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第70课轨迹方程的求法


2013 届高三数学高考第一轮复习教案

? 第 70 课 轨迹方程的求法 一、考纲要求: 重点: 掌握常用求轨迹方法 难点:轨迹的定型及其纯粹性和完备性的讨论 二、知识结构: 求轨迹方程的基本方法 (一)求轨迹方程的一般方法: 1. 定义法:先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲 线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线等)的定义或特征, 再求出该曲线的相关参量,从而得到轨迹方程。 2. 直接法:当所求动点的要满足的条件简单明确时, 直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、 限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法. 3. 代入法(相关点法) :如果动点 P 的运动是由另外 某一点 P ? 的运动引发的,而该点的运动规律已知, (该点 坐标满足某已知曲线方程) 则可以设出 P , (x, , (x, y) 用 y) 表示出相关点 P ? 的坐标, 然后把 P ? 的坐标代入已知曲 线方程,即可得到动点 P 的轨迹方程。 4. 参数法:如果采用直译法求轨迹方程难以奏效,则 可寻求引发动点 P 运动的某个几何量 t,以此量作为参变 数,分别建立 P 点坐标 x,y 与该参数 t 的函数关系 x=f (t) y=g , (t) 进而通过消参化为轨迹的普通方程 F , (x, y)=0。注意参数的取值范围。 5.交轨法:在求动点轨迹时,有时会出现要求两动曲 线交点的轨迹问题,这种问题通常通过解方程组得出交 点(含参数)的坐标,再消去参数求得所求的轨迹方程 (若能直接消去两方程的参数,也可直接消去参数得到 轨迹方程) ,该法经常与参数法并用。 三、考点与典型例题: 1、 定义法 先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线(如圆、椭 圆、双曲线、抛物线等)的定义或特征,再求出该曲线 的相关参量,从而得到轨迹方程。

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例 1: 已知 ? ABC 顶点 A, 坐标分别为 B (-4, , 0) (4, , 0) C 为动点, 且满足 sin
B ? sin A ? 5 4 sin C

, 求点 C 的轨迹。

【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方 程的关键。 ⑴圆:动点到定点的距离等于定长 ⑵椭圆:动点到两定点的距离之和为常数(大于两定点 的距离) ⑶双曲线:动点到两定点距离之差的绝对值为常数(小 于两定点的距离) ⑷抛物线:动点到一个定点的距离等于到一条定直线的 距离 ⑸垂直平分线:动点到两个定点的距离相等。 变式 1:已知 ? ABC 中,? A 、? B 、? C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,若 a 、 c 、 b 依次构成等差数列,且 a ? c ? b ,
AB ? 2

,求顶点 C 的轨迹方程。
C

y

.
A O B x

变式 2:一动圆与圆 O: x 2 ? y 2 ? 1 外切,而与圆 C:
x ? y ? 6 x ? 8 ? 0 内切,那么动圆的圆心
2 2

M 的轨迹是:

(A)抛物线

(B)圆

(C)椭圆

(D)双曲线一支

2、直接法 当所求动点的要满足的条件简单明确时,直接按“建 系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明” 五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法。 例 2:动点 P(x,y)到两定点 A(-3,0)和 B(3,0) 的距离的比等于 2 (即
| PA | | PB | ? 2) ,求动点

P 的轨迹方程。

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【点评】直接法的关键在于找到动点所满足的等量关系 (等量关系可能由题目条件直接给出,也可能是由一些 常用公式或平几中的有关定理、性质给出) 变式 1:已知点 A (? 2 , 0 ) 、 B ( 3 , 0 ). 动点 P ( x , y ) 满足
PA ? PB ? x
2

,则点 P 的轨迹为( C.双曲线

) D.抛物线

A.圆

B.椭圆

变式 2:一条线段 AB 的长等于 2a, 两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴 上滑动,求 AB 中点 P 的轨迹方程。

3、代入法 代入法(相关点法) :如果动点 P 的运动是由另外某 一点 P ? 的运动引发的,而该点的运动规律已知, (该点坐 标满足某已知曲线方程) ,则可以设出 P(x,y) ,用(x, y) 表示出相关点 P ? 的坐标, 然后把 P ? 的坐标代入已知曲 线方程,即可得到动点 P 的轨迹方程。 例 3:点 B 是椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 上的动点, A ( 2 a , ) 0

为定点,

求线 AB 的中点 M 的轨迹方程。 【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间 的等量关系。 变式 1: 《学案》P151 例 2 已知 x 轴上一定点 A(1,0), 为椭圆 Q 点,求 AQ 中点 M 的轨迹方程 变式 2:如图所示,已知 P(4,0)是圆 x2+y2=36 内的一点, A、B 是圆上两动点,且满足∠APB=90°,求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

x

2

? y

2

? 1 上的一动

4

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y
B Q

R A

o

P

x

4、参数法 如果采用直译法求轨迹方程难以奏效,则可寻求引发动 点 P 运动的某个几何量 t,以此量作为参变数,分别建立 P 点坐标 x,y 与该参数 t 的函数关系 x=f(t) ,y=g(t) , 进而通过消参化为轨迹的普通方程 F(x,y)=0。注意 参数的取值范围。 例 4:过点 P(2,4)作两条互相垂直的直线 l1,l2,若 l1 交 x 轴于 A 点,l2 交 y 轴于 B 点,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。

【点评】 用参数法求解时,一般参数可选用具有某种物理或几何 意义的量,如时间,速度,距离,角度,有向线段的数 量,直线的斜率,点的横,纵坐标等。也可以没有具体 的意义,选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点 坐标取值范围的影响。 变式 1:过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的顶点 O 作两条互 相垂直的弦 OA 、 OB ,求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程. 5、交轨法 在求动点轨迹时,有时会出现要求两动曲线交点的轨迹 问题,这种问题通常通过解方程组得出交点(含参数)
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的坐标,再消去参数求得所求的轨迹方程(若能直接消 去两方程的参数,也可直接消去参数得到轨迹方程) ,该 法经常与参数法并用。 例 5:如右图,垂直于 x 轴的直线交双曲线
x a
2 2

y P

M x N

?

y b

2 2

? 1于M

、 N 两点, A1 , A 2 为双
A1 O A2

曲线的左、右顶点,求直线 A1 M 与 A 2 N 的 交点 P 的轨迹方程,并指出轨迹的形状.

四、归纳反思: 一、求轨迹方程的基本方法: (1) 定义法、(2)直接法、(3) 代入法、 (4) 参数法、(5)交轨法 二、求轨迹方程的注意事项: 1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中,发现 动点 P 的运动规律,即 P 点满足的等量关系,因此要学 会动中求静,变中求不变。 2.轨迹方程既可用普通方程 F ( x ,y ) ? 0 表示,又可用参 数方程 ?
? x ? f (t ) ? y ? g (t ) ( t 为参数 )

来表示,若要判断轨迹方程表

示何种曲线,则往往需将参数方程化为普通方程。 3. 求出轨迹方程后,应注意检验其是否符合题意,既要 检验是否增解, (即以该方程的某些解为坐标的点不在轨 迹上) ,又要检验是否丢解。 (即轨迹上的某些点未能用 所求的方程表示) ,出现增解则要舍去,出现丢解,则需 补充。检验方法:研究运动中的特殊情形或极端情形。 六、课后作业: 《课时作业》P283 1-7(必做) 8(选做)

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