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浙江省宁波市效实中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题


宁波效实中学

二O一五学年度 第 一 学 期

期中考试试卷

高一数学
说明: 本试卷分必做题和附加题. 必做题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共 100 分;附加题 5 分计入总分,若总分超过 100 分,以 100 分计. 请在答题卷内按要求作答 第Ⅰ卷(选择题 共 24 分)

>
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分.在每小题给出的四个选项中只有一项 是符合题目要求的. 1.下列各组函数中,表示同一函数的是

A . f ( x) ? 1, g ( x) ? x

0

x2 ?1 B . f ( x) ? x ? 1, g ( x) ? x ?1
D . f ( x) ?

C . f ( x) ? x, g ( x) ? ( x )2
2.设 a ? b ,则下列不等式成立的是

x 2 , g ( x) ? x

A . a 2 ? b2

B.

1 1 ? a b

C . a 3 ? b3

D . 2a ?b ? 1

3.已知集合 M ? {5, a2 ? 3a ? 5}, N ? {1,3} ,若 M ? N ? ? ,则实数 a 的值为
A .1 B. 2

C. 4

D .1 或 2

?0, x ? 0 ? 4.已知 f ( x) ? ??1, x ? 0 ,则 f ? f ? f (? )?? 的值为 ? x 2 ? 1, x ? 0 ?
A .0 B . ?1
3

C .2

D . ? 2 ?1 .

4 2 4 3 ? 3 ?4 3 5.设 a ? ( ) , b ? ( ) 4 , c ? ? ? ,则 a, b, c 的大小关系是 3 3 ?2?
A .a ? c ? b B .a ? b ? c

C .c ? b ? a

D .b ? c ? a

2 6.不等式 f ( x) ? ax ? x ? c ? 0 的解集为 x ?2 ? x ? 1 ,则函数 y ? f (? x) 的图像为

?

?

A.

B.

C.

D.

7.已知函数 f ? x ? 和 g ? x ? 均为奇函数,h ? x ? ? a ? f 大值 5,那么 h ? x ? 在 ? ??,0? 上的最小值为( )

3

? x? ? b ? g ? x ? ? 2 在区间 ? 0, ??? 上有最
D. ? 1

A. ? 5

B. ? 9

C. ? 7

8. 设 x1 , x2 ? R ,函数 f ? x ? 满足 2 x ? 小值为

1? f ? x? ,若 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 1,则 f ? x1 +x2 ? 的最 1? f ? x?
D. 1 4

A.

4 5

B. 2

C. 4

第Ⅱ卷(非选择题 共 76 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,其中第 9 题至第 12 题每小题 4 分,第 13 题至第 15 题每小题 3 分,共 25 分. 9. 若函数 f (1 ? x) ? ? x ? 1 ,则 f ? ?2? ? 10. 集合 A ? x | y ? ▲ , f ? x? ? ▲ . ▲ ,

?

4 ? x2 ,集合 B ? y | y ? 4 ? x2 ,则 CR B=

?

?

?

A? B ?

▲ .
x ?2

11. 已知函数 f ( x) ? a

? 1(a ? 0 且 a ? 1) 的图像恒过定点 A 的坐标为
平移 ▲ ▲



,将 f ? x ?
x

的图像向下平移 1 个单位,再向 ▲

个单位, 即可得到函数 y ? a 的图像. , 使得 f : x ? 2 x ? 1 是 A 到 B 的

12. 若集合 B ? ??1,3,5? , 试写出一个集合 A ? 映射;这样的集合 A 共有 13. 已知函数 f ( x) ? 为 ▲ . ▲ 个.

? x 2 ? 2ax ? 3 在 ??2, ?1? 单调递增,则实数 a 的取值范围

2 14. 设 f ? x ? ? 2 ? x ,若 0 ? a ? b ,且 f ? a ? ? f ?b ? ,则 ab 的取值范围为 ▲ .

15. 已知函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 2 x, x ? 0 ? ,若 f ( f ? a ?) ? 3 ,则实数 a 的取值范围为 ▲ . 2 ? ?? x , x ? 0

三、解答题:本大题共 5 小题,共 51 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
? 3 2 0 ? 27 ? 3 ? ? ? ? ? ? 0.1? ? 8 ? 2

16、 (本题共 10 分) (1)计算: 4

(2)解关于 x 的不等式: x 2 ? 3 x ? 6 ? 2 x

17、 (本题 10 分)已知 f ? x ? ? 2 ? 4 .
x x

(1)若 x ?? ?2,2? ,求函数 f ? x ? 的值域;

(2)求证:函数 f ? x ? 在区间 ? ??, ?1? 上单调递增. 18、 (本题 11 分)已知函数 f ? x ? ? 3 ? k ? 3 为奇函数.
x ?x

(1)求实数 k 的值; (2)若关于 x 的不等式 f 9 围.

?

a x2 ?2 x

? 1 +f ?1 ? 3a x ?2 ? ? 0 只有一个整数解,求实数 a 的取值范

?

19、 (本题 10 分)设 a , b 是正实数,且 a ? b ? 1 ,记 x ? ab, y ? ? a ? (1)求 y 关于 x 的函数关系式 f ? x ? ,并求其定义域 I ; (2)若函数 g ? x ? ?

? ?

1 ?? 1? ?? b ? ? . a ?? b?

k ? f ? x ? ? 1 在区间 I 内有意义,求实数 k 的取值范围.
? ? x ?3 ? x ? , 0 ? x ? 3 , (a ? R) . ? ?? x ? 3?? a ? x ? , x ? 3

20、 (本题 10 分) 设 f ? x ? 是偶函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? ? ? (1)当 x ? 0 时,求 f ? x ? 的解析式;

(2)设函数 f ? x ? 在区间 ? ?5,5? 上的最大值为 g ? a ? ,试求 g ? a ? 的表达式.

附加题: (本题共 5 分,成绩计入总分,但若总分超出 100 分,以 100 分计.)
e x ? e? x e x ? e? x , g ? x? ? , (e ? 2.71) ,则 21. 已知函数 f ? x ? ? 2 2
(1) 函数 g f ? x ? 的单调递增区间为

?

?

; .

(2) 若有 g f ? a ? ? f ?b? ?1 ,实数 b 的取值范围为

?

?

2015 学年度高一上学期期中考试答案
一、选择题: 1、D 2、C 3、D 二、填空题: 9、4 , ? x ? 2 4、C 5、 C 6、B 7、 B 8、A 11、 ? 2, 2 ? , 左,2

10、 ? ??,0? ? ? 2, ??? ,

??2,2?

12、有 7 个结果任写一个比如 ?0,2,3? , 7 14、

13、 ? ,1? ?4 ?

?1 ?

? 0, 2?
11 8

15、 (??, 3]

三、解答题: 16、 (1)

? x 2 ? 3x ? 6 ? 0 (2)同解于: ,解集为 ? x 3 ? x ? 6? ? 2 x ? x ? 3x ? 6 ? 2 x, 即 ? 2 ? x ? 5x ? 6 ? 0
2

17、 (1) y ? t ? t , t ? 2 ? ? , 4 ? ?4 ?
2 x

?1

?

1? ? , ? y ? ??12, ? 4? ?

(2)任设 x1 ? x2 ? ?1 ,则
x1 x2 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? (2 x1 ? 2 x2 ) ? (4 x1 ? 4 x2 ) ? (2 x1 ? 2 x2 ) ? ?1 ? (2 ? 2 ) ? ?

? x1 ? x2 ? ?1, ? 2 x1 ? 2 x2 ?

1 x x x x , ? 2 1 ? 2 2 ? 0, 1 ? ? 2 1 ? 2 2 ? ? 0 2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0, ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,故 f ? x ? 在区间 ? ??, ?1? 上单调递增.

? f ? x ? ? f ? ? x ? ? ? k ? 1? 3x ? 3? x ? 0 对一切实数 x 都成立, 18、 (1)? f ? x ? 是奇函数,
?k ? ? 1

?

?

(2)判断知f ? x ? 为递增函数,结合奇函数,原不等式可化为:9ax 即:32 ax
2

2

?2 x

? 1 ? 3ax?2 ? 1,

?4 x

? 3ax ?2 , 化为: 2ax 2 ? 4 x ? ax ? 2, ? ? ax ? 2 ?? 2 x ? 1? ? 0

当a ? 0时,显然不符合题设条件; ?1 2? 当a ? 0时,解集必为 ? , ? , 欲使得包含一个整数,这个整数必为1,从而 ?2 a? 2 1 ? ? 2, ?1 ? a ? 2 a

19、 (1)

? a ? b ? ? 2ab ? 1 b a 1 a 2 ? b2 1 y ? ab ? ? ? ? ab ? ? ? ab ? a b ab ab ab ab ab 1 ? 2ab 1 2 2 ? ab ? ? ? ab ? ? 2 ? x ? ? 2, ab ab ab x
2 2

1 ? a?b? 1 ? ab ? ? ? ? ,? 0 ? x ? 4 4 ? 2 ? 2 ? 1? ? f ? x ? ? x ? ? 2, 定义域I ? ? 0, ? x ? 4?
(2)容易证明函数 f ? x ? ? x ?

2 ? 1? ? 2, 定义域I ? ? 0, ? 上单调递减, x ? 4?

所以 f ? x ? ? f ? ? ?

?1? ?4?

25 1 4 ,? 有最大值 , 4 f ? x? 25
1 4 恒成立,故k ? . f ? x? 25

由 k ? f ? x ? ? 1 ? 0, 得k ?

20、 (1) (1) f ? x ? ? ?

? ? x ? x ? 3? , ? 3 ? x ? 0 ? ? ? x ? 3?? a ? x ? , x ? 3

9 ? , ? a ? 6? ? 4 ? 2 ?? a ? 3 ? (2) g ? a ? ? ?? ? , ?6 ? a ? 7? ?? 2 ? ? 2a ? 10, ? a ? 7 ? ? ?

附加题: 21.(1) ?0, +? ? (开区间也对) (2) ?0, +? ?


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