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高三一轮总复习理科数学新课标第3章-第4节


高三一轮总复习数学· 新课标(理科)

自 主 落 实 · 固 基 础

第四节
函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的应用
考纲传真 1.了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义; 能画

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/>
出函数 y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数 A,ω,φ 对函数图 象变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单的实际问题,体 会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
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1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念 y=Asin(ωx+φ) 振幅 周期 频率 相位 初相

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(A>0,ω>0, x≥0),表示一个 振动量时 A

ω 2π T= ω f=1 = 2π ωx+φ T

φ

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2.用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找 五个关键点,如下表所示 x

π 3 φ -φ 2 π-φ 2π-φ 2π-φ - ω ω ω ω ω
0 0

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ωx+φ y=Asin(ωx+φ)

π 2
A

π 0

3π 2
-A

2π 0
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3.由 y=sin x 的图象变换得到 y=A sin(ωx+φ)(其中 A>0,
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ω>0)的图象 (1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移

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1.(固基升华)判断下列结论的正误.(正确的打“√”, 错误的打“×”) (1)作函数
? π? y=sin?x- ?在一个周期内的图象时, 确定的五 6? ?

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?π ? ?3π ? 点是(0,0),?2,1?,(π,0),? 2 ,-1?,(2π,0)这五个点( ? ? ? ?

)
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(2)利用图象变换作图时“先平移, 后伸缩”与“先伸缩, 后平移”中平移的单位长度一致( )





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π (3)将 y=3sin 2x 的图象左移 个单位后所得图象的解析 4 式是
? π? y=3sin?2x+4? ? ? ? x π? 4 π y=2sin? - ?的频率为 ,初相为 ( π 4 ? 2 4?

(4)函数

)

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【解析】 由图象变换和“五点作图”法知(1)、(2)、(3)
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均不正确.
? x π? 1 1 π (4)y=2sin?2-4?的频率为 =4π,初相为-4. T ? ?
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【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×
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π 2.(人教 A 版教材习题改编)已知简谐运动 f(x)=2sin( x 3
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π +φ)(|φ |< )的图象经过点(0,1), 则该简谐运动的最小正周期 T 2 和初相 φ 分别为( π A.T=6,φ= 6 ) π B.T=6,φ= 3

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π π C.T=6π,φ=6 D.T=6π,φ=3 1 【解析】 由题意知 f(0)=2sin φ=1,∴sin φ= , 2
π π 又|φ |< ,∴φ= ,又 T=6,故选 A. 2 6 【答案】 A
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3. 要得到函数 y=cos(2x+1)的图象, 只要将函数 y=cos 2x 的图象( ) B.向右平移 1 个单位

A.向左平移 1 个单位 1 C.向左平移2个单位

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1 D.向右平移2个单位 1 【解析】 ∵y=cos(2x+1)=cos 2(x+ ), 2
1 ∴只要将函数 y=cos 2x 的图象向左平移 个单位. 2
【答案】 C

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π 4. 已知函数 y=Asin(ωx+φ)(ω>0, |φ |< )的部分图象如 2
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图 3-4-1 所示,则 φ=________.

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图 3-4-1? 7 π? 【解析】 由图象知 A=1,T=4? π- ?=π,∴ω=2, 12 3
? ?

π π π 再由 2× +φ= ,得 φ=- . 3 2 6 π 【答案】 - 6
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5.(2013· 课标全国卷Ⅱ)函数 y=cos(2 x+φ)(-π≤φ<π)
? π π? 的图象向右平移 个单位后,与函数 y=sin ?2x+ ? 的图象重 2 3? ?

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合,则 φ=________.
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【解析】

π y=cos(2x+φ)的图象向右平移 个单位得到 y 2 y=cos(2x-π+φ).

? ? ? π? =cos?2?x-2?+φ?的图象,得 ? ? ? ?

∵其图象与
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? π? y= sin?2x+ ?的图象重合, 3? ?

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π π π π ∴φ-π= - +2kπ,∴φ= +π- +2kπ, 3 2 3 2 5π 5π 即 φ= +2kπ.又∵-π≤φ<π,∴φ= . 6 6 5π 【答案】 6
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考向 1 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 【例 1】 (1)(2013· 山东高考)将函数 y=sin(2x+φ)的图 π 象沿 x 轴向左平移8个单位后,得到一个偶函数的图象,则 φ 的一个可能取值为( ) C.0 π D.- 4 3π A. 4 π B. 4

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(2)已知函数

? π? f(x)=sin?2x+ ?. 3? ?

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①求函数 y=f(x)的单调递增区间; ②画出函数 y=f(x)在区间[0,π]上的图象.
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【思路点拨】 (1)写出平移后函数的解析式,利用奇偶
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性求 φ;(2)列出 x∈[0,π]上的影响 y=f(x)图象关键点,作出 简图. 【尝试 解答】
? ? π sin?2x+ +φ?, 4 ? ?

(1) 平移 后函数

? ? ? π? y = sin ?2?x+8?+φ? = ? ? ? ?

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又函数

? ? π y=sin?2x+4+φ?为偶函数, ? ?
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π π π ∴4+φ=kπ+2,φ=kπ+4 (k∈Z). π 取 k=0,有 φ=4,选 B.
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【答案】

B

π π π (2)①由 2kπ-2≤2x+3≤2kπ+2(k∈Z), 5π π 得 kπ-12 ≤x≤kπ+12(k∈Z),
? 5π π? ∴所求单调增区间为?kπ-12 ,kπ+12?(k∈Z). ? ?

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π π 7π ②∵0≤x≤π,∴ ≤2x+ ≤ .列表如下: 3 3 3
π 2x+ 3 x y π 3 0 3 2 π 2 π 3π 2 7π 12 2π 5π 6 0 7π 3 π 3 2

π π 12 3 1

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0 -1

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画出图象如图所示.
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规律方法 1 1.变换法作图象的关键是看 x 轴上是先平移 后伸缩还是先伸缩后平移,对于后者可利用 确定平移单位. 2.用“五点法”作图,关键是通过变量代换,设 z=ωx
? φ? ωx+φ=ω?x+ ? ω? ?

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π 3 +φ,由 z 取 0,2,π,2π,2π 来求出相应的 x,通过列表, 描点得出图象.如果在限定的区间内作图象,还应注意端点 的确定.

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变式训练 1
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已知函数 f(x)=cos2x-2sin xcos x-sin2x.
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(1)如何由 y= 2sin x 的图象,得到 y=f(x)的图象. (2)用“五点法”在给定的坐标系中,作出函数 f(x)在[0, π]上的图象. ? 2 ? 2 ? 【解】 f(x)=cos 2x-sin 2x= 2? cos 2x- sin 2 x? ? 2 ? 2 ? ? ? π? 3π? = 2cos?2x+ ?= 2sin?2x+ ?, 4? 4? ? ?

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3π (1)将 y= 2sin x 的图象向左平移 4 个单位,得 y= 2
? 3π? 1 sin?x+ ?的图象; 再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的 4? 2 ?

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倍(纵坐标不变),得 y=f(x)的图象.
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(2)列表:
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3π 2x+ 4 x f(x)

3π π 4 0 1 π 8

3π 2 3π 8

2π 5π 8 0

5π 2 7π 8 2

11π 4 π 1

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0 - 2

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作出函数 y=f(x)的图象如图所示:
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考向 2

求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式.

【例 2】 (2014· 深圳模拟)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω, φ 为常数, A >0 , ω>0)的部分图象如图 3-4-2 所示, 则 f(0) 的值是________.

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图 3-4-2





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【思路点拨】

观察函数 f(x)的图象特征,可求 A、T,

根据图象过定点可求 φ,最后求 f(0).

T 7π π π 【尝试解答】 由图象知 A= 2, = - = ,T=π, 4 12 3 4 2π 又 T= ,∴ω=2, ω

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根据函数图象的对应关系, π 得 2× +φ=2kπ+π, 3 π π ∴φ=2kπ+3,k∈Z.令 k=0,取 φ= 3.
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∴函数解析式为 f(x)= π 6 ∴f(0)= 2sin 3= 2 .

? π? 2sin?2x+ ?, 3? ?

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【答案】

6 2

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规律方法 2 1.本题求 f(0)的关键是求参数“φ”值,常 用方法有:(1)代入法,(2)“五点法”. 2. 用五点法求 φ 值时, 往往以寻找“五点法”中的峰(谷) 点或第一个点为突破口.“第一点”(即图象上升时与 x 轴的 交点)时 ωx+φ=0.“第二点”(即图象的“峰点”)时,ωx+φ

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π =2;“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)时 ωx+φ=π; 3π “第四点”(即图象的“谷点”)时 ωx+φ= ; “第五点”时 2 ωx+φ=2π.
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π 变式训练 2 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, |φ |< , ω>0) 2 的图象的一部分如图 3-4-3 所示.

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图 3-4-3 (1)求 f(x)的表达式; (2)试求曲线 y=f(x)的对称轴方程.

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【解】 (1)由图象知 A=2,f(0)=1, 1 ∴2sin φ=1,sin φ= , 2 π 又|φ |< ,且点(0,1)处在上升波段上, 2 π ∴φ= , 6 ?11π? 又 f? 12 ?=0,从而代入可知 ω=2. ? ? ? π? 因此 f(x)=2sin?2x+6?. ? ? π π (2)由(1),令 2x+6=kπ+2 ,k∈Z. kπ π ∴x= + (k∈Z). 2 6
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考向 3

函数 y=Asin(ωx+φ)图象与性质的综合应用

3 【例 3】 (2013· 山东高考)设函数 f(x)= - 3sin2ωx- 2 sin ωxcos ωx(ω>0),且 y=f(x)图象的一个对称中心到最近的 π 对称轴的距离为 . 4 (1)求 ω 的值; (2)求
? 3π? f(x)在区间?π, ?上的最大值和最小值. 2? ?

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【思路点拨】
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第一问先利用倍角公式化为 y= Asin(ωx
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+φ)的形式,再利用图象研究周期关系,从而确定 ω.第二问 π 在限制条件下求最值, 需要利用不等式的性质求出 2x-3的范 围,再进行求解.

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3 【尝试解答】 (1)f(x)= 2 - 3sin2ωx-sin ωxcos ωx 1-cos 2ωx 1 3 = 2 - 3· -2sin 2ωx 2 3 1 = 2 cos 2ωx- 2sin 2ωx ? π? =-sin?2ωx-3?. ? ?
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π 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 , 4 2π π 又 ω>0,所以 =4× . 4 2ω 因此 ω=1. ? π? (2)由(1)知 f(x)=-sin?2x- ?. 3? ? 3π 5π π 8π 当 π≤x≤ 2 时, 3 ≤2x- 3≤ 3 . ? 3 π? 所以- ≤ sin?2x- ?≤1. 2 3? ? 3 则-1≤f(x)≤ . 2 ? 3π? 3 ? ? 故 f(x)在区间 π, 2 上的最大值和最小值分别为 2 ,- ? ?

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1.
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规律方法 3

1.(1)利用倍角公式化简函数解析式时易出
? 3π? f(x)在?π, 2 ?上单调 ? ?

现符号错误;(2)第(2)问中,易盲目认为 错求最值.

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2.求 y=Asin(ωx+φ)的单调区间或最值要先化 ω 为正, 然后把“ωx+φ”整体看成一个变量,代入相应单调区间求 解.
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变式训练 3 设函数 f(x)= 3cos2ωx+ sin ωx cos ωx+ π a(0<ω<1 ,a ∈ R) , f(x) 的图象向左平移 4 个单位后得到函数 g(x),若 g(x)的图象关于 y 轴对称,解答以下问题:

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(1)求 ω 的值. (2)如果
?3π 5π? f(x)在区间? 4 , 4 ?上的最小值为 ? ?

3,求 a 的值.

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【解】
? π? sin?2ωx+ ?+ 3? ?

3 1 (1)f(x) = 2 (1 + cos 2ωx) + 2 sin 2ωx + a = 3 +a. 2
? π ωπ? g(x)=sin?2ωx+ + ?+ 3 2? ?

依题意得

3 +a, 2

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又 g(x)的图象关于 y 轴对称.
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π ωπ π ∴ + =kπ+ ,k∈Z. 3 2 2 又 0<ω<1, 1 ∴ω= (取 k=0). 3
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(2)由(1)知

?2 π? f(x)=sin? x+ ?+ 3? ?3

3 +a, 2

3π 5π 5π 2 π 7π ∵ ≤x≤ ,则 ≤ x+ ≤ , 4 4 6 3 3 6 2 π 7π 5π ∴当3x+3= 6 ,即 x= 4 时, 3-1 3+1 f(x)有最小值 +a= 3,故 a= . 2 2

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考向 4 三角函数模型的简单应用 【例 4】 如图 3-4-4 为一个缆车示意图,该缆车半 径为 4.8 m,圆上最低点与地面距离为 0.8 m,60 秒转动一圈, 图中 OA 与地面垂直, 以 OA 为始边, 逆时针转动 θ 角到 OB, 设 B 点与地面间的距离为 h.

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图 3-4-4
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(1)求 h 与 θ 间关系的函数解析式; (2)设从 OA 开始转动,经过 t 秒后到达 OB,求 h 与 t 之 间的函数关系式,并求缆车到达最高点时用的最少时间是多 少?

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【思路点拨】 (1)以 O 为坐标原点建系,可求得 B 点坐 标,再利用 h=r+0.8+yB 求得 h 与 θ 的函数关系式;(2)由 t 表示 θ,代入(1)得 h 与 t 的关系式,再令 h 最大来求 t.
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【尝试解答】 (1)以圆心 O 为原点,建立如图所示直角 π 坐标系,则以 Ox 为始边,OB 为终边的角为 θ-2. 故点 B 的坐标为
? ? π? π? 4.8cos?θ- ?,4.8sin?θ- ?, 2? 2? ? ?

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? π? ∴h=5.6+4.8sin?θ-2?. ? ?

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π (2)点 A 在圆上转动的角速度是 , 30 π 故 t 秒转过的弧度数为30t,
?π π? ∴h=5.6+4.8sin? t- ?,t∈[0,+∞). 2? ?30

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到达最高点时,h=10.4 m. 由
?π π? sin?30t-2?=1 ? ?

π π π 且用时最少得 30t-2=2,

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∴t=30,∴缆车到达最高点时,用的时间最少为 30 秒.





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规律方法 4

1.三角函数模型在实际中的应用体现在两

个方 面:一是用已知的模型去分析解决实际问题,二是把实 际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型解决问题, 其关键是合理建模.

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2.建模的方法是,认真审题,把问题提供的“条件”逐 条地“翻译”成“数学语言”,这个过程就是数学建模的过 程.
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变式训练 4 以一年为一个周期调查某商品出厂价格及 该商品在商店的销售价格时发现:该商品的出厂价格是在 6 元基础上按月份随正弦曲线波动的,已知 3 月份出厂价格最 高为 8 元,7 月份出厂价格最低为 4 元,而该商品在商店的

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销售价格是在 8 元基础上按月份随正弦曲线波动的,并且已 知 5 月份销售价最高为 10 元,9 月份销售价最低为 6 元,假 设某商店每月购进这种商品 m 件,且当月售完,请估计哪个 月盈利最大?并说明理由.
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【解】 6 月份盈利最大,由条件可得:出厂价格 y1 与 月份 x 的函数关系式为 Z),
?π π? y1=2sin?4x-4?+6(1≤x≤12 ? ?

且 x∈

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销售价格 y2 与月份 x 的函数关系式为
?π 3π? y2=2sin?4x- 4 ?+8(1≤x≤12 ? ?

且 x∈Z),

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则利润函数关系式为 y=m(y2-y1)
? ?π ?π ? 3π? π? =m?2sin ?4 x- 4 ?+8-2sin?4x-4?-6? ? ? ? ? ? ? ? =m?2-2 ?

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π ? 2sin 4x?(1≤x≤12 且 x∈Z), ?
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所以,当 x=6 时,ymax=(2+2 2)m. 故 6 月份该商店盈利最大.





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一种方法 在由图象求三角函数解析式时,若最大值为 M,最小 M -m M+m 2π 值为 m,则 A= 2 ,b= 2 ;ω 由周期 T 确定,即由 ω =T 求出;φ 由特殊点确定,关键是确定“第一个零点”. 一个区别 由 y= sin x 的图象变换到 y=A sin(ωx+φ)的图象, 先相 位变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ |个单位;而先周 |φ | 期变换 ( 伸缩变换 ) 再相位变换,平移的量是 (ω > 0) 个单 ω 位.原因是相位变换和周期变换都是针对 x 而言的.
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三点提醒 1. 要弄清楚是平移哪个函数的图象,得到哪个函数的 图象. 2. 要注意平移前后两个函数的名称是否一致, 若不一致,

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应先利用诱导公式化为同名函数. 3.“五点法”作函数简图,一定注意定义域的限制.
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从近两年的高考试题来看,函数 y=A sin(ωx+φ)图象的 平移和伸缩变换以及根据图象确定 A、ω、φ 的问题是高考的

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热点,题型多样,难度中低档.主要考查识图、用图能力; 同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力,以及函数 与方程、数形结合等数学思想.
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高三一轮总复习数学· 新课标(理科)

规范解答之四 以向量为载体的正弦型函数的性质
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1 (12 分)(2013· 陕西高考)已知向量 a=cos x,-2,b =( 3sin x,cos 2x),x∈R,设函数 f(x)=a· b. (1)求 f(x)的最小正周期;
? π? (2)求 f(x)在?0, 2?上的最大值和最小值. ? ? ? 1? 【规范解答】 f(x)=?cos x,-2?· ( 3sin x,cos 2 x) ? ?

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1 3 1 = 3cos xsin x-2cos 2x= 2 sin 2x-2cos 2x
? π π π? =cos 6· sin 2x-sin6· cos 2x=sin?2x-6?.4 分 ? ?
菜 单

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2π 2π (1)f(x)的最小正周期为 T= = =π, ω 2 即函数 f(x)的最小正周期为 π.6 分 π π π 5π (2)∵0≤x≤2,∴-6≤2x-6≤ 6 .8 分 由正弦函数的图象性质,

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π π π 当 2x-6=2 ,即 x=3时,f(x)取得最大值 1; π π 1 当 2x-6=-6 ,即 x=0 时,f(x)取得最小值-2.
? π? 因此,f(x)在?0,2 ?上的最大值是 ? ?
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1 1,最小值是- 2.12 分

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【解题程序】 第一步:利用数量积与三角变换求 f(x); 第二步:根据周期公式求最小正周期; π 第三步:由 x 范围,计算 2x-6的范围.

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第四步:依据正弦函数的性质求 f(x)的最值. 第五步:反思回顾,查看关键点、易错点,规范步骤.
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易错提示:(1)记错数量积的定义,或弄错三角变换公式 导致错求 f(x)的解析式. (2)误以为
? π? f(x)在?0, ?上单调,求错 2? ?

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f(x)的最值.

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防范措施:(1)熟记基本概念与三角变换公式,平时加强 基本训练,善于类比,提高技能. (2)求 y=Asin(ωx+φ)的最值问题,应先根据 x 的范围, 确定 ωx+φ 的范围, 再数形结合, 根据正弦函数性质求最值.
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1. (2013· 大纲全国卷)若函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分 图象如图 3-4-5,则 ω=( )

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图 3-4-5 A.5 B.4 C.3 D.2

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【解析】 根据图象确定函数的最小正周期,再利用 T 2π = 求 ω. ω T ? π? 设函数的最小正周期为 T,由函数图象可知 =?x0+ ?- 2 ? 4?

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π π 2π x0= ,所以 T= .又因为 T= ,可解得 ω=4. 4 2 ω
【答案】 B

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2.(2013· 江西高考)设 f(x)= 3sin 3x+cos 3x,若对任意 实数 x 都有|f(x)|≤a,则实数 a 的取值范围是________.
【解析】 由于 f(x)= 3sin 3x+cos 3x=
? ? ? π?? π? 2sin?3x+ ?,则|f(x)|=2?sin?3x+6??≤2,要使|f(x)|≤a 6? ? ? ?? ?

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成立,则 a≥2.
【答案】 [2,+∞)





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课时作业(二十)

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