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重庆八中2014届高三第二次月考 数学文试题 Word版含答案


重庆八中 2013—2014 学年度(上) 高三年级第二次月考

数 学 试 题 (文史类)
数学试题(文史类)共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只有 一项是符合题目要求的

1 ( i 为虚数单位)的模为 i ?1 2 1 (A) (B) (C) 2 2 2 (2)已知向量 a ? (1, m), b ? (m,2) ,若 a // b , 则实数 m 等于
(1)复数 Z ? (3)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S7 ? 14 ,则 a4 ? (A) 2 (A) ? 2 (B) 2 (C) ? 2 或 2

(D) 2

(D) 0 (D) 7

(B) 3 (C) 4 1 (4)函数 f ( x) ? ? 4 ? x 2 的定义域为 ln( x ? 1) (A) [?2,0) ? (0,2] (B) (?1, 2] (C) [?2, 2]

(D) (?1,0) ? (0,2]

? x ? y ? 11 ? 0 ? (5)设实数 x, y 满足不等式组 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?x ? 0 ? (A) 13 (B) 19 (C) 24 (D) 29
(6)设 a, b ? R , 则 “ a ? b ”是“ (a ? b)b 2 ? 0 ”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (7)将函数 y ? sin(2 x ? ? ) 的图象 F 向右平移 中心是 ( ? ,0) ,则 ? 的一个可能取值是 (A) ?

3 8

? 个单位长度得到图象 F ' ,若 F ' 的一个对称 6 2 1 1 0.5 2
5 ? 12

0.5

11 ? 12

(B)

11 ? 12

(C) ?

5 ? 12

(D)

1 1
正视图 侧视图

(8)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 (A) 12 ? 2? (B) 12 ? ? (C) 38 ? 2? (D) 38 ? ? 俯视图 (9) 已知定义在 R 上的函数 f (x) ,对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ? f (1) 成立,若函数

y ? f ( x ? 1) 的图象关于点 (?1,0) 对称,则 f (2014) =
(A)0 (B)2014 (C)3 (10)如图,在多面体 ABCDEF 中,已知 ABCD 是边长为 1 的正 方形,且 ?ADE , ?BCF 是正三角形, EF // AB, EF ? 2 ,则该多面 , (D)—2014

E

F
D
A B
C

体的体积为 (A) 2 (B)

2 3

(C)

2 2 3

(D) 2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应的位置上 (11)求值: tan 420 ? ? ________. (12)若 | a |? 1, | b |? 2, | a ? b |? 3 ,则向量 a, b 的夹角为________. ( 13 ) 函 数 f ( x) ? 3 s i n x c o ?x ? c o 2 ?x ? ? s s

(14)球 O 的球面上有三点 A, B, C , BC ? 3, ?BAC ? 30? ,过 A, B, C 三点作球 O 的截面, 球心到截面的距离为 4 ,则该球的体积为_______. (15)已知 m, n, s , t ? R ? , m ? 2n ? 5, 是 1 ,则 m ? 3n ? ________.

? ? ________.

1 ? ,则 (? ? 0) , 其 最 小 正 周 期 为 2 2

m n ? ? 9, n ? m ,且 m, n 是常数,又 s ? 2t 的最小值 s t

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (16) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分) 设 f ( x) ? 2 x ? ax ? bx ? 1 错误!未找到引用源。的导数为 f ' ( x) 错误!未找到引用
3 2

源。,若函数 y ? f ' ( x) 错误!未找到引用源。的图象关于直线 x ? ? 对称,且函数 f ( x) 在 x ? 1处取得极值. (I)求实数 a, b 的值; (II)求函数 f (x) 错误!未找到引用源。的单调区间.

1 错误!未找到引用源。 2

(17) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分) ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c .已知 3 cos(B ? C ) ? 1 ? 6 cos B cos C . (I)求 cos A ; (II)若 a ? 3 , ?ABC 的面积为 2 2 ,且 b ? c ,求 b, c .

(18) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分) 如图所示,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是个边长为 2 的正方形,侧棱 PA ? 底面 ABCD ,且 PA ? 2 , Q 是 PA 的中点. (I)证明: PC // 平面 BDQ ; (II)求三棱锥 C ? BDQ 的体积.

(19) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分) 已知数列 {an } 为递增等差数列,且 a2 , a5 是方程 x ? 12 x ? 27 ? 0 的两根.数列 {bn } 为
2

等比数列,且 b1 ? a2 , b4 ? a5 .
2

(Ⅰ)求数列 {an }和{bn } 的通项公式; (Ⅱ)若 cn ? an ? bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 S n .

(20) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 8 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? (a ? 2) x ? ln x(a ? R) .
2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 0 时,若 f (x) 在区间 [1, e] 上的最小值为 ? 2 ,求 a 的取值范围.

(21) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 3 分, (Ⅱ)小问 9 分)

x2 y 2 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别是 F1 , F2 , 离心率 e ? ,P 为椭 2 a b 圆上任一点,且 ?PF1 F2 的最大面积为 1 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点,且以 AB 为直径的圆恒过原点 O , m 若实数 m 满足条件 AO ? AB ? ,求 m 的最大值. tan ?OAB

重庆八中 2013—2014 学年度(上) 高三年级第二次月考

数 学 试 题 (文史类)参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只有 一项是符合题目要求的 题号 答案 题号 答案 1 B 2 C 11 3 A 4 D 12 5 A 6 B 13 2 7 D 14 8 C 9 A 15 10 B

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应的位置上

3

2 ? 3

500 ? 3

7

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (16) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分) 【解】 (I)求导得: f ' ( x) ? 6 x ? 2ax ? b
2

1 ? 2a ?? ?? 依题意有: ? 12 ,解得: a ? 3, b ? ?12 2 ? f ' (1) ? 6 ? 2a ? b ? 0 ? 2 (II)由(I)可得: f ' ( x) ? 6 x ? 6 x ? 12 ? 6( x ? 1)( x ? 2) 令 f ' ( x) ? 0 得: x ? 1 或 x ? ?2 令 f ' ( x) ? 0 得: ? 2 ? x ? 1

综上:函数 f (x) 的单调递增区间是 (??,?2), (1,??) ,单调递减区间是 (?2,1) (17) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分) 【解】 (I) 3(cos B cosC ? sin B sin C) ? 1 ? 6 cos B cosC

1 1 1 ? cos(B ? C ) ? ? ? cos( ? A) ? ? ? cos A ? ? 3 3 3 2 2 (II)由(I)得 sin A ? ,由面积可得 bc ? 6 ?① 3 b2 ? c 2 ? a 2 b2 ? c 2 ? 9 1 则由余弦定理 cos A ? ? ? ? b 2 ? c 2 ? 13 ?② 2bc 12 3 b ? 3 ?b ? 2 ? 联立①②得 ? 或? (舍). ?c ? 2 ?c ? 3 综上: b ? 3, c ? 2
(18) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分) 【解】 (I)证明:连结 AC ,交 BD 于 O 因为底面 ABCD 为正方形, 所以 O 为 AC 的中点.又因为 Q 是 PA 的中点,所 OQ // PC , 因为 OQ ? 平面 BDQ , PC ? 平面 BDQ , 所以 PC // 平面 BDQ (II) VC ? BDQ ? VQ ? BCD ?

1 1 2 ? S?BCD ? QA ? ? 2 ? 1 ? . 3 3 3

(19) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分) 【解】 (Ⅰ) a2 ? 3, a5 ? 9 ? 3d ? 6, d ? 2 ? an ? 3 ? (n ? 2) ? 2 ? 2n ? 1 又 b1 ? a2 , b4 ? a5 ,得 b1 ? 3, b4 ? 81 ,所以 q ? 3 , bn =3
2 n

(Ⅱ) cn ? an ? bn ? (2n ? 1) ? 3 所以

n

S n ? 1? 3 ? 3 ? 32 ? 5 ? 33 ? ? ? (2n ? 3) ? 3n ?1 ? (2n ? 1) ? 3n ? ①② 3S n ? 1? 32 ? 3 ? 33 ? ? ? (2n ? 5) ? 3n ?1 ? (2n ? 3) ? 3n ? (2n ? 1) ? 3n ?1 ? ②
2 3 n ?1

①-②得: ?2Sn ? 1? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? ? ? 2 ? 3

? 2 ? 3n ? (2n ? 1) ? 3n ?1

2 ? 32 ? (1 ? 3n?1 ) ? (2n ? 1) ? 3n ?1 ? ?6 ? 2(n ? 1) ? 3n ?1 1? 3 n ?1 所以 Sn ? 3 ? (n ? 1) ? 3 ? 3?
(20) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 6 分) 【解】 (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? 3x ? ln x, f ' ( x) ? 2 x ? 3 ?
2

1 , x 此时: k ? f ' (1) ? 0, f (1) ? ?2 ,于是:切线方程为 y ? ?2

(Ⅱ) f ' ( x) ? 2ax ? (a ? 2) ?

1 2ax2 ? (a ? 2) x ? 1 (2 x ? 1)( ax ? 1) ? ? x x x 1 1 令 f ' ( x) ? 0 得: x1 ? , x2 ? 2 a



1 函数 y ? f (x) 在 [1, e] 上单调递增,于是 f min ( x) ? f (1) ? ?2 ? 1 即 a ? 1 时,f ' ( x) ? 0 , a

满足条件 当1 ?

1 1 1 1 ? e 即 ? a ? 1 时,函数 y ? f (x) 在 [1, ] 上单调递减,在 [ , e] 上单调递增,于是 a e a a 1 f min ( x) ? f ( ) ? f (1) ? ?2 不满足条件 a

1 1 时 , 函 数 y ? f (x) 在 [1, e] 上 单 调 递 减 , 此 时 ?e 即 0?a? a e f min ( x) ? f (e) ? f (1) ? ?2 不满足条件 综上所述:实数 a 的取值范围是 a ? 1
当 (21) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 3 分, (Ⅱ)小问 9 分)

? c 2 ?e ? ? a 2 ? ? 【解】 (Ⅰ)依题意得: ? S max ? bc ? 1 ,解得: a ? 2 , b ? 1, c ? 1 ? 2 2 2 ?a ? b ? c ? ?

x2 于是:椭圆 C 的方程 ? y2 ? 1 2
(Ⅱ)设直线 l 的方程 y ? kx ? n 由 ?

?x2 ? 2 y2 ? 2

?y ? kx? n ? 4kn 2n 2 ? 2 , x1 x2 ? 2 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 2k 2 ? 1 2k ? 1 由于以 AB 为直径的圆恒过原点 O ,于是 OA ? OB ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ?? 0
又 y1 y2 ? (kx ? n)( kx2 ? n) ? k x1 x2 ? kn( x1 ? x2 ) ? n ? 1
2 2

得: (2k ? 1) x ? 4knx ? 2n ? 2 ? 0
2 2 2

n 2 ? 2k 2 2k 2 ? 1

2n 2 ? 2 n 2 ? 2k 2 于是: ? ? 0 ,即 3n2 ? 2k 2 ? 2 ? 0 2 2 2k ? 1 2k ? 1 m m 依题意有: AO ? AB ? ,即 | AO | ? | AB | cos?OAB ? tan ?OAB tan ?OAB 化简得: m ?| AO | ? | AB | sin ?OAB ? 2 S ?OAB
因此,要求 m 的最大值,只需求 S ?OAB 的最大值,下面开始求 S ?OAB 的最大值:

? 4k n 2 2n 2 ? 2 | AB |? 1 ? k | x1 ? x2 |? 1 ? k ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? 1 ? k ? ( 2 ) ? 4 ? 2 2k ? 1 2k ? 1
2 2 2 2

16 k 2 ? 8n 2 ? 8 ? 1? k ? 2k 2 ? 1
2

点 O 到直线 AB 的距离 d ?

S , 于是: ?OAB 1? k2 2 2 2 2 又因为 3n ? 2k ? 2 ? 0 ,所以 2k ? 3n ? 2 ,
代入得 S ?OAB ?

|n|

n 2 (16 k 2 ? 8n 2 ? 8) 1 1 ? ? | AB | ?d ? ? 2 2 2k 2 ? 1

n 2 (16 n 2 ? 8) 1 2n 4 ? n 2 ? ? 2? 2 3n 2 ? 1 3n 2 ? 1 t ?1 2 2 令 t ? 3n ? 1 ? n ? 3 2 t ?1 2 2 1 1 (t ? 1) 2 ? t ? t? 9 3 ? 2? 9 9 9 ? 2 ? 1 (? 1 ? 1 ? 2) 于是: S ?OAB ? 2 ? t t2 9 t2 t
当 ?

1 t

2 1 即 t ? 2 ,即 n ? ?1 时, S ?OAB 取最大值,且最大值为 2 2

于是: m 的最大值为 2


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