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四点共圆(三)


第二十六讲

四点共圆(三)

【典例精讲】
例 1 、三 角 形 ABC 的 内 切 圆 O ,切 BC 、CA 于 D 、 E 两 点 ,延 长 AO 和 ED 交 于 G ,求 证 : AG ? BG 。
A

E

F

O G

B

D

C

CD , EO ? FO 。 例 2、 设 O 为圆的弦 MN 的中点, 过 O 作弦 AB 、 连结 AD 、BC 交于点 F 、E , 求证:

D M F

B N

E

C A

例 3 、如图,四边形 A 1A 2A 3A 4 内接于一圆,?A 1 A2 A 3 的内心是 I 1 ,?A2 A 3 A4 的内心是 I 2 ,?A 3 A4 A 1 的内心是 I 3 . 求证: (1) A2 、 I 1 、 I 2 、 A3 四点共圆; (2) ?I1I 2 I3 ? 90? 。

A4 I3 A1 I1 A2 I2 A3

例 4 、 如 图 , O 为 两 个 同 心 圆 的 圆 心 , 自 圆 外 一 点 A 引 大 圆 的 切 线 AB , 其 切 点 为 B , 又 自 A 引 小 圆 的 切 线 AD 、 AE , 求 证 : OB 平 分 ? DBE 。

E A O D B
例 5 、设 ?ADE 内接于圆 O ,弦 BC 分别交 AD 、 AE 边于点 F 、 G ,且 AB ? AC ,求证: F 、 D 、 E 、 G 四点共圆。

A

G D F B E

C

例 6、 如图, 在 圆 的 直 径 BA 的 延 长 线 上 取 一 点 E , 由 E 引 割 线 EC D , 并 引 AB 的 垂 线 EF ,EF 与 BD 、 BC 延 长 线 的 交 点 分 别 为 F 、 G , 求 证 : C 、 D 、 F 、 G 四 点 共 圆 。
F

D G C B

E

A

O

例 7、 设 D 是等腰直角三角形 ABC 底边 BC 的中点, 过 C 、D 两点 (但不过点 A ) 任作一圆交直线 AC 于点 E ,连结 BE 交此圆于点 F ,求证: AF 垂直 BE 。
A

F

E

B

D

C

例 8 、 (1)如图 1, ?ABC 中, AC ? BC ,点 E , F 分别在线段 AC , BC 上运动(不与端点重合) ,而且 CE ? BF , O 是 ?ABC 的外心,试证明 C , E , O , F 四点共圆.
C

E O F

A

B

图1 (2)如果将图 1 中的点 C “分离”成两个点,那么就有:如图 2 所示,在凸四边形 ABCD 中, AD ? BC ,点 E , F 分别在线段 AD ,BC 上运动 (不与端点重合) , 而且 DE ? BF , 直线 AC ,BD 相交于点 P , 直线 EF ,

BD 相交于点 Q ,直线 EF , AC 相交于点 R .当点 E , F 分别在线段 AD , BC 上运动(不与端点重合)时,
探究 ?PQR 的外接圆是否经过除点 P 外的另一个定点?如果是,请给出证明,并指出是哪个定点;如果不是, 请说明理由.

D E R P Q

C

F A B

图2

例 9 、设⊙ O1 、⊙ O2 、⊙ O3 两两外切,Y 是⊙ O1 与⊙ O2 的切点, R 、 S 分别是⊙ O1 、⊙ O2 与⊙ O3 的切点,连心线 O1O2 交⊙ O1 于点 P ,交⊙ O2 于点 Q 。求证: P 、 Q 、 R 、 S 四点共圆。

P

O1

Y

O2

Q

R O3

S

【强化训练】
1、 在梯形 ABCD 中,AB // CD ,AB ? CD ,K ,M 分别是腰 AD 、CB 上的点,?DAM ? ?CBK , 求证: ?DMA ? ?CKB 。

D

C M

K

A

B

2、如图, ?ABC 的内切圆分别切 AB 、 AC 于点 E 、 F , D 是 BC 的中点, ? B 、 ?C 的平分线分 别与直线 EF 交于点 N 、 M ,证明: DM ? DN 。
A

E

M N I F

B

D

C

3、已知 ABCD 是平行四边形, DH ? AB 于 H , BC 中垂线 MS 交 DH 于点 M ,交 BC 于点 S , AD 中 点为 K 。求证: ?MKB ? 90? 。

D M K

C

S

A

H

B

4 、 由 圆 周 上 任 一 点 P 引 弦 AB 的 垂 线 PQ , 垂 足 为 Q , 再 由 P 点 引 过 A 、 B 两 点 的 切 线 的 垂 线 PR ,

PS , 垂 足 分 别 为 R 、 S , 求 证 : PQ2 ? PR ? PS 。
R P A Q O S

B

5、 从 圆 心 O 作 圆 外 任 意 直 线 l 的 垂 线 , 垂 足 为 A , 从 A 引 割 线 交 圆 于 B 、 C 两 点 , 过 B 、 C 的 两 切 线 与 l 分 别 交 于 D 、 E 两 点 , 求 证 : AD ? AE 。

O

C

B l D A E

6、如图,在等腰三角形 ABC 中, P 为底边 BC 上任意一点,过点 P 作两腰的平行线分别与 AB 、 AC 相交于 Q 、 R 两点,又点 P ' 是点 P 关于直线 QR 的对称点,求证:点 P ' 在三角形 ABC 的外接圆上。

A R P' Q

B

P

C

7、如图, AB // DF ,它们之间的距离等于 AB ; AC // DE ,它们之间的距离等于 AC ; BC // EF , 它们之间的距离等于 BC ,求证: A1 、 B1 、 C1 、 A2 、 B2 、 C2 六点共圆。
D A2 A1 A B2 B C E C1

F

B1

C2

8、已知 PQRS 是圆内接四边形, ?PSR ? 90 ? ,过点 Q 作 PR 、 PS 的垂线,垂足分别为点 H 、 K , 求证: HK 平分 QS 。
Q

R

H K

P

S

B C 9、 如图, 在 ?A

P, 的两边 AB ,AC 上分别取点 Q , 使得 ?PBC ? ?QCB ?

1 ?A .求证: BQ ? CP . 2
A

Q P

B

C

10 、 如 图 所 示 , 在 梯 形 ABCD 中 , AD // BC , BC ? BD ? 1 , AB ? AC , CD ? 1 , 且 ?BAC ? ?B D C? 1 8 0 ? ,求 CD 的长。

A

D

B

C

11、在锐角三角形 ABC 中, AB 不等于 AC , AD 是高,H 是 AD 上一点,连结 BH 并延长交 AC 于 点E , 连结 CH 并延长交 AB 于点 F , 已知 B 、C 、E 、F 四点共圆, 问:H 是否一定是三角形 ABC 的垂心?证明你的结论。
A

E F H

B

D

C

12 、 ?ABC 的重心 G 关于边 BC 的对称点是 G ' ,证明: A 、 B 、 G ' 、 C 四点共圆的充分条件是

AB2 ? AC2 ? 2BC2 .

A

F G

E

B

D

C

G'

13、 AB 为圆 O 的直径,C 在圆 O 上并且 OC 垂直 AB , P 为圆 O 上一点,位于 B 、C 之间,直线 CP 与 AB 相交于点 Q ,过 Q 作直线与 AB 垂直,交直线 AP 于点 R ,求证: BQ ? QR 。
R

C P

Q A O B

14、如图,在三角形中,已知 AD 垂直 BC , BE 垂直 CA , AD 与 BE 相交于点 H , P 为边 AB 的中 点,过点 C 作 CQ 垂直 PH ,垂足为点 Q 。求证: PE2 ? PH ? PQ 。

A

E H

P

Q

C

D

B

15、如图, ABCD 是圆内接四边形, AC 是圆的直径, BD ? AC , AC 与 BD 的交点为 E , F 在 DA 的延长线上,连结 BF , G 在 BA 的延长线上,使得 DG // BF , H 在 GF 的延长线上, CH ? GF , 证明: B 、 E 、 F 、 H 四点共圆。
G

F H A

B

E

D

C

16 、 自 圆 外 一 点 P ,向 圆 心 两 旁 引 割 线 PAB ,PCD ,劣 弧 AB 和 CD 的 中 点 分 别 为 M 、N ,MC 、MD 与 弦 AB 的 交 点 分 别 为 E 、 F , NA 、 NB 与 弦 CD 的 交 点 分 别 为 G 、 H , 求 证 : E 、 F 、 H 、 G 四 点共圆。
B M F O

E A

D

H

G N

C

P

17 、 H 为 ?ABC 内 一 点 , ?BHC ? ?BAC ? 180 ? , ?AHC ? ?ABC ? 180 ? ,求 证 : H 为 ?ABC 的 垂 心 。
A

F

E H B D C

18 、 如 图 , P 为 ?ABC 外 接 圆 上 一 点 , 在 边 AC 、 BC 及 AB 的 延 长 线 上 各 有 一 点 E 、 D 、 F , 若 ?C EP? ?C DP ? ?AFP, 求 证 : F 、 D 、 E 在 同 一 条 直 线 上 。

A

O D

E

B

C P

F

19 、 若 四 边 形 两 组 对 边 乘 积 的 和 等 于 对 角 线 的 乘 积 , 则 四 边 形 四 个 顶 点 共 圆 。
A

D

B

C


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