要数形结合,既熟练掌握方程组理论,又关注图形的几何性质,以简化运算。 2.当涉及到弦的中点时,通常有两种处理方法:一是韦达定理;二是点差法. 3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数, 用求值 域的方法求范围;二是建立不等式,通过解不等式求范围。 例 32. AB 为过椭圆
x2 y2 ? =1 中心的弦,F(c,0)为椭圆的右焦点,则△ AFB a2 b2

32

的面积最大值是( (A)b2 例 33

) (B)ab (C)ac (D)bc

若直线 y=kx+2 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 6 的右支交于不同的两点,则 k 的取

值范围是( )
( A) ( ?

15 15 ) , 3 3

( B) (0 ,

15 ) 3

(C ) ( ?

15 , 0) 3

( D ) (?

15 , ? 1) 3

例 34.

若双曲线 x2-y2=1 右支上一点 P(a, b)到直线 y=x 的距离为 2 ,则 a+b

的值是( ). 1 ( A) ? 2 例 35

( B)

1 2

(C ) ?

1 1 或 2 2

(D)2 或-2

抛物线 y=x2 上的点到直线 2x- y =4 的距离最近的点的坐标是( ) 1 1 3 9 ( A)( , ) ) (B)(1,1) (C) ( , ) (D) (2,4) 2 4 2 4 抛物线 y2=4x 截直线 y ? 2 x ? k 所得弦长为 3 5 ,则 k 的值是( (B)-2 (C)4 (D)-4 )

例 36

(A)2 例 37 是

如果直线 y ? k ( x ? 1) 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 4 没有交点,则 k 的取值范围 .

例 38

已知抛物线 y ? 2 x 2 上两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 关于直线 y ? x ? m 对称, .

1 且 x1 x 2 ? ? ,那么 m 的值为 2

例 39 双曲线 3x2-y2=1 上是否存在关于直线 y=2x 对称的两点 A、B?若存在, 试求出 A、B 两点的坐标;若不存在,说明理由.

33

七、圆锥曲线中的一些定点、定值问题
江苏高考中近几年常考的一类题型为圆锥曲线题, 常常涉及到过定点与定值 问题,属于解析几何的范畴。解析几何是用代数的手段解决几何问题,在教学中 我发现了许多圆锥曲线中过定点或比值为定值问题,想讲清楚这类问题不难,教 者只要讲清这类问题的原理为等式恒成立,方法为待定系数法即可。后来发现如 果只讲方法与原理, 不少学生的掌握仅限于模仿,处于知其然不知其所以然的境 况; 而在几何中过定点问题可以依据的几何方法找到直观的解释。如果教者能潜 心研究,发现其几何解释,这样不仅很好地解释过定点或定值问题,而且能让学 生易于接受结果,学生学习积极性的会有更好提高、对解几的运算更能接受。 下面通过几个例子能说明问题:
例 40.已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3 ,最小值为 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A , B 两点( A, B 不是左右顶点) ,且以 AB 为 直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

x2 y 2 【解析】(I)由题意设椭圆的标准方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b
a ? c ? 3, a ? c ? 1 , a ? 2, c ? 1, b2 ? 3 ?

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

? y ? kx ? m ? 2 2 2 (II)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? x 2 y 2 得 (3 ? 4k ) x ? 8mkx ? 4(m ? 3) ? 0 , ?1 ? ? 3 ?4

? ? 64m2k 2 ?16(3 ? 4k 2 )(m2 ? 3) ? 0 , 3 ? 4k 2 ? m2 ? 0 .
? x1 ? x2 ? ? 8mk 4(m2 ? 3) , x ? x ? . 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3(m2 ? 4k 2 ) . 3 ? 4k 2
y1 y ? 2 ? ?1 , x1 ? 2 x2 ? 2

y1 ? y2 ? (kx1 ? m) ? (kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m2 ?

? 以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD ? kBD ? ?1 ,?
(最好是用向量点乘来) y1 y2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 ,

3(m2 ? 4k 2 ) 4(m2 ? 3) 16mk ? ? ? 4 ? 0, 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
34

7m2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0 ,解得 m1 ? ?2k , m2 ? ?

2k ,且满足 3 ? 4k 2 ? m2 ? 0 . 7

当 m ? ?2k 时, l : y ? k ( x ? 2) ,直线过定点 (2,0), 与已知矛盾;

2 2k 2 时, l : y ? k ( x ? ) ,直线过定点 ( , 0). 7 7 7 2 综上可知,直线 l 过定点,定点坐标为 ( , 0). 7
当m ? ?

练习 1.已知椭圆 C :

3 1 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (1, ) ,且离心率 e ? 。 2 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m(k ? 0) 与椭圆交于不同的两点 M 、 N ,且线段 MN 的垂直 平分线过定点 G ( ,0) ,求 k 的取值范围。 【解析】 (Ⅰ)? 离心率 e ? 又椭圆过点 (1, ) ,则

1 8

1 b2 1 3 2 2 ,? 2 ? 1 ? ? ,即 4b ? 3a (1) ; 2 a 4 4

3 2

1 9 2 2 ? 2 ? 1, (1)式代入上式,解得 a ? 4 , b ? 3 ,椭圆方程为 2 a 4b

x2 y 2 ? ? 1。 4 3
(Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,弦 MN 的中点 A ( x0 , y0 ) 由?

? y ? kx ? m 2 2 2 得: (3 ? 4k ) x ? 8mkx ? 4m ?12 ? 0 , 2 2 ?3x ? 4 y ? 12

? 直线 l : y ? kx ? m(k ? 0) 与椭圆交于不同的两点,
?? ? 64m2k 2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m2 ?12) ? 0 ,即 m2 ? 4k 2 ? 3 ………………(1)
由韦达定理得: x1 ? x2 ? ?

8mk 4m2 ? 12 , x x ? , 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

则 x0 ? ?

4mk 4mk 2 3m , y ? kx ? m ? ? ?m? , 0 0 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k 2

35

直线 AG 的斜率为: K AG

3m 2 24m , ? 3 ? 4k ? 4mk 1 ?32mk ? 3 ? 4k 2 ? ? 3 ? 4k 2 8
24m 3 ? 4k 2 ? k ? ? 1 m ? ? ,即 ,代入(1) ?32mk ? 3 ? 4k 2 8k

由直线 AG 和直线 MN 垂直可得:

式,可得 (

1 3 ? 4k 2 2 5 5 ) ? 4k 2 ? 3 ,即 k 2 ? ,则 k ? 。 或k ? ? 20 8k 10 10

x2 y2 练习 1.设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与直线 x ? y ? 1 交于 P, Q 两点,且 OP ? OQ , a b

其中 O 为坐标原点,求证:

1 1 ? 2 ?2 2 a b

x2 5 例 41 已知椭圆 C : ? y 2 ? 1, 点 M 的坐标为 ( , 0) ,过椭圆右焦点 F 且斜率为 k 的直线 l 2 4
与椭圆 C 相交于 A, B 两点,对于任意的 k ? R, MA ? MB 是否为定值?若是求出这个定值;若 不是,请说明理由.

???? ????

? y ? k ( x ? 1) ? 【解析】由已知得 F (1, 0), 直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1). 由 ? x 2 , 消去 y 得 2 ? ? y ?1 ?2

(2k 2 ? 1) x2 ? 4k 2 x ? 2(k 2 ?1) ? 0, 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),
则 x1 ? x2 ?

5 5 4k 2 2(k 2 ? 1) ???? ???? , x x ? . ? MA ? MB ? ( x1 ? , y1 )( x2 ? , y2 ) 1 2 2 2 4 4 2k ? 1 2k ? 1

36

5 5 5 5 ( x1 ? )( x2 ? ) ? y1 y2 ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) 4 4 4 4

5 4k 2 (k 2 ? ) 5 25 2k 2 ? 2 2 2 4 ? 25 ? k 2 ? (k ? 1) x1 x2 ? (k ? )( x1 ? x2 ) ? ? k ? (k ? 1) 2 ? 2 4 16 2k ? 1 2k ? 1 16
2 2

?

???? ???? 7 ?4k 2 ? 2 25 7 MA ? MB ? ? 为定值. ? ? ? . 由此可知 , 2 16 2k ? 1 16 16

练习 在平面直角坐标系 xOy 中,过定点 C(0,p)作直线与抛物线 x2=2py(p>0)相交于
A、B 两点。 (Ⅰ)若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求△ANB 面积的最小值; (Ⅱ)是否存在垂直于 y 轴的直线 l,使得 l 被以 AC 为直径的圆截得弦长恒为定值? 若存在,求出 l 的方程;若不存在,说明理由。 (此题不要求在答题卡上画图)

【解析】 (Ⅰ)依题意,点 N 的坐标为 N(0,-p),可设 A(x1,y1),B(x2,y2) ,直线 AB
的方程为 y=kx+p,与 x2=2py 联立得 ?

? x 2 ? 2 py ? y ? kx ? p.

消去 y 得 x2-2pkx-2p2=0.

由韦达定理得 x1+x2=2pk,x1x2=-2p2. 于是 S ?ABN ? S ?BCN ? S ?ACN ?

1 ? 2 p x1 ? x2 2

2 2 2 2 2 2 = p x1 ? x2 ? p ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 = p 4 p k ? 8 p ? 2 p k ? 2 .

?当k ? 0时,(S?ABN) min ? 2 2 p2 .
(Ⅱ)假设满足条件的直线 l 存在,其方程为 y=a,AC 的中点为 O?, t与AC为直 径的圆 相交于点 P、Q,PQ 的中点为 H,则 O?H ? PQ , O?点的坐标为(

x1 y1 ? p , ) 2 2

? O?P ?

1 1 1 2 y12 ? p 2 . AC ? x1 ? ( y1 ? p) 2 = 2 2 2

O?H ? a ?

y1 ? p 1 ? 2a ? y1 ? p , 2 2

37

1 1 2 2 2 ? PH ? O?P ? O?H = ( y12 ? p 2 ) ? (2a ? y1 ? p) 2 4 4 p = ( a ? ) y1 ? a ( p ? a ), 2
2 p ? ? ? PQ ? ( 2 PH ) 2 = 4?(a ? ) y2 ? a( p ? a)?. 2 ? ?

令a ?

p p ? 0 ,得 a ? , 此时 PQ ? p 为定值,故满足条件的直线 l 存在,其方程为 2 2

y?

p ,即抛物线的通径所在的直线. 2

八、巧用定义求椭圆中四类最值问题
圆锥曲线的定义既是推导圆锥曲线标准方程的依据,又是用来解决一些问题 的重要方法,一般情况下,当问题涉及焦点或准线,且用其它方法不易求解时, 可考虑运用定义求解,下面以椭圆为例归纳四类最值问题。 1、若 A 为椭圆内一定点(异于焦点) ,P 是 C 上的一个动点,F 是 C 的一 1 个焦点,e 是 C 的离心率,求 PA ? PF 的最小值。 e 例42 已知椭圆
x2 y2 ? ? 1 内有一点 A(2,1) ,F 是椭圆 C 的左焦点,P 为椭圆 25 16

5 PF 的最小值。 3 5 1 5 解析:注意到式中的数值 恰为 ,则可由椭圆的第二定义知 PF 等于椭圆上 3 e 3 的点 P 到左准线的距离。这种方法在本期《椭圆中减少运算量的主要方法》一文 31 中已经介绍过,这里不再重复,答案为 。 3

C 上的动点,求 PA ?

38

2. 若 A 为椭圆 C 内一定点(异于焦点) ,P 为 C 上的一个动点,F 是 C 的 一个焦点,求 PA ? PF 的最值。 例43. 已知椭圆
x2 y2 ? ? 1 内有一点 A(2,1) ,F 为椭圆的左焦点,P 是椭圆上 25 16

动点,求 PA ? PF 的最大值与最小值。 解析:如图1,设椭圆的右焦点为 ,可知其坐标为(3,0) 由椭圆的第一定义得:

可知,当 P 为 ,当 P 为 。 故

的延长线与椭圆的交点时, 的延长线与椭圆的交点时,

最大,最大值为 最小,最小值为

的最大值为

,最小值为



3.若 A 为椭圆 C 外一定点, 为 C 的一条准线,P 为 C 上的一个动点,P 到 的距离为 d,求 PA ? ed 的最小值。 例44. 已知椭圆外
x2 y2 ? ? 1 一点 A(5,6) , 为椭圆的左准线,P 为椭圆上动 25 16

3 点,点 P 到 的距离为 d,求 PA ? d 的最小值。 5

解析:如图2,设 F 为椭圆的左焦点,可知其坐标为

根据椭圆的第二定义有:

,即

可知当 P、F、A 三点共线且 P 在线段 AF 上时, 。
3 故 PA ? d 的最小值为10。 5

最小,最小值

39

4.

定 长 为 d (d ?

2b 2 ) 的 线 段 AB 的 两 个 端 点 分 别 在 椭 圆 a

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上移动,求 AB 的中点 M 到椭圆右准线 的最短距离。 a 2 b2

设 F 为椭圆的右焦点,如图3,作 M”

于 A”,BB”⊥ 于 B”,MM”⊥ 于

则 当且仅当 AB 过焦点 F 时等号成立。 故 M 到椭圆右准线的最短距离为 评注: 。

2b 2 2b 2 是椭圆的通径长,是椭圆焦点弦长的最小值, d ? 是 AB 能 a a

过焦点的充要条件。 例 45 定长为 9 的线段 AB 的两个端点分别在椭圆 C: 的中点 M 到椭圆右准线 l 的最短距离为
x2 y2 ? ? 1 上移动,则 AB 25 16

例 46

AB 是抛物线 y ? x 2 的一条弦,若 AB 的中点到 x 轴的距离为 1,则弦 AB

的长度的最大值为

九、圆锥曲线中离心率问题
x2 y2 x2 y2 3 1.椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,则双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为 a b a b 2

40

2.以椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为圆心,c 为半径的圆与椭圆的左准线交 a 2 b2

于不同的两点,则该椭圆的离心率的取值范围是

3.设 F 是椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 右焦点,A 是右准线与 x 轴的交点,若在椭圆 a 2 b2

上存在一点 P,使线段 PA 的垂直平分线恰好经过点 F,则椭圆离心率的取值范 围是

4.若双曲线的渐近线方程为 y ? ?

1 x ,求它的离心率 2

5.已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F, 若过点 F 且倾斜角为 60? 的直 2 a b

线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线的离心率的取值范围为

6.若双曲线的一条准线被两条渐近线截得的线段长恰好等于双曲线的实半轴长, 则双曲线的离心率为

7.已知椭圆

b x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,斜率为 的直线交椭圆于 A、B 两点,若 AB 2 a a b

的中点为 M,且 MA 的中点恰好是椭圆的右焦点 F,试求椭圆的离心率。

8.过双曲线的一个焦点 F 作垂直于实轴的弦 MN, 点 A 为双曲线距 F 较远的顶点, 且 ?MAN ? 90? ,则双曲线的离心率等于

9.已知 F1 , F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点,PQ 是经过 F2 且垂 a 2 b2

41

直于 x 轴的弦,若 ?PF1Q 是锐角三角形,双曲线离心率 e 的取值范围 10.已知椭圆
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,A 为左顶点,B 为短轴的一个端点,F 为右焦 a 2 b2

点,且 AB ? BF , 则这个椭圆的离心率为

x2 y2 11.P 是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上位于第二象限的一点, F1 是椭圆的左焦点, a b

且 PF ), 1 ? x 轴, A, B 分别是椭圆的右顶点和上顶点,若 AB // OP(O是坐标原点 椭圆的离心率

x2 y2 12.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c,0), F2 (c,0) ,若椭圆 a b

上存在点 P(异于长轴端点) 使 c sin ?PF 1 F2 ? a sin ?PF 2F 1 , 椭圆的离心率的取值 范围

x2 y 2 13.直线 l 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右准线,若以原点为圆心且过双曲线 a b

的焦点的圆被直线 l 分成弧长比为 2:1 的两端圆弧,则该双曲线的离心率是

42


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