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八种经典线性规划例题(2011年7月29日更新)


线性规划常见题型及解法
由 已 知 条 件 写 出 约 束 条 件 ,并 作 出 可 行 域 ,进 而 通 过 平 移 直 线 在 可 行 域 内 求 线 性 目标函数的最优解是最常见的题型,除此之外,还有以下六类常见题型。

一、求线性目标函数的取值范围
?x ? 2 ? 例 1、 若 x、 y 满 足 约 束 条 件 ? y ? 2 ,

则 z=x+2y 的 取 值 范 围 是 ?x ? y ? 2 ?





A、 [2,6]

B、 [2,5]

C、 [3,6]

D、 3,5] (

y 2

B A

y =2 x x + y =2

O

2 x=2

解 : 如 图 , 作 出 可 行 域 , 作 直 线 l: x+2y= 0, 将

l 向 右 上 方 平 移 , 过 点 A( 2,0) 时 , 有 最 小 值
2, 过 点 B( 2,2) 时 , 有 最 大 值 6, 故 选 A

二、求可行域的面积
?2x ? y ? 6 ? 0 ? 例 2、不 等 式 组 ? x ? y ? 3 ? 0 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 为 ?y ? 2 ?





y

A、 4

B、 1

C、 5

D、 无 穷 大

x+y – 3 = 0 B M A O
解 : 如 图 , 作 出 可 行 域 , △ABC 的 面 积 即 为 所 求 , 由 梯 形 OMBC 的 面 积 减 去 梯 形 O MA C 的 面 积 即 可 , 选 B

y =2

C x 2x + y – 6= 0 =5

1

三、求可行域中整点个数
例 3、 满 足 |x|+ |y|≤2 的 点 ( x, y) 中 整 点 ( 横 纵 坐 标 都 是 整 数 ) 有 ( A、 9 个 B、 10 个 C、 13 个 D、 14 个 )

?x ? y ? 2 ? ?x ? y ? 2 解 : |x|+ |y|≤2 等 价 于 ? ?? x ? y ? 2 ?? x ? y ? 2 ?

( x ? 0, y ? 0 ) ( x ? 0, y ? 0 ) ( x ? 0, y ? 0 ) ( x ? 0, y ? 0 )

y

作出可行域如右图,是正方形内部(包括边界) 容易得到整 , 点 个 数 为 13 个 , 选 D

O

x

四、求线性目标函数中参数的取值范围
?x ? y ? 5 ? 例 4 、已 知 x 、y 满 足 以 下 约 束 条 件 ? x ? y ? 5 ? 0 ,使 z =x + a y ( a > 0 ) ?x ? 3 ?

y x+y=5

x–y+5=0

取得最小值的最优解有无数个,则 a 的值为 A、 - 3 B、 3 C、 - 1 D、 1





O

x=3 x

解 : 如 图 , 作 出 可 行 域 , 作 直 线 l: x+ay= 0, 要 使 目 标 函 数 z=x+ay(a>0)取 得 最 小 值 的 最 优 解 有 无 数 个 , 则 将 l 向 右 上 方 平 移 后 与 直 线 x+y= 5 重 合 , 故 a=1, 选 D
2

五、求非线性目标函数的最值
?2x ? y ? 2 ? 0 ? 例 5 、 已 知 x 、y 满 足 以 下 约 束 条 件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?

,则 z=x2+y2 的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 是(



A、 13, 1 C、 13,
4 5

B、 13, 2 D、
13 ,
2 5 5

y A

O x – 2y + 4 = 0 3x – y – 3 = 0

x 2x + y - 2= 0 =5

解 : 如 图 , 作 出 可 行 域 , x 2 + y 2 是 点 ( x , y ) 到 原 点 的 距 离 的 平 方 , 故 最 大 值 为 点 A( 2 , 3 ) 到 原 点 的 距 离 的 平 方 ,即 | A O | 2 = 1 3 ,最 小 值 为 原 点 到 直 线 2 x + y - 2 = 0 的 距 离 的 平 方 ,即 为
4 5

,选 C

六、求约束条件中参数的取值范围
例 6、 已 知 |2x- y+ m|< 3 表 示 的 平 面 区 域 包 含 点 ( 0 , 0 )和( -

y
1,1) 则 m 的 取 值 范 围 是 , A、 -3,6) ( B、 0,6) ( ( ) D、 -3,3) (

2x – y + 3 = 0 2x – y = 0

C、 0,3) (

O

解 : |2x- y+ m|< 3 等 价 于 ?
?m ? 3 ? 3 ?m ? 3 ? 0

?2x ? y ? m ? 3 ? 0 ?2x ? y ? m ? 3 ? 0

由右图可知 ?

, 故 0 < m< 3 , 选 C

七·比值问题
当目标函数形如 z ?
y?a x?b

时,可把 z 看作是动点 P ( x , y ) 与定点 Q ( b , a ) 连线的斜率, 这样目标函数的最值就转化

为 PQ 连线斜率的最值。

3



?x-y+2≤0, y 已知变量 x,y 满足约束条件?x≥1, 则 的取值范围是( x ?x+y-7≤0,
9 (B) (-∞, ]∪[6,+∞) 5 (D)[3,6]

).

9 (A)[ ,6] 5 (C) (-∞,3]∪[6,+∞)

解析

y x

是可行域内的点 M(x,y)与原点 O

5 9 y (0,0)连线的斜率,当直线 OM 过点( , )时, 取得 2 2 x 9 y 最小值 ;当直线 OM 过点(1,6)时, 取得最大值 6. 答案 A 5 x

4


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