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直线与圆锥曲线的交点(2)


直线与圆锥曲线的交点(2)
时间:第 高二 周第 班 课时 组 编写人: 姓 名: 审核人: 组 评: 编写时间:2013 年 11 月 27 日 师评:

使用说明:把课本 87 至 89 页内容阅读一遍,完成导学案预习检测及部分合作探究题目 [自学目标]:会利用直线与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量,将交点问题(包括交点个 数、与交点坐标有关的问题)转化为一元二次方程根的问题,结合根与系数关系求直线与圆锥曲 线相交弦长、中点弦问题 知识梳理 弦长公式:设直线 l:y=kx+b,圆锥曲线:F(x,y)=0,它们的交点为 A (x1,y1),B(x2,y2),
2 2 则弦长 AB = ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y 2 ) = 1 ? k

2

x1 ? x 2 = 1 ?

1 y1 ? y 2 k2

预习检测 已知直线倾斜角为 45 ,且过椭圆
0

x2
5

+

y2
4

=1 的右焦点,直线交椭圆与 A,B 两点,弦长

AB ;上节课通过解方程组得到交点坐标,然后用两点间距离公式可以求的弦长 AB 。较
麻烦,用弦长公式可以吗?是多少?

合作交流 1、 +y =1 若直线 y=kx+1 与椭圆相交于不同的两点 M,N,且|MN|=2,求直线的斜率 3

x2

2

k.

2、在椭圆 x2+4y2=16 中,求通过点 M(2,1)且被这点平分的弦所在直线的方程和弦长.

3、已知抛物线 y ? ? x 与直线 y ? k ( x ? 1) 相交于 A、B 两点
2

1

(1)求证: OA ? OB (2)当 ?OAB 的面积等于 10 时,求 k 的值。

4、斜率为 1 的直线经过抛物线 x=

y2
4

的焦点与抛物线交与 P,Q 两点,求焦点弦长 PQ

方法总结: 直线与圆锥曲线位置关系的判断、 有关圆锥曲线弦长及弦中点问题, 一直是高考考查的 重点,热点,特别是焦点弦和中点弦等问题。解决问题的常用方法是用根与系数的关系及中 点公式,设而不求的方法处理、简化运算。希望同学们理解记住弦长公式,加强学习,真正 掌握设而不求这一思想方法!

? y 2 ? ?x 2 (1) 由方程组 ? 消去 x 后, 整理得 ky ? y ? k ? 0 。 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 设 ? y ? k ( x ? 1)
2

由 韦 达 定 理 得

y1 y 2 ? ?1

? A, B 在 抛 物 线 y 2 ? ? x 上 ,

2 2 ? y12 ? ? x1 , y 2 ? ? x2 , y12 ? y 2 ? x1 ? x2

? k OA ? k OB ?

y1 y 2 y1 ? y 2 1 ? ? ? ? ?1,? OA ? OB x1 x 2 x1 ? x 2 y1 ? y 2

(2) 解:设直线与 x 轴交于 N,又显然 k ? 0,?令 y ? 0, 则x ? ?1 ,即N(- , 1 0)

? S ?OAB ? S ?OAN ? S ?OBN ?
? S ?OAB ?

1 1 1 ON y1 ? ON y 2 ? ON y1 ? y 2 2 2 2

1 1 1 2 ? 1 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ? ( ) ?4 2 2 k 1 1 1 ? 4 , 解得k ? ? 2 2 k 6

? S ?OAB ? 10 ,? 10 ?

已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在坐标轴上,直线 y=x+1 与该椭圆交于 P 和 Q,且 10 OP⊥OQ,|PQ|= ,求椭圆方程. 2

3


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