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高中数学人教A版选修2-2同步课时作业:2.1.1 Word版含解析


第二章
一、选择题(每小题 5 分,共 20 分)

2.1

2.1.1

1.右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨 图中的数构成的规律,a 所表示的数是( A.2 C.6 ) B.4 D.8

辉三角形, 根据

解析: 由杨辉三角形可以发现:每一行除 1 外,每个数都是它肩膀上的两数之和.故 a=3+3=6. 答案: C 2.根据给出的数塔猜测 1 234 567×9+8=( 1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1 111 1 234×9+5=11 111 12 345×9+6=111 111 A.11 111 110 C.11 111 112 B.11 111 111 D.11 111 113 )

解析: 根据数塔的规律,后面加几结果就是几个 1, ∴1 234 567×9+8=11 111 111. 答案: B 3. 已知{bn}为等比数列, b5=2, 则 b1b2b3?b9=29.若{an}为等差数列, a5=2, 则{an}的类似结论为( A.a1a2a3?a9=29 C.a1a2?a9=2×9 B.a1+a2+?+a9=29 D.a1+a2+?+a9=2×9 )

解析: 由等差数列性质,有 a1+a9=a2+a8=?=2a5.易知 D 成立. 答案: D 4.对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是“正四面体内任意一点到 各面的距离之和为”( A.定值 B.变数 C.有时为定值、有时为变数 D.与正四面体无关的常数 解析: 设正四面体 S-ABC 的棱长为 a,正四面体内任意一点 O 到各面的距离分别为 h1,h2,h3,h4, 1 3 1 3 6 由体积关系得 VS-ABC= · a2· (h1+h2+h3+h4)= · a2· a 3 4 3 4 3 )

∴h1+h2+h3+h4= 答案: A

6 a(此为正四面体的高). 3

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 1 5.已知 Rt△ABC 的两条直角边长分别为 a,b,则其面积 S= ab.若三棱锥 P-ABC 的三条侧棱两两互 2 相垂直,且 PA=a,PB=b,PC=c,类比上述结论可得此三棱锥的体积 VP-ABC 等于__________ 1 1 解析: V= Sc= abc. 3 6 答案: 1 abc 6 .

6.给出下列推理: (1)三角形的内角和为(3-2)· 180° , 四边形的内角和为(4-2)· 180° , 五边形的内角和为(5-2)· 180° , ? 所以凸 n 边形的内角和为(n-2)· 180° ; (2)三角函数都是周期函数,y=tan x 是三角函数,所以 y=tan x 是周期函数; (3)狗是有骨骼的;鸟是有骨骼的;鱼是有骨骼的;蛇是有骨骼的;青蛙是有骨骼的;狗、鸟、鱼、蛇 和青蛙都是动物,所以,所有的动物都是有骨骼的; (4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线,则这两条直线互相平行,那么在空间中如果两个平 面同时垂直于第三个平面,则这两个平面互相平行. 其中属于合情推理的是________.(填序号) 解析: 根据合情推理的定义来判断.因为(1)(3)都是归纳推理,(4)是类比推理,而(2)不符合合情推理 的定义,所以(1)(3)(4)都是合情推理. 答案: (1)(3)(4) 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.在平面内观察:凸四边形有 2 条对角线,凸五边形有 5 条对角线,凸六边形有 9 条对角线;?,由 此猜想凸 n 边形有几条对角线? 解析: 因为凸四边形有 2 条对角线,凸五边形有 5 条对角线,比凸四边形多 3 条;凸六边形有 9 条 对角线,比凸五边形多 4 条;?,于是猜想凸 n 边形的对角线条数比凸(n-1)边形多(n-2)条对角线,由此 1 凸 n 边形的对角线条数为 2+3+4+5+?+(n-2),由等差数列求和公式可得 n(n-3)(n≥4,n∈N*). 2 1 所以凸 n 边形的对角线条数为 n(n-3)(n≥4,n∈N*). 2 8.从大、小正方形的数量关系上,观察如图所示的几何图形,试归纳得出的结论.

解析: 从大、小正方形的数量关系上容易发现: 1=12, 1+3=2×2=22, 1+3+5=3×3=32, 1+3+5+7=4×4=42, 1+3+5+7+9=5×5=52, 1+3+5+7+9+11=6×6=62. 观察上述算式的结构特征,我们可以猜想: 1+3+5+7+?+(2n-1)=n2. ? 尖子生题库 ? ?☆☆☆

1 1 1 (10 分)已知在 Rt △ABC 中,AB⊥AC,AD⊥BC 于 D,有 2= 2+ 2成立.那么在四面体 A-BCD AD AB AC 中,类比上述结论,你能得到 怎样的猜想,并说明猜想是否正确及理由. 解析: 猜想:类比 AB⊥AC,AD⊥BC,可以猜想四面体 A-BCD 中,AB,AC,AD 两两垂直,AE 1 1 1 1 ⊥平面 BCD.则 2= 2+ 2+ 2.猜想正确. AE AB AC AD

如图所示,连接 BE,并延长交 CD 于 F,连接 AF. ∵AB⊥AC,AB⊥AD, ∴AB⊥平面 ACD.而 AF?平面 ACD, ∴AB⊥AF. 在 Rt △ABF 中,AE⊥BF, ∴ 1 1 1 = + . AE2 AB2 AF2

在 Rt △ACD 中,AF⊥CD, ∴ 1 1 1 = + . AF2 AC2 AD2



1 1 1 1 = + + ,故猜想正确. AE2 AB2 AC2 AD2


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