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1.1.2余弦定理(已修改)


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B c A b C D a ·O B

c
A b

· O

a
C

图 2

D

a b c 正弦定理: = = ? 2R sinA sinB sinC
变型: a = 2RsinA,b = 2RsinB,c = 2RsinC

a : b : c = sinA : sinB : sinC

已知△ABC中的边b,c,∠A,则边a如何用 它们表示出来呢?通过什么方法呢? C ? 向量的数量积

?

b

?

a

C b A c a B

A
? ?

c
?

B
? ? ?

设 AC ? b, AB ? c , BC ? a

? a ? b? c
?2 ? ?

?

?

?
? ?

a ? (b ? c )? (b ? c )

?2

a ? b? b ? c ?c ? 2 b?c = b + c - 2bccosA
2 2

? ?

? ?

? ?

a2 ? b2 + c2 - 2bccosA
同理可得

注:当A=90? 时,此 结论即为勾股定理.

b ? a + c - 2accosB
2 2 2

c ? a + b - 2abcosC
2 2 2

知识要点
余弦定理(law of cosines) 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方 的和减去这两边与它们夹角余弦的积得两倍.即

a ? b + c - 2bccosA
2 2 2

b ? a + c - 2accosB
2 2 2

c ? a + b - 2abcosC
2 2 2

能否把式子 角的关系式?

a ? b ? c ? 2bc cos A 转化为
2 2 2

a b c 由正弦定理 : = = = 2R sinA sinB sinC

得 : a = 2RsinA b = 2RsinB c = 2RsinC

代入a = b + c - 2bccosA并化简得 :

2

2

2

sin A = sin B + sin C - 2sinBsinCcosA

2

2

2

余弦定理的变形:

b +c -a cosA = , 2bc
c +a -b cosB = , 2ca
2 2 2

2

2

2

a2 + b 2 - c2 cosC = 。 2ab
注意:余弦定理适用直角三角形吗?

a2 + b 2 - c2 cosC = . 2ab
C=90°
2

a2+b2=c2

b +c -a cosA = , 2bc
c +a -b cosB = , 2ca
2 2 2

2

2

b cosA = c

a cosB = c

余弦定理适用任何角三角形.

余弦定理的用途:
(1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和 其它两角; (3)判断三角形的形状.

在ΔABC中, 2 2 2 若a + b = c ,则C为直角;

若a + b > c ,则C为锐角;

2

2

2

若a + b < c ,则C为钝角.

2

2

2

例1 已知△ABC的三边为 7 、2、1,求它的最大 内角. 解:不妨设三角形的三边分别a= 则最大内角为∠A,
7 ,b=2,c=1

由余弦定理

b 2 + c2 - a2 cosA = , 2bc
0

得到 A = 120

在解三角形时有时候用到余弦定理, 有时候用到正弦定理,这两种方法有什么 利弊吗?

1.已知两边和其中一边所对的角时,用正弦定理求另 一边所对的角,应用内角和定理求第三个角,在用正 弦定理求第三边; 2.已知两个角与其中一角所对的边时,先用内角和定 理求第三角,再用正弦定理求边; 3.已知两边和它们的夹角时,用余弦定理求第三边; 4.已知三边时,应用余弦定理求出一个角,把问题转 化为前面的类型.

例2 在三角形ABC中,已知a=7,b=10,c=6,判定三 角形ABC的形状.

分析:三角形ABC的形状是由大边b所对的大 角B决定的.
解:由余弦定理

a2 + c2 - b 2 cosB = , 2ac 0 0 2 2 2 得到 B ? (90 ,180 ) ? b > a + c
所以说三角形是钝角三角形.

例3 求 sin 70 ? sin 50 ? sin70 sin50 的值.
2 0 2 0 0 0

分析:根据此式子

sin A = sin B + sin C - 2sinBsinCcosA
解:原式 ? sin2 700 ? sin2 500 ? 2sin700 sin500 cos600
3 ? sin 60 ? 4
2 0

2

2

2

例6 我舰在敌岛A南偏西50°相距12海里的B处,发 现敌舰正由岛沿北偏西10°的方向以10海里/小时的 速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行 才能用2小时追上敌舰? 解:如图,在△ABC中由余弦定理得:
BC = AC + AB - 2 ? AB ? AC ? cos?BAC 1 2 2 = 20 + 12 - 2 ? 12 ? 20 ? (- ) 2 = 784 ?
2 2 2

C

10? A 50?

  ? BC = 28

40

B

∴我舰的追击速度为14n mile/h 又在△ABC中由正弦定理得:

AC BC = sinB sinA ACsinA 5 3 故sinB = = BC 14 5 3 ∴ B = arcsin 14
5 3 故我舰行的方向为北偏东 (50 -arcsin ) . 14
o

课堂小结
1.余弦定理(law of cosines) 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方 的和减去这两边与它们夹角余弦的积得两倍.即

a ? b + c - 2bccosA
2 2 2

b ? a + c - 2accosB
2 2 2

c ? a + b - 2abcosC
2 2 2

2.余弦定理的变形:

b +c -a cosA = , 2bc
c2 + a2 - b 2 cosB = , 2ca

2

2

2

a +b -c cosC = 。 2ab

2

2

2

3.余弦定理的用途: (1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和 其它两角; (3)判断三角形的形状.

在ΔABC中,
若a + b = c ,则C为直角; 2 2 2 若a + b > c ,则C为锐角;
2 2 2

若a + b < c ,则C为钝角;

2

2

2

高考链接
1.(08陕西)△ABC的内角A,B,C的对边分
别为a,b,c,若c= 2 ,B=120°,则a

等于( D )
【解析】由余弦定理,有 b 2 =a 2 ? c 2

?2accosB ,得 6=a2 ? 2 ? 2 ? a ? 2 cos120? ,
解得 a= 2 ,故D.

2.(07湖南)△ABC的内角A,B,C的

对边分别为a,b。C,若a=1,b=

7 ,c= 3 ,则B=( C )
【解析】将数据代入 b 2 =a 2 +c 2 ? 5? 2accosB ,得 cosB= ? 3 ,∴ B= . 2 6

3.(08宁夏)如果等腰三角形的周长是底 边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为 (D) A. 15 8
3 B. 4

C.

3 2

7 D. 8

【解析】设等腰三角形的底边为a,顶 角为 ? ,则腰长为2a,由余弦定理得,

4a2 ? 4a2 ? a2 7 ,故选D. cos? = = 2 8a 8

课堂练习
1. 在△ABC中,已知B=30°,b=50 ,c=150,那么这 个三角形是( D ) A 等边三角形?B 直角三角形? C 等腰三角形? D 等腰三角形或直角三角形 2.在△ABC中,角A、B均为锐角且cosA>sinB, 则△ABC是 钝角三角形

π 3.在△ABC中,已知AB = 2, AC = 3,∠A = , 3 求BC的长。
解:利用余弦定理可知:

BC2 = AB 2 + AC2 - 2AB ? AC ? cosA 1 = 4 + 9 - 2? 2? 3? = 7 2 ?BC = 7

则实数a的取值范围是 ( A )

a -1 4.是△ABC中的最小角,且 cosA = a +1

A. a≥3
C. -1<a≤3

B. a>-1
D. a>0

5.在△ABC中,若 (a + c)(a - c) = b(b + c)
则∠A=( C )
0 90 A.
0 60 B.
0 120 C.

D. 150

0

a + b = 10 ,cosC是方程 6.在△ABC中, 2x2 - 3x - 2 = 0 的一个根,求△ABC周长

1 解: ? 2x - 3x - 2 = 0 ? x1 = 2, x 2 = 2 又? cosC 是方程 2x2 - 3x - 2 = 0 的一个根
2

的最小值.

1 ? cosC = - 由余弦定理可得: 2
2 2 2

则: c = 100 - a ?10 - a ? = ? a - 5 ? + 75
2 2

2 ? 1? c = a + b - 2ab? ? - ? = ? a + b ? - ab ? 2?

当 a = 5 时,c最小且 c = 75 = 5 3
此时 a + b + c = 10 + 5 3

△ABC周长的最小值为 10 + 5 3

?

教材习题答案
1.(1)A ? 39.6 , B ? 58.2 , c ? 4.2cm;
0 0

(2)B ? 55.80 ,C ? 81.90 ,a ? 10.5cm; 2.(1)A ? 43.50 , B ? 100.30 ,C ? 36.20 ; (2)A ? 24.70 , B ? 44.90 ,C ? 110.40.


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