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【赢在课堂】2015-2016学年高一数学人教A版必修4课件:1.4.3 正切函数的性质与图象 ppt


1.4.3

正切函数的性质与图象

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学习目标 重点难点

1.能够作出 y=tan x 的图象; 2.

记住正切函数的性质; 3.会利用正切函数的图象与性质解决相关问题. 重点:正切函数的性质; 难点:正切函数的图象、性质及其应用.

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函数y=tan x的图象与性质

解析式

y=tan x

图象

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续表

解析式 y=tan x 定义域 值域 R 周期 最小正周期是 π 奇偶性 奇函数

x x ≠ + k,k∈Z 2

单调性 在开区间 - + π, + π (k∈ Z)上都是增函数
2 2

π

π

对称性

正切函数是中心对称图形,其对称中心为 对称轴

π 2

,0 (k∈ Z),无

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预习交流
y=tan x在定义域上是增函数吗?

π π 提示:y=tan x在每个开区间 - + π, + π ,k∈Z内都是增函数,但在整个 2 2
定义域上不具有单调性.

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迁移应用

一、正切函数的图象及应用

π π , 的图象的步骤 1.利用正切线作函数y=tan x,x∈ 2 2

(1)作直角坐标系,并在y轴左侧作单位圆. (2)把单位圆右半圆分成8部分,分别在单位圆中作出正切线. (3)描点.横坐标是一个周期的8等分点,纵坐标是相应的正切线. (4)连线. 2.“三点两线法”作正切曲线的简图

(1)“三点”分别为(kπ,0),
π 2

π 4 π 2

+ π,1 , - + π,-1 ,其中 k∈ Z; 两
4

π

线为直线 x= +kπ 和直线 x=- +kπ,其中 k∈ Z(两线也称为正切曲线 的渐近线,即无限接近但不相交).
(2)作简图时,只需先作出一个周期中的两条渐近线,然后描出三个点,用光滑的 曲线连接得一条曲线,最后平行移动至各个周期内即可.

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迁移应用

【例1】 画出函数y=|tan x|的图象,并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周 期性. 思路分析:画出y=tan x的图象,再画出y=|tan x|的图象,利用图象研究函数的性质. 解:由y=|tan x|得,

y=

tan,π ≤ < + π,∈Z, -tan,- + π < < π,∈Z,
2 π 2

π

其图象如图所示.

由图象可知,函数 y=|tan x|是偶函数,单调递增区间为 π, + π ,k∈Z,单调递减区间为 - + π,π ,k∈Z,周期为 π.
2 2 π π

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迁移应用

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迁移应用

设函数 f(x)=tan

2

-

π 3

,

(1)求函数 f(x)的周期,对称中心. (2)作出函数 f(x)在一个周期内的简图. 1 π π 解 :(1)∵ω= ,∴周期 T= = 1 =2π. 令 ? =
2 3 π 3 π 2 π 2

,k∈ Z,得 x= +kπ,k∈ Z,
2π 3 3



2

∴f(x)的对称中心是
令 ? = ,则 x= . 令 ? =- ,则 x=- .
2 3 2 2 3 π 2 π 3 π 2 π π 3 5π

+ π,0 ,k∈ Z.

(2)令 ? =0,则 x= .



∴函数 y=tan

3 π 2

-

3

的图象与 x 轴的一个交点坐标是
π 3 π 5π 3 3

2π 3

,0 ,在
5π 3

这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是 x=- ,x= ,从而 得函数 y=f(x)在一个周期 - , 内的简图 (如图 ).

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二 二、正切函数的性质及其应用 1.正切函数常用的三条性质

迁移应用

(1)对称性:正切函数图象的对称中心是 ,0 ,k∈Z,不存在对称轴. 2 π π (2)单调性:正切函数在每个区间 - + π, + π ,k∈Z内是单调递增的,但 2 2 不能说其在定义域内是递增的.

π

π (3)渐近线:直线x= 2 +kπ,k∈Z称为正切曲线的渐近线,渐近线把正切曲线分

成无数个不连续的部分.正切曲线在渐近线右侧向下无限接近渐近线,在渐近线左 侧向上无限接近渐近线.

π (1)一般地,函数y=Atan(ωx+φ)+k(ω≠0)的最小正周期T= || .
(2)当ω>0时,函数y=Atan(ωx+φ)+k具有周期性,最小正周期是

2.对函数y=Atan(ωx+φ)+k(ω≠0)周期的两点说明

π

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迁移应用

【例2】 求下列函数的定义域:

(1)y=

1 1+tan

;

(2)y=lg( 3-tan x).
思路分析:写出使得函数有意义时所满足的条件,结合三角函数的定义域求若干

三角不等式的交集即可.

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1

迁移应用

解 :(1)要使函数 y=

有意义 ,必须且只需 1 + tan ≠ 0, π ≠ + π,∈ Z, 2 所以函数的定义域为
1+tan

∈R,且 ≠ - + π, ≠ + π,∈Z .
4 2

π

π

(2)因为 3-tan x>0,所以 tan x< 3. π 又 tan x= 3时 ,x= +kπ,k∈ Z,
3

根据正切函数图象 ,得- +kπ<x< +kπ,k∈ Z,
2

π

π 3

所以函数的定义域是 - + π < <
2

π

π 3

+ π,∈Z .

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迁移应用

【例 3】 求函数 y=tan
π 2 1 π π 2

1 2

-

π 4

的单调区间.

解 :由 - +kπ< x- < +kπ,k∈ Z,得 - +2kπ<x< +2kπ,k∈ Z,
2 2 π 2 3π 4

所以函数 y=tan 2π ,k∈ Z.

1 2

-

π 4

的单调递增区间是 - + 2π,
2

π

3π 2

+

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迁移应用

1.求函数 y= tan + 1+lg(1-tan x)的定义域. tan + 1 ≥ 0, 解:由题意得 即 -1≤tan x< 1. 1-tan > 0, 在 - ,
π π 2 2

内 ,满足上述不等式的 x 的取值范围是 - ,
π 4 π 4

π π 4 4

,

又 y=tan x 的周期为 π, 所以函数的定义域是 - + π, + π ,k∈Z.

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迁移应用

2.求函数 y=tan 解 :y=tan
π 2 4π 3 π 6 4

π 6 4 π

-

的单调递减区间.
π 4

-

4 π

=-tan
6 2 8π 3

-

6

.

由 - +kπ< ? < +kπ,k∈ Z, 得 - +4kπ<x< +4kπ,k∈ Z.

∵y=tan ∴y=-tan

π 4 6 π 4

-

在 -



-

6

在 -

3 4π 3

+ 4π,



+ 4π,

3 8π 3

+ 4π ,k∈ Z 内递增 , + 4π ,k∈ Z 内递减 ,此即为

原函数的单调递减区间 .

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案例探究

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误区警示 思悟升华 类题试解

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忽视正切函数的单调性致误 设 M=tan 13π 4

,N=tan -

12π 5

,则 M 与 N 的大小关系为(

)

A.M<N B.M≤ N C.M>N D.不能确定 答案 :C ① 解析 :因为正切函数为周期函数 , 所以 tan tan π 2 12π 5 13π 4

=tan - -3π =tan 2π 5 4

π

π 4

,


=tan π π 2 2 π 2 π 4

-2π =tan -

2π 5

,

又因为在 - ,
2π 5

上正切函数是单调递增的 ,
π

- <- <- < , 所以 tan 即 tan 2π 5 12π 5

<tan -

<tan -

4 13π 4

, ,即 M>N.

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案例探究

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错解 错因剖析 选D 忽视①处正切函数的周期性,不能将调区间造成误选 D
13 4

和-

12 5

转化为同一单

续表

错解 错因剖析 选A 忽视 ②处正切函数的单调区间 ,认为tan 13 4 13 4

<-

12 5

,从而误认为

<tan -

12 5

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案例探究

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误区警示 思悟升华 类题试解

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1.性质的转化利用 一些常用性质的转化在解题中往往起到关键性作用,如本例中由角的大小可得 到函数的大小. 2.特殊情况的处理 在利用三角函数的性质时,要警惕函数的单调区间,如本例比较大小时,要把两 个角转化到同一单调区间内.

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案例探究

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设 Q=tan

21π 5

,P=tan =tan
π 2

17π 7 π 5

,则 Q 与 P 的大小关系为
π 5

.

答案 :Q<P tan
17π 7

解析 :∵tan =tan 又 0< <
5 π π

21π 5 3π 7

+ 4π =tan ,
3π 7 π 2

+ 2π =tan , 上单调递增 ,



∴tan 5 <tan 7 ,即 Q<P.

7 3π

< ,且 y=tan x 在 0,


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