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9-5用向量方法证明平行与垂直


2012-2013 学年度第一学期数学理科一轮复习导学案 主 备 人 : 郭 佳 佳 审 核 人 : 吴 哲

编号:9-5

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使 用 时 间 :

课题:9-5 用向量方法证明平行与垂直
【考纲要求】
1.理解直线的方向向量及其平面的法向量. 2.能用向量语言表述直线和直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系. 3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理) .

(3)面面的平行与垂直 设平面 α、β 的法向量分别为 n1、n2,则: α 与 β 平行或重合 ? α⊥β ? ; ;

若 v1、v2 是与 α 平行的两个不共线向量,n 是平面 β 的法向量,则: α 与 β 平行或重合 ? α⊥β ? 3. 三垂线定理及其逆定理 如果在平面内的一条直线与 ; ; 垂直,

【自主复习】
基本知识点梳理 1. 空间向量的基本定理 如果三个向量 a, , bc ,那么对空间任意一向量 p , 有序实数对 x、y、z 使得

p = xa ? yb ? zc .
推论:设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任意一点 P,都存在惟一的三个有序实数 x、y、

则它也和这条斜线垂直。 逆定理: 如果平面内的一条直线和 直,则它也和这条斜线在平面内的射影垂直。 误区警示 垂

z 使 OP =x OA ? yOB + zOC 。特别地,当 x+y+z=1 时,则必有 P、A、B、C 四点共面.
2.基本概念 (1)直线的方向向量

1.建立坐标系一定要符合

原则.

2.证明线面平行时,一定要说明直线在平面外. (2)平面的法向量

【典例分析】
例 1. (线线平行) 在长方体 OAEB-O1A1E1B1 中,|OA|=3,|OB|=4,|OO1|=2,点 P 在棱 AA1 上,且|AP|=2|PA1|, 点 S 在棱 BB1 上,且|SB1|=2|BS|,点 Q、R 分别是 O1B1、AE 的中点,求证:PQ∥RS.

3.用向量方法证明平行与垂直 (1)线线的平行与垂直 设直线 l1、l2 的方向向量分别为 v1、v2,则: l1 与 l2 平行或重合 ? l1 与 l2 垂直 ? ;



(2)线面的平行与垂直 设直线 l 的方向向量为 v,平面 ? 的法向量为 n,两个不共线向量 v1、v2 与平面 ? 共面,则: l / /? 或 l ? ? ? ;? ; l ?? ? ;? ; 人生在勤,不索何获。--张衡

例 2. (线线垂直) 如图所示,已知直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠ACB=90° ,∠BAC=30° .BC=1,AA1= 6,M 是 CC1 的中点.求证:AB1⊥A1M.

例 5. (面面平行) 如图所示:正方体 AC1 中,M,N,E,F 分别是棱 A1B1,A1D1,B1C1,C1D1 的中点.求证:平 面 AMN∥平面 EFDB.

例 3. (线面平行) 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点.求证:MN∥平面 A1BD.

例 6。 (面面垂直) SA B 如图, 底面 ABCD 是正方形, ? 底面 ABCD , S ? 且A A 平面 ABCD .

E , 是 SC 中点.求证: 平面 BDE ?
z S

例 4. (线面垂直) 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 AB 和 BC 的中点,试在棱 B1B 上找一 点 M,使得 D1M⊥平面 EFB1.
B

A

E

D

y

C x

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2012-2013 学年度第一学期数学理科一轮复习导学案

编号:9-5

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例 7. (综合问题) 如图所示,ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,PA=AD,M、N、Q 分别是 PC、AB、CD 的中点, (1)求证:MN∥PAD;(2)求证:平面 QMN∥平面 PAD;(3)求 证:MN⊥平面 PCD.

【当堂检测】
1.设向量 a、b、c 不共面,则下列集合可作为空间的一个基底的是 A.{a+b,b-a,a} B.{a+b,b-a,b} C.{a+b,b-a,c} ( ) D.{a+b+c,a+b,c}

2.设两条不重合的直线 a,b 的方向向量分别是 e1,e2,平面α 的法向量是 n,下面命题正确的 是 : ①
? ? ? ? e1∥e2? e1∥n? b?α ? e1∥e2? ??b∥α;② ??a∥b; ③ ??b∥α;④ ??b⊥α. ? ? ? ? e1∥n ? e2∥n? n⊥e2? e1∥n ?

3.已知△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(0,0,2),B(4,2,0),C(2,4,0),平面 ABC 的单位法向量 为 .

→ 4.设 A 是空间任一点,n 为空间内任一非零向量,则适合条件AM · n=0 的点 M 的轨迹 是 例 8. (探究题) 如图所示,四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,PB 与底面所成的角为 45°,底面 ABCD 为直角 梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC= AD. (1)求证:平面 PAC⊥平面 PCD;(2)在棱 PD 上是否存在一点 E,使 CE∥平面 PAB?若存在,请确定 E 点的位置;若不存在,请说明理由.
P
1 2



5.若直线 l 的方向向量为 a=(1,0,2),平面α 的法向量为 u=(-2,0,-4),则 A.l∥α B.l⊥α C.l?α D.l 与α 斜交 → 6.已知 A(3,5,2),B(-1,2,1),把AB按向量(2,1,1)平移后所得向量是( A.(-4,-3,0) B.(-4,-3,-1) C.(-2,-1,0)

(

)

) D.(-2,-2,0)

→ → → → → 7.已知 O 为坐标原点, =(1,2,3), =(2,1,2), =(1,1,2), Q 在直线 OP 上运动, OA OB OP 点 则当QA· QB
C B

取得最小值时,点 Q 的坐标为( 1 3 1 A.?2,4,3? ? ? 1 3 3 B.?2,2,4? ? ?

) 4 4 8 C.?3,3,3? ? ? 4 4 7 D.?3,3,3? ? ?

D

A

人生在勤,不索何获。--张衡

8.平面 α 的一个法向量为 v1=(1,2,1), 平面 β 的一个法向量 v2=-(2,4,2), 则平面 α 与平面 β( A.平行 B.垂直 C.相交 D.不能确定

)

10. 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,E、F、G 分别是 BB1、DD1、DC 的中点,求证: (1)平面 ADE∥平面 B1C1F; (2)平面 ADE⊥平面 A1D1G;

9.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1、CD 的中点,则( A.面 AED∥面 A1FD1 C.面 AED 与面 A1FD 相交但不垂直 B.面 AED⊥面 A1FD1 D.以上都不对

)

(3)在 AE 上求一点 M,使得 A1M⊥平面 DAE.

1 10.已知 l∥α,且 l 的方向向量为(2,m,1),平面 α 的法向量为?1,2,2?,则 m=________. ? ?

11.如右上图所示,已知矩形 ABCD,AB=1,BC=a,PA⊥平面 ABCD,若在 BC 上只有一个点 Q 满足 PQ⊥QD,则 a 的值等于________.

9. 如下图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60° , PA=AB=BC,E 是 PC 的中点. 证明:(1)AE⊥CD;(2)PD⊥平面 ABE.

11.如图所示,PD⊥平面 ABCD,且四边形 ABCD 为正方形,AB=2,E 是 PB 的中点,cos DP , AE 〉 〈 = (1)建立适当的空间坐标系,写出点 E 的坐标;(2)在平面 PAD 内求一点 F,使 EF⊥平面 PCB.

3 . 3

P

D A B

C

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