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对数与对数运算


淮滨高中 2014—2015 学年上学期高一数学导学案(18) 对数与对数运算(1)
主编人:韩永涛 宋焱 复备人:全组人员 审核人:张明伟 任玉海 范文娟 使用时间:2014 年 10 月 16 日

一、课标要求与解读: 1.理解对数的概念,能说明对数与指数的关系; 2.掌握对数式与指数式的互化。 3.通过与指数式的比较,引出对数定义。 4. 学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力。 二、预习内容:与指数式的比较,学习对数定义 三、学习重、难点: 重点:对数的概念,对数式与指数式的互化。 难点:对数概念的理解。 四、知识链接: 思考: 在 2.1.2 的例 8 中,得到函数关系式 y ? 13?1.01x ,如果问“哪一年的人口数 要 达到 18 亿、20 亿、30 亿??” ,该如何解决? 即:

18 20 30 ? 1.01x , ? 1.01x , ? 1.01x , 在这些式子中, x 分别等于多少? 13 13 13
问题。

像上面的式子, 已知 和 的值, 求 , 这就是我们这节课所要学习的 五、学习过程: 问题 1、把上述问题一般化,你能概括出对数的定义吗? 1. 对数的定义: 一般地,若 a ? N( a ? 0,且 a ? 1),那么数
x

叫做以 a 为底 N 的

,记

作 ,其中, a 叫做对数的 ,N 叫做 。 特别地,将以 10 为底的对数叫做常用对数,并把 =2.71828 ?为底数的对数称为自然对数,并把 你能将上述人口问题中的时间用对数表示吗? 问题 2、 ,记作

, 记作 。

. 以无理数 e

在 指 数 式 a x ? N与 对 数 式 loga N ? x中 , a, x, N的 名 称 与 位 置 有 什 么 变 化 ?

对数与指数的关系:

当a ? 0, 且a ? 1时

?
例 1. 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: (1)5 =625
4

(2) 2

?6

?

1 64

(3) log 1 16 ? ?4
2

变式训练: 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: (1) ( ) ? 5.73
m

1 3

(2) lg 0.01 ? ?2

(3) ln10 ? 2.303

例2.

(1)是不是所有的实数都有对数?

(2) log a 1 ?
(3)loga a ?
变式训练 求下列式子的 X 值 C 例 2.求下列各式中 x 的值:

1 (1) log 64 x ? ? ; 3

(2)log x 2 ? 6

(3) lg1000 ? x

(4) ? ln e3 ? x

六、达标检测: 1.把下列指数式写成对数式: ⑴ 2 =8
3

⑵ 2 =32

5

1 ⑶2 = 2
?1

⑷ 27

?

1 3

?

1 3

2.把下列对数式写成指数式: (1) log3 9=2 ⑶ log2 ⑵ log5 125=3 ⑷ log3

1 =-2 4

1 =-4 81

3.求下列各式的值。 (1) log5 25 ⑷ lg 0.01 ⑵ log2

1 16

⑶ lg 100 ⑹ lg 0.0001

⑸ lg 10000

4.求下列各式的值。 (1) log15 15 ⑷ ⑵ log0.4 1 ⑸ log7 343 ⑶ log9 81 ⑹ log3 243

log2.5 6.25

七、收获与困惑

淮滨高中 2014—2015 学年上学期高一数学课时训练(9) 对数与对数运算(1)
主编人:韩永涛 宋焱复备人:全组人员 审核人:张明伟 任玉海 范文娟 使用时间:2014 年 10 月 17 日

1、以下四式中正确的是( A、log22=4 B、log21=1

) C、log216=4 ) C、 (2- 3 )° D、log2∣-1∣ D、log2

1 1 = 2 4

2、下列各式值为 0 的是( A、1
0

B、log33

3、计算下列 X 的值 (1)9-x-2× 31-x=27. (2) ( ) =128.

1 8

x

(3)5x+1= 3

x 2 ?1

.

4、求下列各式的值 ⑴ 2log28

⑵ 3log39

(3)lg10

-5

(4)lg0.01

(5)log2

1 8

(6)log

1 27

81

1 1 a b 5、设 2 =5 =m,且 + =2,则 m=________.

a b

淮滨高中 2014—2015 学年上学期高一数学导学案(19) 对数与对数运算(2)
主编人:韩永涛 宋焱复备人:全组人员 审核人:张明伟 任玉海 范文娟 使用时间:2014 年 10 月 18 日

一、课标要求与解读: 1.理解和掌握对数运算的性质; 2.掌握对数式与指数式的关系。 3.通过对数的运算法则的学习,培养学生的严谨的思维品质 4.在学习过程中培养学生探究的意识,体会数学的应用价值。 二、预习内容:学生阅读教材 64-67 页,自主推理、讨论和概括,从而更好地完成本节课的 教学目标。 三、学习重、难点: 重点:对数运算的性质与对数知识的应用。 难点:正确使用对数的运算性质。 四、知识链接: ㈠ ⑴、 1.082 ? 2 , x 的值可以表示为___________。
x

⑵、 4 ? 64 ,对数形式记作_______________。
3

3 ⑶、 8 ? 4 ,对数形式记作____________________。

2

⑷、 10

?2

? 0.01 ,对数形式记作__________________。

㈡对数的定义及对数恒等式:

loga N ? b ?
㈢指数的运算性质:

( a >0,且 a ≠1,N>0).

am ? an ? _______;
(a m ) n ? ________;

am ? an ? _______ ;
m

a n ? __________ 。

五、学习过程: 问题 1:我们知道,对数式可看作指数运算的逆运算,你能从指数与对数的关系以及指数 运算性质,得出相应的对数运算性质吗? 例如: a ? a ? a
m n m? n

, 设M ? am , N ? an ,于是 MN ? am?n , 由对数的定义得到

M ? am ? m ? loga M , N ? an ? n ? loga N
MN ? am?n ? m ? n ? loga MN
?loga M ? loga N ? loga MN
即:同底对数相加,底数不变,真数相乘。

问题 2:请根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质。 如果 a >0 且 a ≠1,M>0,N>0,那么: (1) loga MN ? loga M ? loga N (2) log a

M ? log a M ? log a N N

(3) loga M n ? n loga M

(n ? R)

问题 3: 1. 在上面的式子中,为什么要规定 a >0,且 a ≠1,M>0,N>0 呢?

2.你能用自己的语言分别表述出以上三个等式吗?

例 1.计算: ① lg 0.01; ⑤ log2 ②

log 2 (24 ? 3 4) ;

③ lg 2 ? lg 5 ;

④lg100

1/5

7 1 ? log2 12 ? log2 42 ? 1; 48 2

变式训练 计算 (1) (lg 2) ? lg 2 ? lg 50 ? lg 25 ;
2

(2) ㏒ ( 3 9 ? 3) ;
2 5

(3) log3

27 2 6 ? log3 ? log3 . 5 3 5

例 2. 用 ㏒a x , ㏒a y , ㏒a z 表示下列各式:
2 (1) ㏒( a x yz)

(2) ㏒ a

x2 yz

(3) ㏒ a

x y z
2

变式训练: lg5+lg2= ; log 35-log 315= ; lg 1 -lg25= 4 ;

log 2(log 216)=

.

六、达标检测: 1、判断下列式子是否正确, a >0 且 a ≠1, x >0 且 a ≠1, x >0, x > y , 则有 (1) loga x ? loga y ? loga ( x ? y) (2) loga x ? loga y ? loga ( x ? y) (3) log a ( ( ) )

x ? log a x ? log a y y





(5) (loga x)n ? n loga x (6) log a x ? ? log a (7) n log a x ?

( ( (

) ) )

1 x

1 log a x n

2.用 lg x,lg y,lg z 表示下列各式:判断是否正确 (1) loga xy ? loga x ? loga y (2) (loga x)n ? n loga x (3) log a x ? ? log a (4) n log a x ? ( ( ( ( ) ) ) )

1 x

1 log a x n

七、收获与困惑

淮滨高中 2014—2015 学年上学期高一数学课时训练(10) 对数与对数运算(2)
主编人:韩永涛 宋焱 复备人:全组人员 审核人:张明伟 任玉海 范文娟 使用时间:2014 年 10 月 20 日

求值 1、

2 lg 2 ? lg 2 ? lg 5 ?

?

?

2

?lg 2 ? ? lg 2 ? 1 ;
2

2、

lg 5(lg 8 ? lg 1000 ) ? lg 2

?

3

? ? lg 1 ? lg 0.06 6
2

2 2 3、设函数 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),若 f(x1x2?x2011)=8,则 f(x1 )+f(x2 2)+?+f(x2011)=(

)

A.4

B.8

C.16 D.2loga8 2 2 x 4、已知 x +y -4x-2y+5=0,则 logx(y )的值是( A.1 B.0 C.x D.y 5、 log2(x-1)+log2x=1 求 x

)

6、

lg2x+3lgx-4=0 求 x

淮滨高中 2014—2015 学年上学期高一数学导学案(20) 对数与对数运算(3)
主编人:韩永涛 宋焱 复备人:全组人员 审核人:张明伟 任玉海 范文娟 使用时间:2014 年 10 月 20 日

一、课标要求与解读: (1)在对数运算性质的基础上,利用指数式与对数式之间的关系探索发现换底公式; (2)能够利用换底公式进行对数的化简和运算。 (3)先从特殊的常用对数和自然对数入手,利用计算器进行对数的运算,从中发现对于 底数不是 10 或 e 为底的对数需要寻求办法把对数进行转换为常用对数或自然对数; (4)学会把未知的问题转化为已知的问题去思考解决。 二、预习内容:阅读教材中相应内容,然后观察、思考、探究 三、学习重、难点: 重点:对数的换底公式、利用对数的运算性质和换底公式进行化简计算。 难点:对数的换底公式。 四、知识链接: 如何求解 1.06 ? 2 中的 x ?
x

分析: 1.06 ? 2 ? x ? log1.06 2 ;
x

1.06x ? 2 ? log10 1.06x ? log10 2

?

x ? log10 1.06 ? log10 2

?x?

log10 2 ; log10 1.06

? log1.06 2 ?

log10 2 log10 1.06

a loga b = b

猜测: logb N ? 五、学习过程:

loga N loga b

( a ? 0 且 a ? 1, b ? 0 且 b ? 1, N ? 0 )

问题 1、模仿上面证明过程证明换底公式 logb N ?

loga N . loga b

特例: N ? a 时, logb a ?

loga a 1 ; ? loga b loga b

log a α bβ =

β log a b ;[来 α

a loga b = b

例 1、计算下列各式的值: ① log4 3 ? log9 32 ; ③ ② log16 27 log81 32 ;

1 1 ; ? log2 3 log13.5 3

变式训练 计算 (1)

lg 2 lg 5 ; ? log50 10 log5 10

(2) 3

log3 4

? 7log7

2



(3) 3

log9 4

? 5log5 2 .

例 2、已知 log3 2 ? a , log3 7 ? b ,试用 a 、 b 表示 log 4 7 .

变式训练: 已知 log8 a ? log4 b ? 5 ,且 log8 b ? log4 a ? 7 ,那么 log4
2 2

ab =______.

六、达标检测: 1.求值: ?log3 2 ? log9 2? ? ?log4 3 ? log8 3? =_________.
a 2. logc a ? logc =

.

3. log2 3 ? log3 4 ? log4 5 ? log5 2 = 1 3 = ,求 x. 8 2

.

4.设 log

x

5.若 a 、 b 是方程 2 lg 2 x ? lg x 4 ? 1 ? 0 的两个实根,求 lg(ab) ? ?loga b ? logb a? 的值。

七、收获与困惑

淮滨高中 2014—2015 学年上学期高一数学课时训练(11) 对数与对数运算(3)
主编人:韩永涛 宋焱 复备人:全组人员 审核人:张明伟 任玉海 范文娟 使用时间:2014 年 10 月 21 日

1.若 log18 9 ? a , 18b ? 5 ,则 log5 45 ? ________(用 a 、 b 表示)。

2.已知 log2 3 = a, log3 7 = b, 用 a, b 表示 log42 56

3.已知 x +y -4x-2y+5=0,求 logx y 的值。

2

2

x

4.设 x, y, z ? (0,??) 且 3 ? 4 ? 6
x y

z

; 求证 :

1 1 1 ? ? x 2y z



5.已知 loga x= loga c+b,求 x

1 α 1 β 2 6.已知方程 x +xlog26+log23=0 的两根为 α 和 β ,求( ) ·( ) 的值。 4 4


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