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1.3.2函数的极值与导数上课1


1.3.2函数的极 值与导数
高二数学

导数及其应用

复习:函数单调性与导数关系 设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导,
f(x)增函数 f(x)减函数 y
y=f(x) f '(x)>0

y
y=f(x)

f '(x)<

;0

o

o a b x 如果在某个区间内恒有 f ?( x) ? 0,则 f ( x 为常数 . )
a b

x

巩固: 1 3 1 2 7 f(x) ? x - x ? 单调区间 解: 3 2 2
(第一步) 定义域R,f′(x)=x2-x=x(x-1) (第二步) 令x(x-1)>0, 得x<0或x>1, 则f(x)单增区间(-∞,0),(1,+∞) (第三步)令x(x-1)<0,得0<x<1, f(x)单减区(0,1). 注意: 求单调区间: 1:首先注意 定义域, 2:其次区间不能用 ( U) 连接

求参数的取值范围
例1:求参数的范围 若函数f(x)? ax - x ? x - 5在(-?,+?)上单调递增,
3 2

求a的取值范围

1 a? 3

例方程根的问题: 求证:方程
1 x ? sin x ? 0只有一个根。 2

1 f ( x ) ? x - sin x,x ? ( ?? , ?? ) 2 1 f '( x ) ? 1 ? cos x ? 0 2 ? f(x)在( ? ?, ? ?)上是单调函数, 而当x ? 0时,( f x )=0 1 ? 方程x ? sin x ? 0有唯一的根x ? 0. 2

一、复习导入------导入新课
还记得高台跳水的例子吗? h 最高点

h(t)=-4.9t2+6.5t+10

o

a

t

一、复习导入----------导入新课
2.跳水运动员在最高处附近的情况:

在 (1) t=a 当 附近 t=a 时运动员距水面高度最大, , 先增后减, h ’(x)先正后负, (2) 当 t<a 时f(x) h(t) 的单调性是怎样的呢? 导数的符号有什么变化规律? 对于一般函数是否也有同样的性质吗?
h 最高点 h(t)=-4.9t2+6.5t+10 t
单调递增 h ’(t)>0

(3)当t>a时h(t)的单调性是怎样的呢? hh(t) ’(x) 在此点的导数是多少呢? 连续变化,于是有h ’(a)=0.f(a)最大。
h ’(a)=0 单调递减 h ’(t)<0

o a

+ t<a

- t=a

t>a

一、复习导入------导入新课
3.(1) 如图,y=f(x)在 d 、e等点的 函数值与这些点附近的函数值有什 么关系?导数值呢?导数符号呢? y

探究

cd

e

f o g

h

I

j

x

一、复习导入------导入新课

3.(2) 如图,y=f(x)在a、b点的函数值 与这些点附近的函数值有什么关系? 导数值呢?导数符号呢? f ’(b)=0 极大点 y f ?( x ) >0 f ?( x )<0

探究

f ?( x ) <0 a
f ’(a)=0

f ?( x) >0
o 极小值点 b

x y-=f(x)

二、讲授新课-----了解概念
什么是极小值点、极小值、 极大值点、极大值、极值点、极值?
x f ’(x) <a =a 0 >a +

小结

极大值点和极小值点 极大值和极小值 单调 单调 统称为极值点 f(x) 极小值 统称为极值 递减 递增
x <b + =b 0 极大值 >b -

f(b) y

a
o b

f ’(x) f(x)

x y=f(x)

单调 递增

单调 f(a) 递减

定义
一般地, 设函数

y
f ?(a) ? 0 f ?(a ? ?x) ? 0

?x ? 0
f ?(a ? ?x) ? 0 f ?(b ? ?x) ? 0

f (x) 在点x0附近有
定义, 如果对x0附近 的所有的点, 都有

f ?(b ? ?x) ? 0
3

我们就说 f (x0)是 f (x)

f ( x) ? f ( x0 )
-2

-1

1

2

f ?(b) ? 0
4

x

5

O

a

b

的一个极大值, 点x0叫做函数 y = f (x)的极大值点.
反之, 若

小值, 点x0叫做函数 y = f (x)的极小值点. 极小值点、极大值点统称为极值点, 极大值和极小值 统称为极值.

f ( x) ? f ( x0 ) , 则称 f (x0) 是 f (x) 的一个极

练习1
下图是导函数 y

y ? f ?( x) 的图象, 试找出函数 y ? f ( x) y ? f ?( x)
x3 x x5

的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.

a x1 O

x2

x4

x6

b

总结
? 1.理解极值概念时需注意的几点 ? (1)函数的极值是一个局部性的概念,是仅 对某一点的左右两侧附近的点而言的. ? (2)极值点是函数定义域内的点,而函数定 义域的端点绝不是函数的极值点. ? (3) 若 f(x) 在 [a , b] 内有极值,那么 f(x) 在 [a , b] 内绝不是单调函数,即在定义域区间上 的单调函数没有极值.

? (4)极大值与极小值没有必然的大小关系.一个 函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大 值,在某一点的极小值可能大于另一点的极大 值.(如图(1))

? (5)若函数f(x)在[a,b]上有极值,它的极值点的 分布是有规律的(如图(2)所示),相邻两个极大值 点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小 值点之间必有一个极大值点.

探究:极值点处导数值(即切线斜率)有何特点?
y y

分析y?x3
3

y?f(x)

O

由f ( x) ? x , 得f ' ( x) ? 3x ,
2

x
a

在x ? 0处,f( ' 0) ? 0,
f ?(x2)=0 f ?(x3)=0

O

x1

f ?(x1)=0

x2 x

x x b 3 ? 0是极值点吗?

结论:极值点处,如果有切线,切线水平的.即: f ?(x)=0

思考;若 f ?(x )=0,则x0是否为极值点?
0

思考1
y
+ + o

(1)导数为0的点一定是 函数的极值点吗? Y=x3
例如:f(x)=x3

f ’(x)=3x2≥0
f ’(0)=3×02=0 x x x<0 f ’(x) + f(x) X=0 X>0 0 +

若f(x0) 是极值,则f ’(x0)=0。 反之, f ’(x0)=0,f(x0)不一定是极值 y=f(x)在一点的导数为0是函数y=f(x) 在这点取得极值的 必要条件。

进一步探究:极值点两侧函数图像单调性有何特点?
极大值

极小值

即: 极值点两侧单调性互异

探究:极值点两侧导数正负符号有何规律?
y y?f(x) f ?(x)<0 极大值点两侧 f ?(x)>0 f ?(x)<0

x
f?(x) f(x)

X<x2


x2
极大值

X>x2


f?(x) >0 f?(x) =0 f?(x) <0

f ?(x)>0
x2 b x

O a x1 极小值点两侧

x1 X<x1 X>x1 f?(x) f?(x) <0 f?(x) =0 f?(x) >0 减 极小值 增 f ( x)

x

结论:极值点处,f?(x) =0 注意:(1) f?(x0) =0, x0不一定是极值点
(2)只有f?(x0) =0且x0两侧单调性不同 , x0才是极值点. (3)求极值点,可以先求f?(x0) =0的点,再列表判断单调 性

1 3 例1 求函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 4 的极值. 3 解: 定义域为R 1 3 2 因为 f ( x) ? x ? 4 x ? 4, 所以 f ?( x) ? x ? 4. 3 令 f ?( x) ? 0, 解得 x ? 2, 或 x ? ?2.
当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表:

x

(–∞, –2)

–2

(–2, 2) –

2 0

( 2, +∞)

f ?( x)

+

0

+

f (x) 单调递增

28 / 3 单调递减

? 4 / 3 单调递增

所以, 当 x = –2 时, f (x)有极大值 28 / 3 ;

当 x = 2 时, f (x)有极小值 – 4 / 3 .

例题1图像
y f(x)=1/3 x3-4x+4 + 28/3

-2 -4/3

o

2
+ x

1 解:f(x)= ? x, 所以x ? 0 x 1 x2 ?1 f '( x) ? ? 2 ? 1 ? 2 , f '( x) ? 0时,x ? ?1 x x 当x变化时,f'(x),f(x)变化如下表

1 求函数y ? ? x的极值。 x

导函数的正负是 交替出现的吗?

不是

x
f '( x)

(–∞, –1)

-1 0
极大值

(-1,0) (0,1) -

1 0
极小值

+

( 1, +∞) +

f ( x)

所以,当x=-1是,函数的极大值是-2,当x=1时,函数的 极小值是2

求函数极值(极大值,极小值)的一般步骤:

(1)确定函数的定义域
(2)求方程f’(x)=0的根

(3)用方程f’(x)=0的根,顺次将函数的定义域分成 若干个开区间,并列成表格 (4)由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号,来判断 x0 f(x)在这个根处取极值的情况 若f ’(x0)左正右负,则f(x0)为极大值; 若 f ’(x0)左负右正,则f(x0)为极小值 +

+

求定义域—求导—求极点—列表—求极值

x0

练习2
求下列函数的极值:

(1) f ( x) ? 6 x ? x ? 2; (2) f ( x) ? x ? 27 x; 3 3 (3) f ( x) ? 6 ? 12 x ? x ; (4) f ( x) ? 3x ? x . 解: 定义域为R 1 (1) f ?( x) ? 12 x ? 1, 令 f ?( x) ? 0, 解得 x ? . 列表: 12
2 3

x

f ?( x)
f (x)

1 (??, ) 12


1 12 0

1 ( ,??) 12 +

单调递减

49 ? 24

单调递增

1 49 1 所以, 当 x ? 时, f (x)有极小值 f ( ) ? ? . 12 24 12

练习2
求下列函数的极值:

(1) f ( x) ? 6 x ? x ? 2; 3 (3) f ( x) ? 6 ? 12 x ? x ; 解: 定义域为R
2

(2) f ( x) ? x ? 27 x; 3 (4) f ( x) ? 3x ? x .
3

(2) 令f ?( x) ? 3x 2 ? 27 ? 0, 解得 x1 ? 3, x2 ? ?3.列表:
x
(–∞, –3) –3 (–3, 3) – 单调递减

3 0

( 3, +∞)

f ?( x)

+

0

+
单调递增

f (x) 单调递增

54

? 54

所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .

练习2
求下列函数的极值:

(1) f ( x) ? 6 x ? x ? 2; (2) f ( x) ? x ? 27 x; 3 3 (3) f ( x) ? 6 ? 12 x ? x ; (4) f ( x) ? 3x ? x . 解: 定义域为R 2 ? (3) 令f ( x) ? 12 ? 3x ? 0, 解得 x1 ? 2, x2 ? ?2.
2 3

所以, 当 x = –2 时, f (x)有极小值 – 10 ; 当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 .

(4) 定义域为R,令f ?( x) ? 3 ? 3x ? 0, 解得 x1 ? 1, x2 ? ?1.
2

所以, 当 x = –1 时, f (x)有极小值 – 2 ;

当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 .

思考2
y

(2).极大值一定比极小值大吗?
y ? f ( x)

a

x1

o

极 大 值
x2
x3

x4

极 小 值

极 小 值
x5 x6

b

x

结论:不一定

极值是函数的局部性概念

单调性的判别法 单 调 1.求导,2.求临界点 性 3. 列表,4.单调性

y

y ? f ( x)
A

B

y

A y ? f ( x)
B

o

a

f ’(x)>0单调弟增
y

b

x

o a

f ’(x)<0单调递减
y

b

x

函 数 的 性 质

单调区间的求法
o

函数极值的定义

x0

x

o

x0

x

函 数 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 极 值 求极值的步骤:1.求导,2.求极点,3.列表,4.求极值
y y

函数极值的求法

? ?
o
x0

?
x

?
x0

小 结

o

x

设 f ( x ) 在点 x0 处具有导数,且在 x0 处取得极值,那末必定 f ' ( x0 ) ? 0 .

必要条件

思考:已知函数 f ? x ? ? ax3 ? bx2 ? 2x 在 x ? ?2, x ? 1 处取得极值。 (1)求函数 f ? x ? 的解析式 (2)求函数 f ? x ?的单调区间

解:(1)f ' ? x ? ? 3ax2 ? 2bx ? 2

f ( x)在x ? ?2, x ? 1取得极值,
1 1 解得:a ? , b ? 3 2

?12a ? 4b ? 2 ? 0 ? f ?(?2) ? 0, f ?(1) ? 0 即 ? ? 3a ? 2b ? 2 ? 0 1 3 1 2 ? f ? x ? ? x ? x ? 2x 3 2

(2)

f ' ? x ? ? x2 ? x ? 2

由f ' ? x ? ? 0

得:x ? 1或x ? ?2

? f ( x)的单调递增区间为: ? ??, ?2?
由f ' ? x ? ? 0

?1, ???

得: ? 2 ? x ?1 ? f ? x ?的单调递减区间为: (?2,1)

? 例 3 已知 f(x) = ax3 + bx2 + cx(a≠0) 在 x =
? ? ? ?

±1时取得极值,且f(1)=-1, (1)试求常数a、b、c的值; (2)试判断x=±1时函数取得极小值还是极 大值,并说明理由. [解析] (1)由f′(-1)=f′(1)=0,得3a+2b +c=0,3a-2b+c=0. 又f(1)=-1,∴a+b+c=-1.

1 3 ∴a=2,b=0,c=-2.

1 3 3 (2)f(x)= x - x, 2 2 3 2 3 3 ∴f′(x)= x - = (x-1)(x+1). 2 2 2 当 x<-1 或 x>1 时,f′(x)>0;当-1<x<1 时,f′(x)<0, ∴函数 f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数,在(- 1,1)上为减函数. ∴当 x=-1 时, 函数取得极大值 f(-1)=1; 当 x=1 时, 函数取得极小值 f(1)=-1.

? [点评] 若函数f(x)在x0处取得极值,则一 定有f′(x0)=0,因此我们可根据极值得到 一个方程,来解决参数.

思考

已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? (a ? 6) x ? 1

有极大值和极小值,求a范围? 解析 :f(x)有极大值和极小值
f’(x)=0有2实根,

??0
解得 a>6或a<3


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