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甘肃省天水市秦安县二中2014-2015学年高一上学期期中考试数学试卷(解析版)


甘肃省天水市秦安县二中 2014-2015 学年高一上学期期中考试 数学试卷(解析版)

一、选择题 1.已知集合 M=?1,2?,N= {b | b=2a- 1,a ? M} ,则 M A.{1} B.{1,2} C.{1,2,3}

N= (
D. ?

) .

【答案】C 【解析】

试题分析:由题设条件先分别求出集合 M 和 N,再由集合的运算法则求出 M ∵集合 M ? {1,, 2} N ? {b | b ? 2a ?1,a ? M} ? {1,, 3} ? M 考点:并集及其运算. 2.若全集 U={1,2,3,4}且 CU A ={2},则集合 A 的真子集共有( ) .

N.

N ? {1, 2, 3} .

A.3 个 B.5 个 C.7 个 D.8 个 【答案】C 【解析】 试题分析:根据题意,易得 A={1,0},由集合的元素数目与集合子集数目的关系,可得其子 集的数目,排除其本身这个子集后可得其真子集的数目,即可得答案.
3 根据题意,全集 U={1,2,3,4},且 CUA ? ?2?, 则 A={2,3,4},A 的子集有 2 ? 8 个,其中真

子集有 8-1=3 个; 考点:子集与真子集. 3.下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是(
1

) .

A.y=2x

B.y= x 2

C.y=2log0.3x

D.y=-x2

【答案】D 【解析】 试题分析:对于 A,定义域为 R,函数单调增,非奇非偶,不满足题意; 对于 B,定义域为 [0, ,非奇非偶,不满足题意; ? ?) 对于 C,定义域为 [0, ,非奇非偶,不满足题意; ? ?)

(0, ? ?) 对于 D,满足 f(-x)=f(x) ,函数为偶函数,且在区间 上单调递减,满足题意. 考点:函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 4.某研究小组在一项实验中获得一组关于 y,t 之间的数据,将其整理得到如右图所示的散 点图,下列函数中,最能近似刻画 y 与 t 之间关系的是( ) .

A.y=2t B.y=2t2 C.y=t3 D.y=log2t 【答案】D 【解析】 试题分析: 根据所给的散点图, 观察出图象在第一象限, 图象单调递增, 并且增长比较缓慢, 一般用对数函数模拟,在选项中只有一个底数是 2 的对数函数,得到结果.根据所给的散点 图,观察出图象在第一象限,单调递增,并且增长比较缓慢,一般用对数函数模拟,在选项 中只有一个底数是 2 的对数函数,故选 D. 考点:散点图. 5.函数的 f ? x ? ? log3 x ? 8 ? 2x 零点一定位于区间( A. (1, 2) 【答案】C 【解析】 试题分析:根据函数零点存在定理,若 f(x) ? log3x ? 8 ? 2x 若在区间(a,b)上存在零 点,则 f(a)f(b)<0,我们根据函数零点存在定理,对四个答案中的区间进行判断,即 可得到答案. 当 x=3 时 , B. (2,3) C. (3, 4) ) . D. (5, 6)

f( ) ? 3

3

l ?o

? g <3 ?

当 8?

x=4 ? 2

时 3

,1

0

,

f(4) ? log3 4 ? 8 ? 2 ? 4 ? log3 4>0,
即 f(3)f(4)<0 又∵函数 f(x) ? log 3x ? 8 ? 2x 为连续函数, 故函数 f(x) ? log3x ? 8 ? 2x 的零点一定位于区间(3,4). 考点:根的存在性及根的个数判断.

1 2 6.设 a ? ( ) , b ? 3 2 , c ? log 1 2 则( 3 3

1

) .

A. a ? b ? c B. b ? c ? a C. b ? a ? c D. c ? b ? a 【答案】C 【解析】 试题分析:由题根据指数,对数函数性质不难判断所给指数与 0,1 的关系,然后比较大小即 可.

?1? 0 ? ? ? ? 1,32 ? 1,log 1 2 ? 0,? b ? a ? c . ? 3? 3

2

1

考点:指数,对数大小比较 7.函数 y ? log 1 (6 ? x ? x2 ) 的单调增 区间是( .
2

) .

A. (??, ]

1 2

B. ( ?2, ]

1 2

C. [ , ??)

1 2

D. [ ,3)

1 2

【答案】D 【解析】 试题分析: 先根据对数函数的真数大于零求定义域, 再把复合函数分成二次函数和对数函数, 分别在定义域内判断两个基本初等函数的单调性,再由“同增异减”求原函数的递增区间; 要使函数有意义,则 6+x ? x 2>0 ,解得-2<x<3,故函数的定义域是(-2,3) ,
2 2 (x- ) ? 令 t ? ? x +x ? 6 ? ?

1 2

25 , 则函数 t 在 4

1 [ ,3) 上 得 到 递 减 , 所 以 函 数 2

1 2 在)[ ,3) 上单调递减. y?log 6x ?x 1 (? 2 2
考点:对数函数的单调性与特殊点. 8 . f ( x) ? loga x (0 ? a ? 1) 在区间 [a,2a] 上的最大值是最小值的 3 倍,则 a 的值为 ( A. ) .

2 4

B.

2 2

C.

1 4

D.

1 2

【答案】C 【解析】 试题分析:利用对数函数的单调性确定最大值和最小值,利用条件建立方程即可求 a.

0<a<1, ∴对数函数 f(x) ? loga x 在[a,2a]上单调递减,
∴最大值为 f(a) ? loga a ? 1 ,最小值为 f(2a)=loga2a, ∵f(x)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的 2 倍, ∴f(a)=2f(2a) ,? log a 2a ?

1 1 , ?a ? . 2 4

考点:对数函数的值域与最值. 9.函数 y ?

| x | e? x 的图像的大致形状是( x



A.

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】 试题分析:由函数的解析式先确定定义域,通过分类讨论去绝对值,利用函数图象的变换, 得函数的解析式.

e-x | x | ? e-x,x>0 ? ? -x 由函数的表达式知: x ? 0 y= 所以它的图象是这样得到的:保留 x ??e ,x<0
y= e-x ,x>0 的部分,将 x<0 的图象关于 x 轴对称. 考点:指数函数的图像与性质.
x x ?1 10.已知集合 A ? {x | a ? 4 ? 2 ? 1 ? 0}, B ? {x |

2x ? 1} ,若 A x ?1
D. ( ,8)

B ? ? ,则实数 a 的

取值范围为( A. ( ,8] 【答案】B 【解析】

) B. [ ,8)

5 4

5 4

C. [ ,8]

5 4

5 4

试 题 分 析 : 求 得 A?

?x

| xa ? 4

? x

1

2?

? ?1

? 0?

2 ( ) x x| a ? 2? x

, 2再 ?2由 ??

1

0

B ? ? ,可得方程 1 1 ( , 2] 上有解设 f(t) ( , 2] at 2 ? 2t ? 1 ? 0 在 ? at 2 ? 2t ?1 , 则由题意可得函数 ( f t) 在区间 2 2 1 a ? ? 2)(4a ? 5)<0 或 有 解 , 结 合 所 给 的 选 项 可 得 , a > 0 . 故 有 f( )f(2)( 2 4 A

? ? ? ? ?=4 ? 4a ? 0 ? 1 ? ? f ( )>0 或 f(2)=0.可得 a 的范围. 2 ? ? f ? 2 ?>0 ? ? 1 < 1 <2 ? ? 2 a
2 A ? ?x | a4 x ? 2 x ?1 ? 1 ? 0 ? ? ?x | a (2 x) ? 2 ? 2 x ? 1 ? 0?,

2x x ?1 ? 1} ? {x | ? 0} ? ?x | ?1<x ? 1?. x ?1 x ?1 1 ?1<x ? 1, ? <2 x ? 2, A B ? ?, ? at 2 ? 2t ? 1 ? 0 , 2 1 1 ( , 2] 上有解.设 f(t) ( , 2] 有解,结 在 ? at 2 ? 2t ?1 ,则由题意可得函数 f(t)在区间 2 2 B ? {x |
合所给的选项可得,a>0.

? ? ? ? ?=4 ? 4a ? 0 ? 1 1 a ? ? f( )f(2)( ? ? 2)(4a ? 5)<0 或 ? f ( )>0 或 f(2)=0. 2 4 2 ? ? f ? 2 ?>0 ? ? 1 < 1 <2 ? ? 2 a
综上可得 a 的范围为 [ ,8) . 考点:交集及其运算,不等式解法 11. f ( x ) 是定义在 (?2, 2) 上递减的奇函数,当 f (2 ? a) ? f (2a ? 3) ? 0 时,a 的取值范围 是( ) . B. (0, )

5 4

A. (0, 4)

5 2

C. ( , )

1 5 2 2

D. (1, )

5 2

【答案】D 【解析】 试题分析:首先因为 f(x)是奇函数,故有 f(-x)=-f(x) .f(2-a)+f(2a-3)<0 可变形 为 f(2-a)<f(3-2a) ,根据单调性列出一组等式 ?

? ?2<2 ? a<2 且 2-a>3-2a,解出即可 ??2<2a ? 3<2

得到答案. 因为 f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数,故有 f(-x)=-f(x) . 所以 f[-(2a-3)]=-f(2a-3) ,又因为:f(2-a)+f(2a-3)<0,则移向有 f(1-a)<-f(2a-3) , 所以有 f(1-a)<f(3-2a) . 又因为 f(x)在定义域内单调递减.且 1-a,3-2a 必在定义域(-2,2)内. 则有: ?

? ?2<2 ? a<2 5 且 2-a>3-2a,?1<a< . 2 ??2<2a ? 3<2

考点:函数奇偶性的性质;函数单调性的性质. 12. 若函数 f ? x ? ? ( ) ? log 2 x , 实数 x0 是函数 f ? x ? 的零点, 且 0 ? x1 ? x0 , 则 f ? x1 ? 的
x

1 3

值( ) .

A.恒为正值 B.等于 0 C.恒为负值 D.不大于 0 【答案】A 【解析】 试题分析:由题意得,函数的零点就是方程的根,也即是函数图象与 x 轴交点的横坐标.又 知函数的单调性,即可求出 f(x)的符号. 由 于 x0 是 函 数 f

? x ??(

1 x ) ? l 2o g x 的 零 点 , 则 f(x 0) ? 0,又 因 为 函 数 3

1 f ? x ? ? ( ) x ? log 2 x 在 (0, ? ?) 上是减函数,所以当 0<x1<x 0 时 ,f(x1)>f(x 0) 即 3
f(x1)>0 .
即函数 f(x)的值恒为正. 考点:函数零点的判定定理.

二、填空题 13.已知 f ( x) ? ? 【答案】-5 【解析】

? x 2 ? 1( x ? 0) ??2 x( x ? 0)

,若 f (a) ? 26 ,则 a ?



? x 2 ? 1( x ? 0) 试题分析:由已知中 f ( x) ? ? ,结合 f(a)=26,分 a≤0 和 a>0 分别求出满足 ??2 x( x ? 0)
? a 2 ? 1 ? 26 得 a=-5, 条件的 a 值, 最后综合讨论结果可得答案. 当 a≤0 时, 解 f(a) 或 a=5
(舍去)当 a>0 时,解 f(a)=-2a=26 得 a=-13(舍去)综上 a=-5 考点:函数的值. 14.函数 y ? a
x ?1

的图象恒过定点 ? 1(a>0 且 a ? 1)

.

【答案】 (1,2) . 【解析】 试题分析:由题意令 x-2=0,解得 x=2,再代入函数解析式求出 y 的值为 2,即可得所求的定 点. 令 x-1=0,解得 x=1,则 x=1 时,函数 y ? a ? 1 ? 2 ,即函数图象恒过一个定点(1,2) .
0

考点:指数函数恒过点 15.已知 f(x5)=lg x,则 f(2)=________. 【答案】 lg2 【解析】 试题分析: 令 t ? x ,通过换元求出 f(t)的解析式,将 t 用 2 代替求出 f(2)的值.
5

1 5

令 t ? x5 则 x=t 5 ? f (t)=lgt 5= lgt ? f ? 2 ?= lg2 考点:函数的值;函数解析式的求解及常用方法. 16.若 f(x)的定义域为 ( ,3) , 则函数 f(lg x)的定义域为 【答案】 【解析】 试题分析:根据 f(x)的定义域为 ( ,3) ,由 <lgx <3 求解 x 的取值集合即可得到答案. ∵f(x)的定义域为 ( ,3) 由 <lgx<3 得 10 ? x ? 1000 . ∴函数 f(lg x)的定义域为 考点:复合函数定义域 三、解答题 17.计算下列各式的值:
1 1 3 0 ?2 1 2 (1)(2 ) ? 2 ? ?0.064 3 ? (2 ) ; 5 4

1

1

1 5

1 5

?

10,1000

?

1 2

.

1 2

1 2

1 2

?

1 2

10,1000 .

?

4

(2) log3

2 27 ? lg 25 ? lg 4 ? 7 log7 . 3

【答案】 (1) ?

2 15 ;(2) . 5 4

【解析】 试题分析: (1) 由题根据指数运算性质首先将所给指数式化为分数指数幂形式, 再化简即可. (2)根据对数运算性质结合换底公式进行化简即可得到结果. 试题解析: (1)原式=1+
? 1 4

1 2 3 2 ? ? ?? 4 5 2 5

(2)原式= log3 3

1 15 ? lg ? 25 ? 4 ? ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? 4 4

考点:指数,对数运算 18.已知函数 f ( x) ? x ? 6x ? 7, x ?[1, 4] ,
2

(1)在给定直角坐标系中画出函数的大致图象; (每个小正方形边长为一个单位长度); (2)由图象指出函数 f ( x ) 的单调递增区间(不要求证明) ; (3)由图象指出函数 f ( x ) 的值域(不要求证明).

y

o

x

【答案】 (1)见解析; (2)[3,4]; (3)[-2,2] 【解析】 试题分析: (1)根据二次函数的图象和性质,可画出函数 f(x) ? x 2 ? 6x ? 7,x ?[1, 4] 的 图象; (2)根据(1)中函数的图象,根据图象上升,对应函数的单调递增区间,可得答案; (3)根据(1)中函数的图象,分析出函数的最值,进而得到函数 f(x)的值域. 试题解析: (1) : f(x)( ? x ? 3)? 2,x ??1, 4?
2

其图象如下图所示:

(2)由(1)中图象可得:f(x)的单调递增区间是[3,4]; (3)由(1)中图象可得:f(x)的最小值为-2,最大值为 2, 故 f(x)的值域是[-2,2] . 考点:函数图象的作法;函数的值域;函数单调性的判断与证明. 19.已知集合 A ? ?x | 2a ?1 ? x ? a ? 2? ,集合 B ? ?x |1 ? x ? 5? ,若 A B ? A ,求实数

a 的取值范围.
【答案】 a ? 1 【解析】 试题分析:由 A 与 B 的交集为 A,得到 A 为 B 的子集,分两种情况考虑:当 A 为空集时满 足题意;当 A 不为空集时,列出关于 a 的不等式组,分别求出 a 的范围即可. 试题解析: 当

A B ? A,? A ? B ,

A ? ? 时,满足 A ? B ,此时有 2a ? 1 ? a ? 2 ,解得 a ? 3

当 A ? ? 时,又有 A ? B ,且 B ? {x |1 ? x ? 5}

? ?2a ? 1 ? a ? 2 ? ?a ? 3 ? ?2a ? 1 ? 1 ? ?a ? 1 ? 1 ? a ? 3 , ? ? ?a ? 2 ? 5 ?a ? 3 则综上可得,实数 a 的取值范围为 a ? 1 .
考点:交集及其运算. 20.已知函数 f(x)= log 1 2 x - log 1 x +5,x∈[2,4],求 f(x)的最大值及最小值.
4

4

23 【答案】最大值 7,最小值 4
【解析】 试题分析:利用换元法,设 t ? log 1 x ,则 t ? ? ?1, ? ? ,把函数变为闭区间上的二次函数 2
4

? ?

1? ?

? 1 ? 19 f ?t ?=t -t+5= ? t ? ? ? ,然后利用函数的单调性求出函数的最值. 4 ? 2?
2

2

试 题 解 析 : 令 t ? log 1 x , ∵ t ? [2,4] , t ? log 1 x 在 定 义 域 内 递 减 , 则 有
4 4

log 1 4 ? log 1 x ? log 1 2 ,
4 4 4

即-1≤ log 1 x ≤ ?
4

1 1? ? ,∴ t ? ? ?1, ? ? . 2 2? ?
2

1? ? ? 1 ? 19 ∴ f ? t ?=t -t+5= ? t ? ? ? , t ? ? ?1, ? ? . 2? 4 ? ? 2?
2

∴f(t)在 ? ?1, ? ? 上是减函数. 2

? ?

1? ?

∴当 t ? ?

1 23 时,f(x)取最小值 ; 2 4

当 t=-1 时,f(x)取最大值为 7. 考点:对数函数的值域与最值;二次函数在闭区间上的最值. 21.函数 f(x)是 R 上的偶函数,且当 x>0 时,函数的解析式为

f ? x? ?

2 ? 1. x

(1)求 f(-1)的值; (2)求当 x<0 时,函数的解析式; (3)用定义证明 f(x)在(0,+∞)上是减函数.

【答案】 (1)1;(2)

; (3)见解析

【解析】 试题分析: (1)因为 f(-1)=f(1),代入计算即可; (2)x<0 时,-x>0,代入已知 x>0 时,

f ? x? ?

2 2 2 ? 1,可得 f ? ? x ? ? ? ? 1 ,根据偶函数的性质可求得 f ? x ? ? ? ? 1 ;(3)根 x x x

据函数单调性的定义按五步法证明即可; 试题解析: (1)由题函数为偶函数,所以 f(-1)=f(1)=2-1=1; (2) (2)x<0 时,-x>0,代入已知 x>0 时, f ? x ? ? 据偶函数的性质可求得 f ? x ? ? ?

2 2 ? 1,可得 f ? ? x ? ? ? ? 1 ,根 x x

2 ?1; x

(3)任取 x1 , x2 ? ? 0, ?? ? , x1 ? x2 ,? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?

2 2 2 ? x2 ? x1 ? ? ? ?0, x1 x2 x1 x2

即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,所以函数 f(x)在 (0,+?) 为减函数. 考点:函数单调性的判断与证明;函数解析式的求解及常用方法. 22.已知函数 f ( x ) ,当 x, y ? R 时,恒有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) . (1) 求证: f ( x) ? f (? x) ? 0 ; (2) 若 f (?3) ? a ,试用 a 表示 f (24) ; (3) 如果 x ? R 时, f ( x) ? 0, 且 f (1) ? ?

1 ,试求 f ( x ) 在区间 [?2, 6] 上的最大值和最小 2

值. 【答案】 (1)见解析; (2)-8a; (3)最大值 1,最小值-3. 【解析】 试题分析: (1)令 x=y=0,利用已知可得 f(0)=0.再令 y=-x,则 f(-x)=-f(x) . (2)利用 奇函数的性质由 f(-3)=a=-f(3) ,可得 f(3)=-a,进而得到 f(6)=2f(3) ,f(12)=2f (6) , f (24 )=2f (12) . ( 3 ) 先利用定义证明 f( x )在 R 上单调递减.设 x1<x 2, 则

x 2>x1,x 2 ? x1>0 . 利 用 已 知 可 得 f(x 2 ? x1)<0 . 进 而 得 到 f(x 2) ? f(x 2 ? x1 ? x1) ? f(x 2 ? x1) ? f(x1)<f(x1), 然 后 通 过 所 给 函 数 值
1 f (1) ? ? ,求得最小值 f(6),最大值 f(-2)即可. 2
试题解析: (1) 令 x ? y ? 0 得 f (0) ? 0 , 再令 y ? ? x 得 f (? x) ? ? f ( x),

? f (? x) ? f ( x) ? 0.

(2) 由 f (?3) ? a f (3) ? ?a,

? f (24) ? f (3 ? 3 ? ??? ? 3) ? 8 f (3) ? ?8a
(3)设 x ? ? ??, ??? ,且 x1 ? x2 , 则 f ( x2 ) ? f [ x1 ? ( x2 ? x1 )] = f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 )

又 x2 ? x1 ? 0,? f ( x2 ? x1 ) ? 0 , ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) , ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x) 在 R 上是减函数, ? f ( x)max ? f (?2) ? ? f (2) ? ? f (1) ? 1 ,
1 f ( x) min ? f (6) ? 6 f (1) ? 6 ? (? ) ? ?3 . 2
考点:抽象函数及其应用;函数单调性的性质;函数奇偶性的判断;函数的值.


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