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2.1 对数与对数运算 第1 2 3课时


2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算 整体设计 教学分析 我们在前面的学习过程中 ,已了解了指数函数的概念和性质,它是后续学习的基础 ,从本节开 始我们学习对数及其运算 .使学生认识引进对数的必要性,理解对数的概念及其运算性质 ,了 解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数 ,通过阅读材料 ,了 解对数的发现历史及其对简化运算的作用. 教材注重从现

实生活的事例中引出对数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质 和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系 一些熟悉的事例,以丰富教学的情景创设.教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能 ,教材安排了 “阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.根据本节内容的特 点,教学中要注意发挥信息技术的力量 ,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用 , 尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持. 三维目标 1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系 ;理解和掌握对数的性质 ;掌握对数式与指数式的 关系;通过实例推导对数的运算性质,准确地运用对数运算性质进行运算,并掌握化简求值的 技能;运用对数运算性质解决有关问题.培养学生分析、 综合解决问题的能力;培养学生数学应 用的意识和科学分析问题的精神和态度. 2.通过与指数式的比较,引出对数的定义与性质;让学生经历并推理出对数的运算性质;让学 生归纳整理本节所学的知识. 3.学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力;通过对数的运算法则 的学习,培养学生的严谨的思维品质;在学习过程中培养学生探究的意识;让学生感受对数 运算性质的重要性,增加学生的成功感,增强学习的积极性. 重点难点 教学重点:对数式与指数式的互化及对数的性质,对数运算的性质与对数知识的应用. 教学难点:对数概念的理解,对数运算性质的推导及应用. 课时安排 3 课时 教学过程 第 1 课时 对数与对数运算(1) 导入新课 思路 1.1.庄子:一尺之棰,日取其半,万世不竭.(1)取 4 次,还有多长?(2)取多少次,还有 0.125 尺? 2.假设 2002 年我国国民生产总值为 a 亿元,如果每年平均增长 8%,那么经过多少年国民生产 总值是 2002 年的 2 倍?

1 4 1 ) =?( )x=0.125 ? x=? 2 2 x 2.(1+8%) =2 ? x=? 都是已知底数和幂的值 ,求指数.你能看得出来吗?怎样求呢?像上面的
抽象出:1.( 式子,已知底数和幂的值,求指数,这就是我们这节课所要学习的对数 〔引出对数的概念,教师板 书课题:对数与对数运算(1)〕. 思路 2.我们前面学习了指数函数及其性质,同时也会利用性质解决问题,但仅仅有指数函数还 不够,为了解决某些实际问题,还要学习对数函数,为此我们先学习对数 〔引出对数的概念,教师 板书课题:对数与对数运算(1)〕.

推进新课 新知探究 提出问题 (对于课本 P572.1.2 的例 8) ①利用计算机作出函数 y=13× 1.01x 的图象. ②从图象上看,哪一年的人口数要达到 18 亿、20 亿、30 亿…? ③如果不利用图象该如何解决,说出你的见解? 即

18 20 30 =1.01x, =1.01x, =1.01x,在这几个式子中,x 分别等于多少? 13 13 13

④你能否给出一个一般性的结论? 活动:学生讨论并作图,教师适时提示、点拨. 对问题①,回忆计算机作函数图象的方法,抓住关键点. 对问题②,图象类似于人的照片,从照片上能看出人的特点,当然从函数图象上就能看出函数 的某些点的坐标. 对问题③,定义一种新的运算. 对问题④,借助③,类比到一般的情形. 讨论结果:①如图 2-2-1-1.

图 2-2-1-1 ②在所作的图象上,取点 P,测出点 P 的坐标,移动点 P,使其纵坐标分别接近 18,20,30,观察这时 的横坐标,大约分别为 32.72,43.29,84.04,这就是说,如果保持年增长率为 1 个百分点,那么大约 经过 33 年,43 年,84 年,我国人口分别约为 18 亿,20 亿,30 亿.

18 20 30 =1.01x, =1.01x, =1.01x,在这几个式子中,要求 x 分别等于多少,目前我们没学这种 13 13 13 18 18 运算,可以定义一种新运算,即若 =1.01x,则 x 称作以 1.01 为底的 的对数.其他的可类似得 13 13
③ 到,这种运算叫做对数运算. ④一般性的结论就是对数的定义: 一般地,如果 a(a>0,a≠1)的 x 次幂等于 N,就是 ax=N,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数(logarithm), 记作 x=logaN,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 有了对数的定义,前面问题的 x 就可表示了: x=log1.01

18 20 30 ,x=log1.01 ,x=log1.01 . 13 13 13
a N 幂 真数
1

由此得到对数和指数幂之间的关系: b 指数 对数 指数式 a =N 对数式 logaN=b
b

底数 对数的底数

例如:42=16 ? 2=log416;102=100 ? 2=log10100;4 2 =2 ?

1 =log42;10-2=0.01 ? -2=log100.01 2

提出问题 ①为什么在对数定义中规定 a>0,a≠1? ②根据对数定义求 loga1 和 logaa(a>0,a≠1)的值. ③负数与零有没有对数? ④a
loga N

=N 与 logaab=b(a>0,a≠1)是否成立?

讨论结果:①这是因为若 a<0,则 N 为某些值时,b 不存在,如 log(-2)

1 ; 2

若 a=0,N 不为 0 时,b 不存在,如 log03,N 为 0 时,b 可为任意正数,是不唯一的,即 log00 有无数个 值; 若 a=1,N 不为 1 时,b 不存在,如 log12,N 为 1 时,b 可为任意数,是不唯一的,即 log11 有无数个值. 综之,就规定了 a>0 且 a≠1. ②loga1=0,logaa=1. 因为对任意 a>0 且 a≠1,都有 a0=1,所以 loga1=0. 同样易知:logaa=1. 即 1 的对数等于 0,底的对数等于 1. ③因为底数 a>0 且 a≠1,由指数函数的性质可知,对任意的 b∈R,ab>0 恒成立,即只有正数才 有对数,零和负数没有对数. ④因为 ab=N,所以 b=logaN,ab=a a
loga N

=N,即 a a

loga N

=N. =N 叫对数恒等式)

因为 ab=ab,所以 logaab=b.故两个式子都成立.(a a

loga N

思考我们对对数的概念和一些特殊的式子已经有了一定的了解,但还有两类特殊的对数 对科学研究和了解自然起了巨大的作用,你们知道是哪两类吗? 活动:同学们阅读课本 P68 的内容,教师引导,板书. 解答: ①常用对数: 我们通常将以 10 为底的对数叫做常用对数.为了简便,N 的常用对数 log10N 简记作 lgN. 例如:log105 简记作 lg5;log103.5 简记作 lg3.5. ②自然对数: 在科学技术中常常使用以无理数 e=2.718 28……为底的对数,以 e 为底的对数叫 自然对数,为了简便,N 的自然对数 logeN 简记作 lnN. 例如:loge3 简记作 ln3;loge10 简记作 ln10. 应用示例 思路 1 例 1 将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式: (1)54=625;(2)2-6=

1 1 ;(3)( )m=5.73; 3 64

(4)log 1 16=-4;(5)lg0.01=-2;(6)ln10=2.303.
2

活动: 学生阅读题目,独立解题,把自己解题的过程展示在屏幕上,教师评价学生,强调注意的问 题. 对(1)根据指数式与对数式的关系,4 在指数位置上,4 是以 5 为底 625 的对数. 对(2)根据指数式与对数式的关系,-6 在指数位置上,-6 是以 2 为底

1 的对数. 64

对(3)根据指数式与对数式的关系,m 在指数位置上,m 是以 对(4)根据指数式与对数式的关系,16 在真数位置上,16 是

1 为底 5.73 的对数. 3

1 的-4 次幂. 2

对(5)根据指数式与对数式的关系,0.01 在真数位置上,0.01 是 10 的-2 次幂. 对(6)根据指数式与对数式的关系,10 在真数位置上,10 是 e 的 2.303 次幂. 解: (1)log5625=4;(2)log2

1 =-6;(3)log 1 5.73=m; 64 3

(4)(

1 -4 ) =16;(5)10-2=0.01;(6)e2.303=10. 2

思考指数式与对数式的互化应注意哪些问题? 活动:学生考虑指数式与对数式互化的依据,回想对数概念的引出过程,理清对数与指数幂的 关系,特别是位置的对照. 解答:若是指数式化为对数式,关键要看清指数是几,再写成对数式.若是对数式化为指数式, 则要看清真数是几,再写成幂的形式.最关键的是搞清 N 与 b 在指数式与对数式中的位置,千万 不可大意,其中对数的定义是指数式与对数式互化的依据. 变式训练 课本 P64 练习 1、2. 例 2 求下列各式中 x 的值: (1)log64x= ?

2 ;(2)logx8=6; 3

(3)lg100=x;(4)-lne2=x. 活动: 学生独立解题,教师同时展示学生的作题情况,要求学生说明解答的依据,利用指数式与 对数式的关系,转化为指数式求解. 解: (1)因为 log64x=? 6?( ? ) 2 1 3 ,所以 x=64 3 =(2) =2-4= . 3 16 2 2

(2)因为 logx8=6,所以 x6=8=23=( 2 )6.因为 x>0,因此 x= 2 . (3)因为 lg100=x,所以 10x=100=102.因此 x=2. (4)因为-lne2=x,所以 lne2=-x,e-x=e2.因此 x=-2. 点评:本题要注意方根的运算,同时也可借助对数恒等式来解. 变式训练 求下列各式中的 x: ①log4x=

1 3 ;②logx27= ;③log5(log10x)=1. 2 4
1

1 解:①由 log4x= ,得 x=4 2 =2; 2 3 ②由 logx27= ,得 x 4 =27,所以 x=27 3 =81; 4
③由 log5(log10x)=1,得 log10x=5,即 x=105.
3 4

点评: 在解决对数式的求值问题时,若不能一下子看出结果,根据指数式与对数式的关系,首先 将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果. 思路 2 例 1 以下四个命题中,属于真命题的是( ) (1)若 log5x=3,则 x=15 (2)若 log25x= 若 log5x=-3,则 x=

1 ,则 x=5 (3)若 logx 5 =0,则 x= 5 2

(4)

1 125
D.(3) (4)

A.(2) (3) B.(1) (3) C.(2) (4) 活动:学生观察,教师引导学生考虑对数的定义. 对数式化为指数式,根据指数幂的运算性质算出结果. 对于(1)因为 log5x=3,所以 x=53=125,错误; 对于(2)因为 log25x=

1 ,所以 x=25 2 =5,正确; 2

1

对于(3)因为 logx 5 =0,所以 x0= 5 ,无解,错误; 对于(4)因为 log5x=-3,所以 x=5-3=

1 ,正确. 125

总之(2) (4)正确. 答案:C 点评:对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据. 例2 对于 a>0,a≠1,下列结论正确的是( ) (1)若 M=N,则 logaM=logaN (2)若 logaM=logaN,则 M=N (3)若 logaM2=logaN2,则 M=N (4)若 M=N,则 logaM2=logaN2 A.(1) (3) B.(2) (4) C.(2) D.(1) (2) (4) 活动:学生思考,讨论,交流,回答,教师及时评价. 回想对数的有关规定. 对(1)若 M=N,当 M 为 0 或负数时 logaM≠logaN,因此错误; 对(2)根据对数的定义,若 logaM=logaN,则 M=N,正确; 对(3)若 logaM2=logaN2,则 M=± N,因此错误; 2 对(4)若 M=N=0 时,则 logaM 与 logaN2 都不存在,因此错误. 综上,(2)正确. 答案:C 点评:0 和负数没有对数,一个正数的平方根有两个. 例 3 计算: (1)log927;(2)log 4 3 81;(3)log ( 2 ?
3 ) (2-3);(4)log 3

54

625.

活动:教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,学生展示自己的解题过程,教师及时 评价学生.利用对数的定义或对数恒等式来解.求式子的值,首先设成对数式,再转化成指数式 或指数方程求解.另外利用对数恒等式可直接求解,所以有两种解法.

解法一:(1)设 x=log927,则 9x=27,32x=33,所以 x= (2)设 x=log 4 3 81,则( 3 ) =81,3 =34,所以 x=16;
4
x
x 4

3 ; 2

(3)令 x=log ( 2 ?

3 ) (2-

3 )=log ( 2 ?

3 ) (2+

3 )-1,

所以(2+ 3 )x=(2+ 3 )-1,x=-1;
4

(4)令 x=log 3

54

625,所以( 3 54 )x=625,5 3 x=54,x=3.
3
3 2

解法二:(1)log927=log93 =log99 = (2)log 4 3 81=log 4 3 ( 4 3 )16=16; (3)log ( 2 ? (4)log 3
54
3 ) (2-

3 ; 2

3 )=log ( 2 ?
54

3 ) (2+

3 )-1=-1;

625=log 3

( 3 54 )3=3.

点评:首先将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果,对数的定义是转化和 对数恒等式的依据. 变式训练 课本 P64 练习 3、4. 知能训练 1.把下列各题的指数式写成对数式: (1)42=16;(2)30=1;(3)4x=2;(4)2x=0.5;(5)54=625;(6)3-2=

1 1 ;(7)( )-2=16. 9 4

解:(1)2=log416;(2)0=log31;(3)x=log42;(4)x=log20.5;(5)4=log5625; (6)-2=log3

1 ;(7)-2=log 1 16. 9 4

2.把下列各题的对数式写成指数式: (1)x=log527;(2)x=log87;(3)x=log43;(4)x=log7 (5)log216=4;(6)log 1 27=-3;(7)log
3

1 ; 3

3x

=6;(8)logx64=-6;

(9)log2128=7;(10)log327=a. 解:(1)5x=27;(2)8x=7;(3)4x=3;(4)7x= =x;(8)x-6=64;(9)27=128;(10)3a=27. 3.求下列各式中 x 的值: (1)log8x= ?

1 1 ;(5)24=16;(6)( )-3=27;(7)( 3 )6 3 3

2 3 ;(2)logx27= ;(3)log2(log5x)=1;(4)log3(lgx)=0. 3 4

? ? 3?( ? ) 2 1 解:(1)因为 log8x= ? ,所以 x=8 3 =(23) 3 = 2 3 =2-2= ; 3 4

2

2

2

(2)因为 logx27=

3 ,所以 x 4 =27=33,即 x=(33) 3 =34=81; 4

3

4

(3)因为 log2(log5x)=1,所以 log5x=2,x=52=25; (4)因为 log3(lgx)=0,所以 lgx=1,即 x=101=10. 4.(1)求 log84 的值; (2)已知 loga2=m,loga3=n,求 a2m+n 的值. 解:(1)设 log84=x,根据对数的定义有 8x=4,即 23x=22,所以 x=

2 2 ,即 log84= ; 3 3

(2)因为 loga2=m,loga3=n,根据对数的定义有 am=2,an=3, 所以 a2m+n=(am)2· an=(2)2· 3=4× 3=12. 点评:此题不仅是简单的指数与对数的互化,还涉及到常见的幂的运算法则的应用. 拓展提升 请你阅读课本 75 页的有关阅读部分的内容,搜集有关对数发展的材料,以及有关数学家关于 对数的材料,通过网络查寻关于对数换底公式的材料,为下一步学习打下基础. 课堂小结 (1)对数引入的必要性; (2)对数的定义;(3)几种特殊数的对数; (4)负数与零没有对数; (5) 对数恒等式;(6)两种特殊的对数. 作业 课本 P74 习题 2.2A 组 1、2. 【补充作业】 1.将下列指数式与对数式互化,有 x 的求出 x 的值. (1)5
? 1 2

=

1 5

;(2)log24=x;(3)3x=

1 ; 27

(4)(

1 x ) =64;(5)lg0.000 1=x;(6)lne5=x. 4
? 1 2

解: (1)5

=

1 5

化为对数式是 log5

1 5

=?
x

1 ; 2 x =2,x=4; 2

(2)x=log (3)3x= (4)(

4 化为指数式是( 2 )x=4,即 2 2 =22, 2

1 1 1 化为对数式是 x=log3 ,因为 3x=( )3=3-3,所以 x=-3; 3 27 27

1 x 1 ) =64 化为对数式是 x=log 1 64,因为( )x=64=43,所以 x=-3; 4 4 4

(5)lg0.0001=x 化为指数式是 10x=0.0001,因为 10x=0.000 1=10-4,所以 x=-4; (6)lne5=x 化为指数式是 ex=e5,因为 ex=e5,所以 x=5.

2.计算 3

log

3

5

? 3

log3

1 5 的值.
1 1

解:设 x=log3

1 1 1 ,则 3x= ,(3 2 )x=( ) 2 ,所以 x=log 5 5 5

1
3

5
=

.

所以 3 3

log3 5

? 3

log3

1 5

= 5? 3

log 3

1 5

= 5?

1

6 5 . 5 5

3.计算 a 解: a

loga b?logb c?logc N

(a>0,b>0,c>0,N>0).
logb c?logc N

loga b?logb c?logc N

=b

=c

log c N

=N.

设计感想 本节课在前面研究了指数函数及其性质的基础上 ,为了运算的方便,引进了对数的概念,使学 生感受到对数的现实背景 ,它有着丰富的内涵 ,和我们的实际生活联系密切 ,也是以后学习对 数函数的基础,鉴于这种情况,安排教学时,无论是导入还是概念得出的过程,都比较详细,通俗 易懂,要反复练习,要紧紧抓住它与指数概念之间的联系与区别,结合指数式理解对数式,强化 对数是一种运算,并注意对数运算符号的理解和记忆 ,多运用信息化的教学手段 ,顺利完成本 堂课的任务,为下一节课作准备.

第 2 课时 指数与指数幂的运算(2) 导入新课 思路 1.碳 14 测年法.原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳 14,并与氧结合成二氧化碳 后进入所有活组织,先为植物吸收,再为动物吸收,只要植物和动物生存着,它们就会不断地吸 收碳 14 在机体内保持一定的水平.而当有机体死亡后,即会停止吸收碳 14,其组织内的碳 14 便以约 5 730 年的半衰期开始衰变并消失.对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳 14 的 含量,便可推断其年代(半衰期:经过一定的时间,变为原来的一半).引出本节课题:指数与指数 幂的运算之分数指数幂. 思路 2.同学们,我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质 ,那么整数指数幂是否可以推广 呢?答案是肯定的.这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分 数指数幂. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)整数指数幂的运算性质是什么? (2)观察以下式子,并总结出规律:a>0, ① a
5 10

= ( a ) =a =a
3 4 2

2 5

2

10 5

;

② a = ( a ) =a =a ;
3 4 ③ 4 a12 = 4 ( a ) =a3=a 5 2 ④ 2 a10 = 2 ( a ) =a5=a

8

4

8 2

12 4 10 2

; .

(3)利用(2)的规律,你能表示下列式子吗?
4

53 , 3 75 , 5 a 7 , n x m (x>0,m,n∈N*,且 n>1).

(4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗? (5)你能推广到一般的情形吗? 活动:学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质,仔细观察,特别是每题的开始和最后两步 的指数之间的关系 ,教师引导学生体会方根的意义,用方根的意义加以解释 ,指点启发学生类 比(2)的规律表示,借鉴(2)(3),我们把具体推广到一般,对写正确的同学及时表扬,其他学生鼓励 提示. 讨论结果:(1)整数指数幂的运算性质:an=a·a·a·…·a,a0=1(a≠0);00 无意义; a-n=

1 (a≠0);am· an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn. an
5 10
10 5

(2)①a2 是 a10 的 5 次方根;②a4 是 a8 的 2 次方根;③a3 是 a12 的 4 次方根;④a5 是 a10 的 2 次 方根.实质上① a 分别写成了 =a ,② a =a ,③ a
8
8 2

4

12

=a

12 4

,④ a

2

10

=a

10 2

结果的 a 的指数是 2,4,3,5

10 8 12 10 , , , ,形式上变了,本质没变. 5 2 4 5

根据 4 个式子的最后结果可以总结:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以 写成分数作为指数的形式(分数指数幂形式).

(3)利用(2)的规律, 5 =5 , 7 =7 , a =a ,
3
3 4

4

3

3 4

3

5

5 3 5

7

7 5

n

x =x .
7 5

m

m n

(4)5 的四次方根是 5 ,7 的三次方根是 7 ,a 的五次方根是 a ,x 的 n 次方根是 x . 结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的.
m m

5

5 3

7

m

m n

(5)如果 a>0,那么 am 的 n 次方根可表示为 n a m=a n ,即 a n = n a m(a>0,m,n∈N*,n>1). 综上所述,我们得到正数的正分数指数幂的意义,教师板书: 规定:正数的正分数指数幂的意义是 a = n a m(a>0,m,n∈N*,n>1). 提出问题 ①负整数指数幂的意义是怎样规定的? ②你能得出负分数指数幂的意义吗? ③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义? ④综合上述,如何规定分数指数幂的意义? ⑤分数指数幂的意义中,为什么规定 a>0,去掉这个规定会产生什么样的后果? ⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质是否也适 用于有理数指数幂呢? 活动:学生回想初中学习的情形,结合自己的学习体会回答,根据零的整数指数幂的意义和负 整数指数幂的意义来类比,把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来,与整数指 数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质 ,教师在黑板上板书 ,学生合作交流,以具 体的实例说明 a>0 的必要性,教师及时作出评价. 讨论结果:①负整数指数幂的意义是:a-n=
n m

1 (a≠0),n∈N*. an

②既然负整数指数幂的意义是这样规定的,类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分 数指数幂的意义. 规定:正数的负分数指数幂的意义是 a
? n m

=

1 a
n m

=

1
n

a

m

(a>0,m,n∈N*,n>1).

③规定:零的分数指数幂的意义是:零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义. ④教师板书分数指数幂的意义.分数指数幂的意义就是: 正数的正分数指数幂的意义是 a = n a m (a>0,m,n∈N*,n>1),正数的负分数指数幂的意义是 a
? n m

n m

=

1 a
1

n m

=

1
n

a

m

(a>0,m,n∈N*,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.

⑤若没有 a>0 这个条件会怎样呢?
2

如(-1) 3 =3-1=-1,(-1) 6 =6(-1)2=1 具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果,这只说明分 数指数幂在底数小于零时是无意义的 .因此在把根式化成分数指数时,切记要使底数大于零 , 如无 a>0 的条件,比如式子 3a =|a| ,同时负数开奇次方是有意义的,负数开奇次方时,应把负 号移到根式的外边 ,然后再按规定化成分数指数幂,也就是说,负分数指数幂在有意义的情况 下总表示正数,而不是负数,负数只是出现在指数上.
2
2 3

⑥规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数. 有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数 r,s,均有下面的运算性质: (1)ar· as=ar+s(a>0,r,s∈Q), (2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q), (3)(a· b)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). 我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题,来看下面的例题. 应用示例 思路 1 例 1 求值:①8 ;②25
2 3
? 1 2

1 16 ? 4 ③( )-5;④( ) . 2 81

3

活动:教师引导学生考虑解题的方法,利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式,根据题 目要求,把底数写成幂的形式,8 写成 23,25 写成 52,

1 16 2 写成 2-1, 写成( )4,利用有理数幂的 2 81 3

运算性质可以解答,完成后,把自己的答案用投影仪展示出来.
2 2

解:①8 3 =(23) 3 =2 ②25 ③(
? 1 2

3?

2 3

=22=4; =5-1=

=(5 )

2

?

1 2

=5

1 2?( ? ) 2

1 ; 5

1 -5 -1 -5 -1 ) =(2 ) =2 × (-5)=32; 2
16 ? 4 2 4?( ? 4 ) 2 -3 27 ) =( ) =( ) = . 81 3 3 8
2
3 3

④(

点评: 本例主要考查幂值运算,要按规定来解.在进行幂值运算时,要首先考虑转化为指数运算, 而不是首先转化为熟悉的根式运算,如 8 3 = 3 82 = 3 64 =4. 例 2 用分数指数幂的形式表示下列各式.
3 a3· a ;a2· a 2 ; a 3 a (a>0).

活动:学生观察、思考,根据解题的顺序,把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算, 根式化为分数指数幂时,要由里往外依次进行 ,把握好运算性质和顺序,学生讨论交流自己的 解题步骤,教师评价学生的解题情况,鼓励学生注意总结.
1

解:a3· a =a3· a 2 =a
2

3?

1 2

7

=a 2 ;
8

3 a2· a 3 =a a =a2·
3

2

2?

3 2

=a 3 ;
4 3 1 2 2 3

a a =(a· a ) =(a ) =a .
点评:利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时,其顺序是先把根 式化为分数指数幂 ,再由幂的运算性质来运算 .对于计算的结果 ,不强求统一用什么形式来表 示,没有特别要求,就用分数指数幂的形式来表示,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能 既有分母又有负指数.

1 3

1 2

例 3 计算下列各式(式中字母都是正数):
2 1 1
1

1

(1)(2a 3 b 2 )(-6a 2 b 3 )÷ (-3a 6 b 6 );
1

5

(2)(m 4 n

?

3 8 8

).

活动:先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,四则运算的顺序是先算乘方,再算乘除, 最后算加减,有括号的先算括号内的 ,整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后 ,其 运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序 ,再解答,把自己的答案用投影仪展示出来,相互交 流,其中要注意到(1)小题是单项式的乘除运算,可以用单项式的乘除法运算顺序进行,要注 意符号,第(2)小题是乘方运算,可先按积的乘方计算,再按幂的乘方进行计算,熟悉后可以简 化步骤. 解: (1)原式=[2× (-6)÷ (-3)]a
1
2 1 1 ? ? 3 2 6 1

b

1 1 5 ? ? 2 3 6

=4ab0=4a;

(2)(m 4 n

?

3 8 8

1

) =(m 4 )8(n

?

3 8 8

) =m 4 n

?8

3 ? ?8 8

=m2n-3=

m2 . n3

点评: 分数指数幂不表示相同因式的积,而是根式的另一种写法.有了分数指数幂,就可把根式 转化成分数指数幂的形式,用分数指数幂的运算法则进行运算了. 本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用. 变式训练 求值:
3 6 (1)3 3 · 3· 3;

(2) 6 (

27m 3 4 ) . 125n 6
1
1

1

3 6 解:(1)3 3 · 32 · 33· 3 6 =3 3· 3 =3·

1 1 1 1? ? ? 2 3 6

=32=9;
4 4

27m 3 6 33 m 3 6 (33 ) 6 (m 3 ) 6 9m 2 9 2 ? 4 27m 3 4 mn . (2) 6 ( =( =( = = ( ) ( ) = ) 4 4 25n 4 25 125n 6 53 n 6 125n 6 3 6 6 6 (5 ) (n )
例 4 计算下列各式: (1)( 3 25 ? 125 )÷4 25 ; (2)

4

4

a2 a ? 3 a2

(a>0).

活动: 先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,化为同底.利用分数指数幂计算,在第 ( 1) 小题中,只含有根式,且不是同次根式,比较难计算,但把根式先化为分数指数幂再计算,这样就 简便多了,第(2)小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,最后写出解答. 解: (1)原式=(25 -125 )÷ 25 =(5 -5 )÷ 5
1 3

1 2

1 4

2 3

3 2

1 2

=5

2 1 ? 3 2

-5

3 1 ? 2 2

=5 -5= 6 5 -5; =

1 6

(2)

a2 a ? 3 a2

a2 a ?a
1 2 2 3

=a

1 2 2? ? 2 3

=a 6 = 6 a 5 . 思路 2

5

例 1 比较 5 , 3 11 , 6 123 的大小. 活动: 学生努力思考,积极交流,教师引导学生解题的思路,由于根指数不同,应化成统一的根指 数,才能进行比较,又因为根指数最大的是 6,所以我们应化为六次根式,然后,只看被开方数的 大小就可以了. 解:因为 5 = 6 53 = 6 125 , 3 11 = 6 121 ,而 125>123>121,所以 6 125 > 6 123 > 6 121 . 所以 5 > 6 123 > 3 11 . 点评:把根指数统一是比较几个根式大小的常用方法. 例 2 求下列各式的值: (1) 81? 9 3 ; (2)2 3 ×3 1.5 ×6 12 . 活动:学生观察以上几个式子的特征,既有分数指数幂又有根式,应把根式转化为分数指数幂 后再由运算法则计算,如果根式中根指数不同,也应化成分数指数幂,然后分析解答,对(1)应由
4 里往外 81? 9 = 3 ? (3 3 ) 2 ,对(2)化为同底的分数指数幂,及时对学生活动进行评价.

4

2

4

2 3

4

4

1

解:(1) 81? 9 3 =[34× (3 3 ) 2 ] 4 =(3
1 2
1

4

2

4

1

1

4?

2 3

1

) 4 =(3
1

14 3

1

7

) 4 =3 6 = 36 3 ;
1 1 1

1? ? ? ? 3 (2) 2 3 ? 1.5 ? 12 =2× 3 × ( )3× (3× 22) 6 =2 3 3 · 3 2 3 6 =2× 3=6. 2

1 1

3

6

例 3 计算下列各式的值: (1) [(a (2)
? 3 2

1

1

1

b2)-1· (ab-3) 2 (b 2 )7] 3 ;
? 1 2

1? a
3

1? a

?

a ?a a ?1

?

1 2

;

(3) ( a

b 2 ) ?3 ? b ? 4 a ?1 .

活动:先由学生观察以上三个式子的特征 ,然后交流解题的方法 ,把根式用分数指数幂写出 , 利用指数的运算性质去计算,教师引导学生,强化解题步骤,对(1)先进行积的乘方,再进行同底 数幂的乘法,最后再乘方,或先都乘方,再进行同底数幂的乘法,对(2)把分数指数化为根式 ,

然后通分化简,对(3)把根式化为分数指数,进行积的乘方,再进行同底数幂的运算. 解:(1)原式=(a
? 3 2

b)

2

?

1 3

(ab ) · (b ) =a b
? 3 2

1 -3 6 7

1 2

7 3

1 2

?

2 3

a b

1 6

?

1 2

b =a

7 6

1 1 ? 2 6

b

2 1 7 ? ? ? 3 2 6

=a b =a ;

2 3

0

2 3

3

1

1

另解:原式=(a 2 b-2a 2 b =(a 2
3 1 ? 2

· b2 )3
2

b

3 7 ? 2? ? 2 2

1

1

) 3 =(a2b0) 3 =a 3 ;

1?
(2)原式=

1

a ? 1? a

a?

1 a
=

a ?1 a (a ? 1)

a ?1

=

1 a

?

a ?1 a (a ? 1)

=

1 a

(1 ?

a ?1 )= a ?1

2 a ; a (a ? 1) a(1 ? a)
=
1 2 1

?2

(3)原式=(a 2 b 3 )-3÷ (b-4a-1) 2 =a

?

3 2

b-2÷ b-2a

?

1 2

=a

3 1 ? ? 2 2

b-2+2=a-1=

1 . a

( 例 4 已知 a>0,对于 0≤r≤8,r∈N*,式子( a )8-r·

1 r ) 能化为关于 a 的整数指数幂的情形有几 4 a

种? 活动: 学生审题,考虑与本节知识的联系,教师引导解题思路,把根式转化为分数指数幂后再由 运算法则计算,即先把根式转化为分数指数幂,再进行幂的乘方,化为关于 a 的指数幂的情形, 再讨论,及时评价学生的作法.

1 ( 4 ) r=a 解:( a ) · a
8-r

8? r 2

· a

?

r 4

=a

8? r r ? 4 4

=a

16 ?3 r 4

.

16-3r 能被 4 整除才行,因此 r=0,4,8 时上式为关于 a 的整数指数幂. 点评: 本题中确定整数的指数幂时,可由范围的从小到大依次验证,决定取舍.利用分数指数幂 进行根式运算时,结果可以化为根式形式或保留分数指数幂的形式. 例 5 已知 f(x)=ex-e-x,g(x)=ex+e-x. (1)求[f(x) ]2-[g(x) ]2 的值; (2)设 f(x)f(y)=4,g(x)g(y)=8,求

g ( x ? y) 的值. g ( x ? y)

活动:学生观察题目的特点,说出解题的办法,整体代入或利用公式,建立方程,求解未知,如果 学生有难度,教师可以提示引导,对(1)为平方差,利用公式因式分解可将代数式化简,对(2)难 以发现已知和未知的关系,可写出具体算式,予以探求. 解:(1)[f(x) ]2-[g(x) ]2=[f(x)+g(x) ]· [f(x)-g(x) ] x -x x -x x -x x -x x -x 0 =(e -e +e +e ) (e -e -e -e )=2e (-2e )=-4e =-4; 另解:(1)[f(x) ]2-[g(x) ]2=(ex-e-x)2-(ex+e-x)2 =e2x-2exe-x+e-2x-e2x-2exe-x-e-2x =-4ex-x=-4e0=-4; (2)f(x)· f(y)=(ex-e-x) (ey-e-y)=ex+y+e-(x+y)-ex-y-e-(x-y)=g(x+y)-g(x-y)=4,

同理可得 g(x)g(y)=g(x+y)+g(x-y)=8, 得方程组 ?

?g(x ? y) - g(x - y) ? 4, 解得 g(x+y)=6,g(x-y)=2. ?g(x ? y) ? g(x - y) ? 8,

所以

g ( x ? y) 6 = =3. g ( x ? y) 2

点评:将已知条件变形为关于所求量 g(x+y)与 g(x-y)的方程组,从而使问题得以解决, 这种处理问题的方法在数学上称之为方程法,方程法所体现的数学思想即方程思想,是数学中 重要的数学思想. 知能训练 课本 P54 练习 1、2、3. [补充练习] 教师用实物投影仪把题目投射到屏幕上让学生解答 ,教师巡视,启发,对做得好的同学给予表 扬鼓励. 1.(1)下列运算中,正确的是( ) 2 3 6 A.a · a =a 2 3 B.(-a ) =(-a3)2 C.( a -1)0=0 D.(-a2)3=-a6
2n 2 n ?1 (2)下列各式① 4 ( ?4) ,② 4 ( ?4) ③ 5 a 4 ,④ 4 a5 (各式的 n∈N,a∈R)中,有意义的是

( ) A.①② (3) ( A.a
3 4

B.①③

C.①②③④ ) C.a
3

D.①③④

a 6 ) 2 ? (4

3

a 6 ) 2 等于(
B.a
2

D.a4 )

?2 (4)把根式-2 3 ( a ? b ) 改写成分数指数幂的形式为(

A.-2(a-b) C.-2(a
? 2 5

?

2 5 ? 2 5

B.-2(a-b) )
1 1
1

?

5 2 ? 5 2

-b

D.-2(a
1

?

5 2

-b

) ) D.9a

2

(5)化简(a 3 b 2 ) (-3a 2 b 3 )÷ ( A.6a 2.计算:(1)0.027
? 1 3

1 6 5 a b 6 )的结果是( 3
C.-9a
3

B.-a

1 -(- )-2+256 4 -3-1+(2-1)0=________. 7

(2)设 5x=4,5y=2,则 52x-y=________.

1

1

3.已知 x+y=12,xy=9 且 x<y,求

x2 ? y2 x ?y
1 2 1 2

的值.

答案:1.(1)D

(2)B (3)B (4)A (5)C 2.(1)19 (2)8
1 2 1 2

3.解:

x ?y x ?y
1 2

1 2

=

( x ? y )(x ? y ) ( x ? y )(x ? y )
1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

=

x ? 2x y ? y . x? y

1 2

1 2

因为 x+y=12,xy=9,所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4× 27. 又因为 x<y,所以 x-y=-2× 33=-63.所以原式 拓展提升
1

12 ? 6 ?6 3

=?

3 . 3

1.化简

x ?1 x ? x ?1
2 3 1 3

?

x ?1 x ?1
1 3

?

x ? x3 x ?1
1 3

.

活动:学生观察式子特点,考虑 x 的指数之间的关系可以得到解题思路,应对原式进行因式分 解,根据本题的特点,注意到: x-1=(x ) -1 =(x -1)· (x +x +1); x+1=(x ) +1 =(x +1)· (x -x +1);
1 1 1 1 1 1 1 3 3 1 3 3

3

1 3

2 3

1 3

3

1 3

2 3

1 3

x-x 3 =x 3 [(x 3 )2-1]=x 3 (x 3 -1)(x 3 +1). 构建解题思路教师适时启发提示.

解:

x ?1 x ? x ?1
2 3 1 3

?

x ?1 x ?1
1 3

?

x?x
1 3

1 3

=

(x ) ?1
2 3 1 3

1 3 3

3

?

(x ) ? 1 x ?1
1 1
1 3

1 3 3

3

?

x x ?x
1

1 3

2 3

1 3

x ?1
1 2

x ? x ?1
1

x 3 ?1
1

1

2

1

=

( x 3 ? 1)(x 3 ? x 3 ? 1) x ? x ?1
1

2 3

1 2

?

( x 3 ? 1)(x 3 ? x 3 ? 1) x ?1
1 3

?

x 3 ( x 3 ? 1)(x 3 ? 1) ( x ? 1)
1 3

2

1

2

1

1

=x 3 -1+x 3 -x 3 +1-x 3 -x 3 =-x 3 . 点拨:解这类题目,要注意运用以下公式,
1 1 1 1

(a 2 -b 2 )(a 2 +b 2 )=a-b, (a ± b ) =a± 2a b +b, (a ± b )(a
1 3 1 3

1 2

1 2 2

1 2

1 2

2 3

? a b +b )=a±b.

1 3

1 3

2 3

2.已知 a +a

1 2

?

1 2

=3,探究下列各式的值的求法.
3

(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3)

a2 ? a a ?a
1 2

? ?

3 2 1 2

.

1

解:(1)将 a 2 +a
3 2
3 2

?

1 2

=3,两边平方,得 a+a-1+2=9,即 a+a-1=7;
1 2 3
1 2 3

(2)将 a+a-1=7 两边平方,得 a2+a-2+2=49,即 a2+a-2=47; (3)由于 a -a
3
?

=(a ) -(a
3 2 1 2 1

?

),
1 1 ? 1

所以有

a2 ? a a ?a
1 2

? ?

=

(a 2 ? a 2 )(a ? a ?1 ? a 2 a 2 ) a ?a
1 2 ? 1 2

?

=a+a-1+1=8.

点拨:对“条件求值”问题,一定要弄清已知与未知的联系,然后采取“整体代换”或“求值后代换” 两种方法求值. 课堂小结 活动: 教师,本节课同学们有哪些收获?请把你的学习收获记录在你的笔记本上,同学们之间相 互交流.同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点: (1)分数指数幂的意义就是:正数的正分数指数幂的意义是 a = n a m(a>0,m,n∈N*,n>1),正数 的负分数指数幂的意义是 a
? n m

n m

=

1 a
n m

=

1
n

a

m

(a>0,m,n∈N*,n>1),零的正分数次幂等于零,零的

负分数指数幂没有意义. (2)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数. (3)有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数 r、s,均有下面的运算性质: ①ar· as=ar+s(a>0,r,s∈Q), ②(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q), ③(a· b)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). (4)说明两点: ①分数指数幂的意义是一种规定,我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性,其中没有推 出关系. ②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用.因而分数指数幂与根式可以互
m

化,也可以利用(an) n = a 作业 课本 P59 习题 2.1A 组

n?

m n

=am 来计算.

2、4.

设计感想 本节课是分数指数幂的意义的引出及应用,分数指数是指数概念的又一次扩充,要让学生反复 理解分数指数幂的意义,教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的 理解,用观察、 归纳和类比的方法完成,由于是硬性的规定,没有合理的解释,因此多安排一些练 习,强化训练,巩固知识,要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务.

第 3 课时 指数与指数幂的运算(3) 导入新课 思路 1. 同学们,既然我们把指数从正整数推广到整数 ,又从整数推广到正分数到负分数 ,这样指数就 推广到有理数,那么它是否也和数的推广一样,到底有没有无理数指数幂呢?回顾数的扩充过 程,自然数到整数,整数到分数(有理数),有理数到实数.并且知道,在有理数到实数的扩充过程 中,增添的数是——实数.对无理数指数幂,也是这样扩充而来.既然如此,我们这节课的主要内 容是:教师板书本堂课的课题(指数与指数幂的运算(3))之无理数指数幂. 思路 2. 同学们,在初中我们学习了函数的知识,对函数有了一个初步的了解,到了高中,我们又对函数 的概念进行了进一步的学习,有了更深的理解,我们仅仅学了几种简单的函数,如一次函数、二 次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等,这些远远不能满足我们的需要,随着科学的 发展,社会的进步,我们还要学习许多函数,其中就有指数函数,为了学习指数函数的知识,我们 必须学习实数指数幂的运算性质,为此,我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂, 因此我们本节课学习:指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂,教师板书本堂课的课题. 推进新课 新知探究 提出问题 ①我们知道 2 =1.414 213 56…,那么 1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…,是 2 的什么近似值? 而 1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,是 2 的什么近似值? ②多媒体显示以下图表:同学们从上面的两个表中,能发现什么样的规律?

2 的过剩近似值 5
1.5 1.42 1.415 1.4143 1.41422 1.414214 1.4142136 1.41421357 1.414213563

5

2

的近似值

11.18033989 9.82935328 9.750851808 9.73987262 9.738618643 9.738524602 9.738518332 9.738517862 9.73817752

5

2

的近似值

2 的不足近似值
1.4 1.41 1.414 1.414 2 1.414 213

9.518 269 694 9.672 669 973 9.735 171 039 9.738 305 174 9.738 461 907

9.738 508 928 9.738 516 765 9.738 517 705 9.738 517 736 ③你能给上述思想起个名字吗? ④一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢?如 5
2

1.414 213 1.414 213 5 1.414 213 56 1.414 213 562

,根据你学过的知识,能作出判

断并合理地解释吗? ⑤借助上面的结论你能说出一般性的结论吗? 活动:教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以解 释,可用多媒体显示辅助内容:

问题①从近似值的分类来考虑,一方面从大于 2 的方向,另一方面从小于 2 的方向. 问题②对图表的观察一方面从上往下看,再一方面从左向右看,注意其关联. 问题③上述方法实际上是无限接近,最后是逼近. 问题④对问题给予大胆猜测,从数轴的观点加以解释. 问题⑤在③④的基础上,推广到一般的情形,即由特殊到一般. 讨 论结果: ①1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,… 这些数都小于

2 , 称 2 的不足近似值 , 而

1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,这些数都大于 2 ,称 2 的过剩近似值. ②第一个表:从大于 2 的方向逼近 2 时,5 的方向逼近 5
2 2

就从 51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于 52

.
2

第二个表:从小于 2 的方向逼近 2 时,5 的方向逼近 5
2

就从 51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,即小于 5

2

.
2

从另一角度来看这个问题 , 在数轴上近似地表示这些点 , 数轴上的数字表明一方面 5 51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…, 即 小 于 5 51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于 5 即逼近 5
2 2 2

从 从
2

的方向接近 5
2

2

,而另一方面 5

2

的方向接近 5

,可以说从两个方向无限地接近 5

,

,所以 5

2

是一串有理数指数幂 51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,和另一串有理

数指数幂 51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,按上述变化规律变化的结果,事实上表示这些数的点 从两个方向向表示 5
2

的点靠近,但这个点一定在数轴上,由此我们可得到的结论是 5
2

2

一定

是一个实数,即 51.4<51.41<51.414<51.414 2<51.414 21<…<5

<…<51.41422<51.4143<51.415<51.42<51.5.

充分表明 5

2

是一个实数.

③逼近思想,事实上里面含有极限的思想,这是以后要学的知识. ④根据②③我们可以推断 5
2

是一个实数,猜测一个正数的无理数次幂是一个实数.

⑤无理数指数幂的意义: 一般地,无理数指数幂 aα(a>0,α 是无理数)是一个确定的实数. 也就是说无理数可以作为指数,并且它的结果是一个实数,这样指数概念又一次得到推广 ,在 数的扩充过程中,我们知道有理数和无理数统称为实数 .我们规定了无理数指数幂的意义 ,知 道它是一个确定的实数,结合前面的有理数指数幂,那么,指数幂就从有理数指数幂扩充到实 数指数幂. 提出问题 (1)为什么在规定无理数指数幂的意义时,必须规定底数是正数? (2)无理数指数幂的运算法则是怎样的?是否与有理数指数幂的运算法则相通呢? (3)你能给出实数指数幂的运算法则吗? 活动:教师组织学生互助合作,交流探讨,引导他们用反例说明问题,注意类比,归纳. 对问题(1)回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定,举例说明. 对问题(2)结合有理数指数幂的运算法则,既然无理数指数幂 aα(a>0,α 是无理数)是一个 确定的实数,那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似,并且相通. 对问题(3)有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则,实数的运算法则自然 就得到了. 讨论结果: (1)底数大于零的必要性,若 a=-1,那么 aα 是+1 还是-1 就无法确定了,这样就造成 混乱,规定了底数是正数后,无理数指数幂 aα 是一个确定的实数,就不会再造成混乱. (2)因为无理数指数幂是一个确定的实数,所以能进行指数的运算,也能进行幂的运算,有理 数指数幂的运算性质,同样也适用于无理数指数幂.类比有理数指数幂的运算性质可以得到无 理数指数幂的运算法则: ①ar· as=ar+s(a>0,r,s 都是无理数). r s ②(a ) =ars(a>0,r,s 都是无理数). ③(a· b)r=arbr(a>0,b>0,r 是无理数). (3)指数幂扩充到实数后,指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂. 实数指数幂的运算性质: 对任意的实数 r,s,均有下面的运算性质: ①ar· as=ar+s(a>0,r,s∈R). ②(ar)s=ars(a>0,r,s∈R). ③(a· b)r=arbr(a>0,b>0,r∈R). 应用示例 思路 1 例 1 利用函数计算器计算.(精确到 0.001) (1)0.3 ;(2)3.14 ;(3)3.1 ;(4) 3
2.1 -3
3 4

3

.

活动: 教师教会学生利用函数计算器计算,熟悉计算器的各键的功能,正确输入各类数,算出数 值,对于(1),可先按底数 0.3,再按 对于(2),先按底数 3.14,再按 键,再按幂指数 2.1,最后按 键,再按 3,最后按 ,即可求得它的值; 即可;

键,再按负号

对于(3),先按底数 3.1,再按

键,再按 3

4,最后按

即可; 键,再按 3,最后按 键.有时也

对于 (4) ,这种无理指数幂,可先按底数 3,其次按 键,再按 可按 或 键,使用键上面的功能去运算.

学生可以相互交流,挖掘计算器的用途. 答案: (1)0.32.1≈0.080;(2)3.14-3≈0.032; (3)3.1 ≈2.336;(4) 3
3 4

3

≈6.705.

点评:熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤,感受现代技术的威力,逐步把自己融入现 代信息社会;用四舍五入法求近似值,若保留小数点后 n 位,只需看第(n+1)位能否进位即 可. 例 2 求值或化简. (1) a b
?4 23

ab 2 (a>0,b>0);

1 ? (2)( ) 2 4

1

( 4ab?1 ) (0.1) (a b )
?2 3 1 ?3 2

(a>0,b>0);

(3) 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2 . 活动: 学生观察,思考,所谓化简,即若能化为常数则化为常数,若不能化为常数则应使所化式子 达到最简,对既有分数指数幂又有根式的式子 ,应该把根式统一化为分数指数幂的形式,便于 运算,教师有针对性地提示引导,对(1)由里向外把根式化成分数指数幂,要紧扣分数指数幂的 意义和运算性质,对(2)既有分数指数幂又有根式,应当统一起来,化为分数指数幂,对(3)有多重 根号的式子 , 应先去根号 , 这里是二次根式 , 被开方数应凑完全平方 , 这样 , 把 5,7,6 拆成 ( 3 )2+( 2 )2,22+( 3 )2,22+( 2 )2,并对学生作及时的评价,注意总结解题的方法和规律. 解:(1) a b
?4 23

ab 2 = a 2 b 2 (a 3 b 3 ) 2 =a-2ba 6 b 3 =a

?

4

2

1

2

1

1

1

?

11 6

4

3 6

b3 =

b4 a 11

.

点评: 根式的运算常常化成幂的运算进行,计算结果如没有特殊要求,就用根式的形式来表示.

1 (2)( ) 4

1 ? 2

( 4ab )
?2 3

?1 3 1 ?3 2

(0.1) (a b )

4 ? 4 2 ?2 ?2 2 4 0 0 4 = a a b b = ab= . 25 25 102

1 2

3 2

3

3

3

3

点评:化简这类式子一般有两种办法,一是首先用负指数幂的定义把负指数化成正指数,另一 个方法是采用分式的基本性质把负指数化成正指数. (3)

5?2 6 ? 7?4 3 ? 6?4 2
2 2 2

= ( 3 ? 2 ) ? (2 ? 3 ) ? (2 ? 2 ) = 3 - 2 +2- 3 -2+ 2

=0. 点评:考虑根号里面的数是一个完全平方数,千万注意方根的性质的运用. 例 3 已知 x=

1 n ?n (5 -5 ),n∈N*,求(x+ 1 ? x 2 )n 的值. 2
1
? 1 n

1

1

活动: 学生思考,观察题目的特点,从整体上看,应先化简,然后再求值,要有预见性,5 n 与 5



有对称性,它们的积是常数 1,为我们解题提供了思路,教师引导学生考虑问题的思路,必要时 给予提示.
? ? 1 1 2 x = (5 n -5 n )2= (5 n -2· 50+5 n ) 4 4

1

1

2

2

=

? 1 2 (5 n +2+5 n -4) 4

2

=

1 n ?n 2 (5 +5 ) -1. 4

1

1

这时应看到
? ? 1 1 1+x =1+ ( n -5 n )2= (5 n +5 n )2, 4 4

1

1

1

1

2

这样先算出 1+x2,再算出 1 ? x 2 ,带入即可. 解:将 x=
? ? 1 n ?n 1 1 (5 -5 )代入 1+x2,得 1+x2=1+ (5 n -5 n )2= (5 n +5 n )n, 2 4 4

1

1

1

1

1

1

所以(x+ 1 ? x 2 )n=[
1
1

? 1 n ?n 1 n (5 -5 )+ (5 ? 5 n ) 2 ]n 2 4
1
1

1

1

1

1

? ? 1 1 =[ (5 n -5 n )+ (5 n +5 n )]n=(5 n )n=5. 2 2

1

点评:运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键,要深刻理解这种做法. 思路 2 例 1 计算:(1) 6
2 3

1 3 3 4 ? 3 ? 0.0625 ? (5 ? ) 0 ? 2 ?1 ; 4 8
1 1

1 1 ?3 (2)125 +( )-2+343 3 -( ) ; 2 27
(3)(-2x y
1 4
? 1 3

)(3x y );

1 2

2 3

(4)(x -y )÷ (x -y ). 活动:学生观察、思考,根式化成分数指数,利用幂的运算性质解题,另外要注意整体的意识, 教师有针对性的提示引导 ,对(1)根式的运算常常化成幂的运算进行 ,对(2)充分利用指数幂的 运算法则来进行,对(3)则要根据单项式乘法和幂的运算法则进行 ,对(4)要利用平方差公式先 因式分解,并对学生作及时的评价. 解:(1) 6
1

1 2

1 2

1 4

1 4

1 3 3 4 ? 3 ? 0.0625 ? (5 ? ) 0 ? 2 ?1 4 8
1

25 2 27 3 1 =( ) +( ) +(0.062 5) 4 +14 8 2
=( =
4? 5 2 1 3 3? 3 1 ) × +( ) +(0.5) 4 + 2 2 2 2 1 1

1

5 3 1 + +0.5+ 2 2 2
2 3
1 1

=5;

1 1 ?3 (2)125 +( )-2+343 3 -( ) 2 27
=(5 ) +(2 ) +(7 ) -(3 ) =5
3? 2 3

2 3 3

-1 -2

1 3 3 1 3

-3

?

1 3

+2
1

-2× (-1)

+7

3?

-3
2

1 ? 3?( ? ) 3

=25+4+7-3=33; (3)(-2x 4 y = ? 6x
1 1 ? 4 2
? 1 3

1

1

1

)(3x 2 y 3 )=(-2× 3)(x 4 x 2 · y
1 2 ? ? 3 3

?

1 3

2

y3 )

?y

=-6x y

3 4

1 3

4 =?6 x

33

y;
1 4 1 4 1 4 2 1 1 4 2 1 4 1 4

(4)(x -y )÷ (x -y )=((x ) -(y ) )÷ (x -y )
1 1 1 1 1

1 2

1 2

=(x 4 +y 4 )(x 4 -y 4 )÷ (x 4 -y 4 )
1 1

=x 4 +y 4 . 点评:在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式. 例 2 化简下列各式: (1)

x ?2 ? y ?2 x
? 2 3

?y
-3

?
3

2 3

?
-3

x ?2 ? y ?2 x
? 2 3

?y

?

2 3

;

(2)(a +a )(a -a )÷ [(a4+a-4+1)(a-a-1)].

3

活动: 学生观察式子的特点,特别是指数的特点,教师引导学生考虑题目的思路,这两题要注意 分解因式,特别是立方和和立方差公式的应用,对有困难的学生及时提示:对(1)考查 x 与 x 的
2

2

2 3

关系可知 x2=(x 3 )3,立方关系就出来了,公式便可运用,对(2)先利用平方差,再利用幂的乘方转 化为立方差,再分解因式,组织学生讨论交流. 解:(1)原式=
2 3 2

x ?2 ? y ?2 x
? 2 3

?y
2 3

?

2 3

?
?

x ?2 ? y ?2 x
? 2 3

?y
?

?

2 3

= (x =x
?

?

) ?x y
? 2 3

?

2 3

?

? ( y ) ? [(x ) ? ( x )( y ) ? ( y ) ]
? 4 3

2 3 2 4 3

2 3 2 2 3

?

2 3

?

2 3

?

2 3 2

4 3

? ( xy)

?y

?x

?

? ( xy)

?

? y 3 = ? 2( xy)

?

4

?

2 3

? ?2

3

xy ; xy

(2)原式=[(a3)2-(a-3)2]÷ [(a4+a-4+1)(a-a-1)]

(a 2 ) 2 ? (a ?2 ) 2 (a 2 ? a ?2 )(a 4 a ? ?4 ?1) a 2 ? (a ?1 ) 2 = 4 = 4 = =a+a-1. ?1 ?4 ?1 ?4 ?1 a?a (a ? a ? 1)(a ? a ) (a ? a ? 1)(a ? a )
点评:注意立方和立方差公式在分数指数幂当中的应用,因为二项和、差公式,平方差公式一 般在使用中一目了然,而对立方和立方差公式却一般不易观察到,a =(a ) 还容易看出,对其 中夹杂的数字 m 可以化为 m· a a 式的能力. 知能训练 课本 P59 习题 2.1A 组 3. 利用投影仪投射下列补充练习: 1.化简:(1+2
1 ? 1 32

3 2

1 2 3

1 2

?

1 2

=m,需认真对待,要在做题中不断地提高灵活运用这些公

)(1+2

?

1 16

)(1+2

?

1 8

)(1+2
1 32 -1

?

1 4

)(1+2

?

1 2

)的结果是(
? 1 32

)
? 1 D. (1-2 32 ) 2 1

? 1 A. (1-2 32 )-1 2

B.(1-2

?

)

C.1-2

分析:根据本题的特点,注意到它的整体性,特别是指数的规律性,我们可以进行适当的变形. 因为(1+2
? 1 32

)(1-2

?

1 32

)=1-2
? 1 2

?

1 16

,所以原式的分子分母同乘以(1-2
? 1 2

?

1 32

),

依次类推,所以

(1 ? 2 )(1 ? 2 ) 1? 2
? 1 32

=

1 ? 2 ?1 1? 2
? 1 32

? 1 = (1-2 32 )-1. 2

1

答案:A

7 10 ? 3 0 -0.5 0.5 -4 2.计算(2 )0.5+0.1-2+(2 ) -3π +9 +49 × 2 . 9 27

2

1 7 25 2 27 3 1 3 9 解:原式=( ) +100+( ) -3+49 2 × = +100+ -3+ + =100. 3 16 9 64 16 5 16
3.计算 a ? 2 a ? 1 ?

1

2

1

a ? 2 a ? 1 (a≥1).
2 2

解:原式= ( a ? 1 ? 1) ? ( a ? 1 ? 1) ?

a ? 1 ? 1? | a ? 1 ? 1 | (a≥1).

本题可以继续向下做,去掉绝对值,作为思考留作课下练习.
? 1 4.设 a>0,x= (a n -a n ),则(x+ 1 ? x 2 )n 的值为_______. 2

1

1

分析:从整体上看,应先化简,然后再求值,这时应看到 解:1+x2=1+

1 n ?n 2 1 n ?n 2 (a -a ) = (a +a ) . 4 4

1

1

1

1

这样先算出 1+x2,再算出 1 ? x 2 ,
? ? ? 1 1 1 将 x= (a n -a n )代入 1+x2,得 1+x2=1+ (a n -a n )2= (a n +a n )2. 2 4 4

1

1

1

1

1

1

? ? 1 1 所以(x+ 1 ? x ) =[ (a n -a n )+ (a n +a n )2]n 2 4

1

1

1

1

2

n

=[

1 n ?n 1 n ?n n (a -a )+ (a +a )] =a. 2 2

1

1

1

1

答案:a 拓展提升 参照我们说明无理数指数幂的意义的过程,请你说明无理数指数幂 2 活动:教师引导学生回顾无理数指数幂 5
2 3

的意义.

的意义的过程,利用计算器计算出 3 的近似值,取
3

它的过剩近似值和不足近似值,根据这些近似值计算 2 近思想,“逼出” 2
3

的过剩近似值和不足近似值,利用逼

的意义,学生合作交流,在投影仪上展示自己的探究结果.

解:3=1.73205080…,取它的过剩近似值和不足近似值如下表.

3 的过剩近似值
1.8 1.74 1.733 1.7321 1.73206

2

3

的过剩近似值

3 的不足近似值
1.7 1.73 1.731 1.7319 1.73204

2

3

的不足近似值

3.482202253 3.340351678 3.324183446 3.32211036 3.322018252

3.249009585 3.317278183 3.319578342 3.321649849 3.3219722

1.732015 1.7320509 1.73205081

3.321997529 3.321997298 3.321997019

1.732049 1.7320507 1.73205079

3.321992923 3.321996838 3.321997045

我们把用 2 作底数, 3 的不足近似值作指数的各个幂排成从小到大的一列数 21.7,21.72,21.731,21.7319,…, 同样把用 2 作底数,

3 的过剩近似值作指数的各个幂排成从大到小的一列数:

21.8,21.74,21.733,21.7321,…,不难看出 3 的过剩近似值和不足近似值相同的位数越多,即 3 的近似 值精确度越高,以其过剩近似值和不足近似值为指数的幂 2α 会越来越趋近于同一个数,我们 把这个数记为 2
3

.
3

即 21.7<21.73<21.731<21.7319<…< 2 也就是说 2
3

<…<21.7321<21.733<21.74<21.8.

是一个实数, 2

3

=3.321 997 …也可以这样解释:
3

当 3 的过剩近似值从大于 3 的方向逼近 3 时, 2 当 3 的不足近似值从小于 3 的方向逼近 3 时, 2 所以 2
3

的近似值从大于 2 的近似值从小于 2

3

的方向逼近 2 的方向逼近 2

3

; .

3

3

3

就 是 一 串 有 理 指 数 幂 21.7,21.73,21.731,21.7319,…, 和 另 一 串 有 理 指 数 幂
3

21.8,21.74,21.733,21.7321,…,按上述规律变化的结果,即 2

≈3.321 997.

课堂小结 (1)无理指数幂的意义. 一般地,无理数指数幂 aα(a>0,α 是无理数)是一个确定的实数. (2)实数指数幂的运算性质: 对任意的实数 r,s,均有下面的运算性质: ①ar· as=ar+s(a>0,r,s∈R). ②(ar)s=ars(a>0,r,s∈R). ③(a· b)r=arbr(a>0,b>0,r∈R). (3)逼近的思想,体会无限接近的含义. 作业 课本 P60 习题 2.1 B 组 2. 设计感想 无理数指数是指数概念的又一次扩充,教学中要让学生通过多媒体的演示,理解无理数指数幂 的意义,教学中也可以让学生自己通过实际情况去探索,自己得出结论,加深对概念的理解,本 堂课内容较为抽象,又不能进行推理,只能通过多媒体的教学手段,让学生体会,特别是逼近的 思想、类比的思想,多作练习,提高学生理解问题、分析问题的能力.

备课资料 [备用习题] 1.以下各式中成立且结果为最简根式的是( A. )

a ? 5 a3 a? a
10 7

? 10 a 4
2 5

B. xy ( xy ) ? y ? 6 x ? y
2

C.

a2 b

b3 a

a ? 8 a 7 b15 b3

D. (3 5 ? 125) 3 =5+125 125 ? 23 5 ? 125 答案:B 2.对于 a>0,r,s∈Q,以下运算中正确的是( A.ar· as=ars 答案:B 3.式子 B.(ar)s=ars C.(

)

a r r s ) =a · b b

D.arbs=(ab)r+s

x?2 ? x ?1

x?2 x ?1

成立的充要条件是(

)

A.

x?2 ≥0 x ?1

B.x≠1

C.x<1

D.x≥2

分析:方法一: 要使式子

x?2 ? x ?1

x?2 x ?1

成立,需 x-1>0,x-2≥0,即 x≥2.

若 x≥2,则式子

x?2 ? x ?1 x?2 ? x ?1

x?2 x ?1

成立.

从而 x≥2 是式子 方法二: 对 A,式子

x?2 x ?1

成立的充要条件.故选 D.

x?2 ≥0 连式子成立也保证不了,尤其 x-2≤0,x-1<0 时式子不成立. x ?1

对 B,x-1<0 时式子不成立. 对 C,x<1 时 x - 1 无意义. 对 D 正确. 答案:D 4.化简 b - (2 b - 1) (1<b<2).

解: b - (2 b - 1) = ( b ? 1) = b -1(1<b<2).
2
3 3 5.计算 2 ? 5 ? 2 - 5 . 3 3 解:令 x= 2 ? 5 ? 2 - 5 ,

两 边 立 方 得 x3=2+ x3=4-3x,x3-3x+4=0. ∴(x-1)(x2+x+4)=0. ∵x2+x+4=(x+

5 +2

? 5 +3

3

2? 5 ?3 2- 5 ? (

3

2 ? 5 ? 3 2 - 5 ), 即

1 2 15 )+ >0, 2 4

∴x-1=0,即 x=1.
3 3 ∴ 2 ? 5 ? 2 - 5 =1.


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对数与对数运算2课时教案对数与对数运算2课时教案隐藏>> http://www.zhnet...1 2 3× 2 3 =22=4; =5-1= =(5 ) 2 ? 1 2 =5 1 2×( ?...
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《2.2.1 对数与对数运算》测试题一、选择题 1.(2012 安徽文) ( ). A....3.(2012 北京文改编 ) 函数 ( 且 ),若 ,则 的值等于( A. ). B.32 ...
[精品教案]2.2.1对数与对数运算(第一课时)
2.2.1 对数与对数运算教案 第一课时(一)教学目标 1.知识技能: ①理解对数的...(64) ?4 2 3?( ? ) 3 2 3 ? 2 3 ? (4 ) 3 ?2 ? 2 3 ?4...
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2.2.1 对数的运算法则(2)
对数的运算法则解决有关问题. 学习重点:对数运算法则及其应用. 学习难点:对数运...2 lg 2 ? 1 ; lg1.2 动动手:填空: ① log2 6 - log2 3 ? ② ...
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