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高三数学复习讲义立体几何(新)-教师版


高三数学复习讲义—立体几何
一、2011 考纲下载
(一)空间几何体 1.了解和正方体、球有关的简单组合体的结构特征,理解柱、锥、台、球的结构特征. 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,会用斜二测法画出它们的直观图. 3.会用平行投影与中心投影两种方法,画出简单空间图形的三视图或直观图,了解空间图形的不同表示形式. 4.

能识别三视图所表示的空间几何体;理解三视图和直观图的联系,并能进行转化. 5.会计算球、柱、锥、台的表面积和体积(不要求记忆公式). (二)点、直线、平面之间的位置关系 1.理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理: ◆公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点在此平面内. ◆公理 2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. ◆公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. ◆公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. ◆定理:空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补. 2.以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定. 理解以下判定定理: ◆如果平面外一条直线与此平面内一条直线平行,那么该直线与此平面平行. ◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行. ◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直. ◆如果一个平面经过另一个的垂线,那么这两个平面互相垂直. 理解以下性质定理,并能够证明: ◆如果一条直线与一个平面平行,经过该直线的任一个平面与此平面相交,那么这条直线就和交线平行. ◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行. ◆垂直于同一个平面的两条直线平行. ◆如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直. 3.理解两条异面直线所成角,直线与平面所成角,二面角的概念. 4.能证明一些空间位置关系的简单命题.

二、考点回顾 (一)空间几何体
Ⅰ.多面体有关概念:
(1)多面体:由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。多面体的 相邻两个面的公共边叫做多面体的棱。 (2)多面体的对角线:多面体中连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线。 (3)凸多面体:把一个多面体的任一个面伸展成平面,如果其余的面都位于这个平面的同一侧,这样的多面体叫做凸 多面体。 (4)正多面体: ①定义:每个面都是有相同边数的正多边形,每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体,叫做正多面体。 ②正多面体的种类:只有正四面体、正六面体、正八面体.其中正四面体、正八面体的每个面都是正三角形,正六面体 的每个面都是正方形,如下图:

正四面体 正六面体

正八面体

Ⅱ.柱、锥、台、球的结构特征
ⅰ.棱柱的结构特征 1.棱柱有关概念:一般的,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行, 由这些面所围成的多面体;棱柱中,两个互相平行的面叫做棱柱的底面,简称底;其余各面叫做棱柱的侧面;相 邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.底面是三角形、四边形、五边形? 的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱?. 2.棱柱的分类与性质: (1)棱柱的分类: ①按侧棱是否与底面垂直分类:分为斜棱柱(侧棱不垂直于底面)和直棱柱(侧棱垂直于底面) ,其中底面为正多边 形的直棱柱叫正棱柱。 ②按底面边数的多少分类:底面分别为三角形,四边形,五边形?,分别称为三棱柱,四棱柱,五棱柱,?;

1

(2)棱柱的性质: ①棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都相等,直棱柱的各个侧面都是矩形,正棱柱的各个侧面都是全等 的矩形。 ②与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形。③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。 例 1、下列关于四棱柱的四个命题: ①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直棱柱; ②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直棱柱; ③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直棱柱; ④若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直棱柱。 其中真命题的为_____。 (答:②④) 变式 1:给出下列四个命题: ①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱; ②对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体; ③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱; ④长方体一定是正四棱柱.其中正确的命题的序号是_____。 (答:②)

变式 2:斜三棱柱 A1B1C1-ABC,各棱长为 a ,A1B=A1C= a ,则侧面 BCC1B1 是____形,棱柱的高为_____(答:正方; 3.平行六面体: (1)定义:底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体; (2)几类特殊的平行六面体:{平行六面体} ? {直平行六面体} ? {长方体} ? {正四棱柱} ? {正方体}; ? ? ? ? (3)性质: ①平行六面体的任何一个面都可以作为底面; ②平行六面体的对角线交于一点,并且在交点处互相平分; ③平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和; ④长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。

6 a) 3

ⅱ.棱锥、台的结构特征
(ⅰ)棱锥的结构特征 1.棱锥:一般地,有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体;这个多 边形面叫做棱锥的底面或底;有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面;各侧面的公共顶点叫做棱锥的 顶点;相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.底面是三角形、四边形、五边形?的棱锥分别叫做三棱锥、四棱 锥、五棱锥?,其中三棱锥又叫四面体. 2.棱锥的性质:如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截面面积与底面面积的比等于 顶点至截面距离与棱锥高的平方比,截得小棱锥的体积与原来棱锥的体积比等于顶点至截面距离与棱锥高的立方比。 1 例 2.若一个锥体被平行于底面的平面所截, 若截面面积是底面积的 , 则锥体被截面截得的一个小棱锥与原棱锥体 4 积之比为_____.(答:1∶8) 3.特殊的棱锥——正棱锥: (1)定义:如果一个棱锥的底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的棱锥叫正棱锥。特别地, 侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体。 例 3.四面体 ABCD 中,有如下命题: ① 若 AC ? BD, AB ? CD ,则 AD ? BC ; ② 若 E、F、G 分别是 BC 、AB 、CD 的中点,则 ?FEG 的大小等于异面直线 AC 与 BD 所成角的大小; ③ 若点 O 是四面体 ABCD 外接球的球心,则 O 在面 ABD上的射影是 ?ABD外心; ④ 若四个面是全等的三角形,则 ABCD 为正四面体。其中正确的是___(答:①③) 变式:下面是关于三棱锥的四个命题: ①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥; ②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥; ③底面是等比三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥; ④侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. 其中,真命题的编号是___.(写出所以真命题的编号)(答:①④)

2

(2)正棱锥的性质: ①正棱锥的各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高(叫侧高)也相等。 ② 正棱锥的高 h 、斜高 h ? 、斜高在底面的射影(底面的内切圆的半径 r ) 、侧棱、侧棱在底面的射影(底面的外 接圆的半径 R ) 、底面的半边长可组成四个直角三角形。 如图, 正棱锥的计算集中在四个直角三角形中:Rt ?SOB, Rt ?SOE ,Rt ?EOB, Rt ?SBE , 其中 a, l , ? ,? 分别表示底面边长、侧棱长、侧面与底面所成的角和侧棱与底面所成的角。 例 4.下列命题中,真命题是 ( ) A.顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正三棱锥. B.底面是正三角形,各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. C.底面三角形各边分别与相对的侧棱垂直的三棱锥是正三棱锥. D.底面是正三角形,并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥.(答:D) 变式:在三棱锥的四个面中,最多有___个面为直角三角形.(答:4)

(ⅱ)棱台的结构特征
棱台:用一个平行于棱锥底面的的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫做棱台;原棱锥的底面和截面分别叫 做棱台的下底面和上底面. 例 5.下面给出三个命题: (1)用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台; (2)两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台; (3)有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.其中正确的命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3

ⅲ.圆柱、圆锥、圆台的结构特征
以矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周,形成的几何 体分别叫做圆柱、圆锥、圆台,这条直线叫做轴,垂直于轴的边旋转一周而成的圆面叫做底面,不垂直于轴的边旋转 而成的曲面叫做侧面,无论旋转到什么位置,这条边叫做母线. 例 6.下列命题: (1)以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥; (2)以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台; (3)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆; (4)一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台. 其中正确命题的个数为( A ). A.0 B.1 C.2 D.3 变式:下列命题中正确的是( C ) A.直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥. C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台. B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体. D.通过圆台侧面上一点,有无数条母线.

ⅲ.球 1.球:以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球.半圆的圆心叫做球心, 半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球的直径. 2.球的截面性质: r ? R2 ? d 2 ,其中 r 为截面圆的半径, R 为球的半径, d 为球心 O 到截面圆心的距离. 例 7.已知球的两个平行截面的面积分别为 5? 和 8? , 它们位于球心的同一侧, 且相距为 1, 则球的体积为 36? .

变式:在半径为 25 cm 的球内有一个截面,它的面积是 49 ?cm ,则球心到这个截面的距离为___
2

(二) 空间几何体的直观图与三视图:
1.斜二测画法规则:
在画直观图时,要注意: (1)使 , x?o?y ? 所确定的平面表示水平平面。 (2)已知图形中平行于 x 轴和 z 轴的线段,在直观图中保持长度和平行性不变,平行于 y 轴的线段平行性不变, 但在直观图中其长度为原来的一半。

3

例 8.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形,则原来图形的形状是( ) (答:A)

变式:已知正 ?ABC 的边长为 a ,那么 ?ABC 的平面直观图 ?A?B?C ? 的面积为 2.三视图 三视图应会选取投射面,正确放置三视图中三个图的位置,掌握三视图之间的 规律:正俯长对正、正侧高平齐、俯侧宽相同。 例 9. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( C ). A. 2? ? 2 3 C. 2? ? B. 4? ? 2 3 D. 4? ?

6 2 a 16

2

2

2 3 3

2 3 3
2

2

变式 1.一个棱锥的三视图如下图,则该棱锥的全面积(单位:c m )为( ) (A)48+12 2 (B)48+24 2 (C)36+12 2 (D)36+24 2

2 正(主)视图

2 侧(左)视图

俯视图

变式 2. (2008 广东)将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示 A,B,C 分别是 △GHI 三边的中点)得到几何体如图 2, 则该几何体按图 2 所示方向的侧视图(或称左视图)为( A ) H B A I C G 侧视 B A C B B B B

E F 图1

D

E F 图2

D

E A.

E B.

E C.

E D. )

变式 3.(2009 枣庄市二模)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于(

A.

1 3 a 6

B.

1 3 a 2

C.

2 3 a 3
4

D.

5 3 a 6

(三)多面体的面积和体积公式
ⅰ.柱体、锥体、台体的表面积 1.棱柱、棱锥、棱台的表面积:棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平面图形,棱锥的侧面展开图是由三角形组 成的平面图形,棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形.这样,求它们的表面积的问题就转化为球平行四边形、三 角形、梯形的面积问题. 2.圆柱、圆锥、圆台的表面积 S圆柱 ? 2?r 2 ? 2?rl ? 2?r ?r ? l ?; S圆锥 ? ?r 2 ? ?rl ? ?r?r ? l ?; S圆台 ? ? r?2 ? r 2 ? r?l ? rl

?

?

例 10.一个半球的全面积为 Q ,一个圆柱与此半球等底等体积,则这个圆柱的全面积是___

10 Q __。 9

变式:圆锥的底面半径为 5cm ,高为 12 cm ,当它的内接圆柱的底面半径为何值时,圆锥的内接圆柱全面积有最大值?最 大值是多少?(答: x ?

30 360 , S max ? ?) 7 7

3.柱体、锥体、台体的体积

1 1 V柱体 ? Sh;V锥体 ? Sh;V台体 ? S ? ? S ?S ? S h 3 3
例 11.若圆锥的表面积是 15? ,侧面展开图的圆心角是 60 ,则圆锥的体积是
0

?

?

25 3 ?。 7

例 12.在正三棱锥 A-BCD 中,E、F 是 AB、BC 的中点,EF⊥DE,若 BC= a ,则正三棱锥 A-BCD 的体积为(答:

2 3 ; a ) 24

变式:有一个正四棱台形状的油槽,可以装油 190L,假如它的两底面边长分别等于 60 cm 和 40 cm ,求它的深度为多少 cm ?(75cm)

变式:如图,在四棱锥 E-ABCD 中,底面 ABCD 为梯形,AB∥DC,2AB=3DC,M 是 AE 的中点,设 E-ABCD 的体积为 V, 那么三棱锥 M-EBC 的体积为 ( )
E

2 A、 V 5

1 B、 V 3

2 C、 V 3

3 D、 V 10

M D C

4.球的体积和表面积

A

B

例 13.三条侧棱两两垂直且长都为 1 的三棱锥 P-ABC 内接于球 O,求球 O 的表面积与体积。 总结:球与其他几何体的接切问题 1.球与正方体接切(球的半径为 R ,正方体的棱长为 a ) 球与正方体的顶点接(正方体为球的内接正方体) 2R ? 3a; 球与正方体的面切(球为正方体的内切球) 2 R ? a ; : : 球与正方体的棱切: 2R ? 2a . 2.球与长方体接切(球的半径为 R ,长方体的棱长为 a、b、c ) 球与长方体的顶点接(长方体为球的内接长方体): 2R ? a 2 ? b2 ? c 2 . 3.球与正四面体接切(球的半径为 R ,正四面体的棱长为 a ) 球与正四面体的顶点接(正四面体为球的内接正四面体): R ? 球): R ?

4 V ? ?R 3 , S ? 4?R 2 3

6 a ;球与正四面体的面切(球与正四面体的内切 4

6 2 a ;球与正四面体的棱切: R ? a. 12 4
5

例 14.已知正三棱柱的底面边长为 1,侧棱长为 2,则这样的三棱柱内能否放进一个体积为

? 的小球? 16

特别提醒:求多面体体积的常用技巧是割补法(割补成易求体积的多面体。补形:三棱锥 ? 三棱柱 ? 平行六面 体;分割:三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是 和等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换) 法等. (二)点、直线、平面之间的位置关系 Ⅰ.三个公理和三条推论: (1)公理 1:一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。这是判断直线在平面 内的常用方法。 (2)公理 2、如果两个平面有两个公共点,它们有无数个公共点,而且这无数个公共点都在同一条直线上。这是 判断几点共线(证这几点是两个平面的公共点)和三条直线共点(证其中两条直线的交点在第三条直线上)的方法之 一。 例 15.(2010 江苏模拟)已知: E、F、G、H 分别是正方体 ABCD? A1B1C1D1 的棱 AB、BC、CC1、C1D1 的 中点,证明: FE 、HG 、DC 三线共点.

(3)公理 3:经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。推论 1:经过直线和直线外一点有且只有一个平面。 推论 2:经过两条相交直线有且只有一个平面。推论 3:经过两条平行直线有且只有一个平面。公理 3 和三个推论是确 定平面的依据。 例 16.给出命题:①若 A∈l,A∈α ,B∈l ,B∈α ,则 l ? α ;②若 A∈α ,A∈β ,B∈α ,B∈β ,则α ∩β =AB;③若 l ? α ,A∈l,则 A ? α ④若 A、B、C∈α ,A、B、C∈β ,且 A、B、C 不共线,则α 与β 重合。上述 命题中,真命题是_____; (答:①②④) Ⅱ.空间直线的位置关系: (1)相交直线――有且只有一个公共点。 (2)平行直线――在同一平面内,没有公共 点。 (3)异面直线――不在同一平面内,也没有公共点。 例 17.给出下列四个命题:①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线;②两异面直线 a, b ,如果 a 平行于平面 ? ,那么 b 不平行平面 ? ;③两异面直线 a, b ,如果 a ? 平面 ? ,那么 b 不垂直于平面 ? ;④两异面直线在同一平面 内的射影不可能是两条平行直线 。其中正确的命题是_____.(答:①③) ⅰ.异面直线 1.异面直线的判定:反证法。 例 18.“a、b为异面直线”是指:①a∩b=Φ ,但a不平行于b;② a ? 面 α ,b ? 面 β 且 a∩b=Φ ; ③ a ? 面 α ,b ? 面 β 且 α ∩β =Φ ;④a ? 面 α ,b ? 面 α ;⑤不存在平面α ,能使a ? 面 α 且b ? 面α 成 立。 上述结论中,正确的是_____; (答:①⑤) 变式:如果a、b是异面直线,P 是不在a、b上的任意一点,下列四个结论:①过点 P 一定可以作直线 l 与a、 b都相交; ②过点 P 一定可以作直线 l 与a、b都垂直;③过点 P 一定可以作平面α 与a、b都平行; ④过点 P 一 定可以作直线 l 与a、b都平行。其中正确的结论是_____(答:②) 变式: 若 P 两条异面直线 l, m 外的任意一点,则 ( ) A.过点 P 有且仅有一条直线与 l, m 都平行 B.过点 P 有且仅有一条直线与 l, m 都异面 C.过点 P 有且仅有一条直线与 l, m 都相交 D.过点 P 有且仅有一条直线与 l, m 都垂直 2.异面直线所成角 ? 的求法: (1)范围:? ? (0,

?
2

]; (2)求法:计算异面直线所成角的关键是平移(中点平移,

顶点平移以及补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,以便易于发现两 条异面直线间的关系)转化为相交两直线的夹角。 例 19.正四棱锥 P ? ABCD 的所有棱长相等, E 是 PC 的中点,那么异面直线 BE 与 PA 所成的角的余弦值等于 ____; (答:

3 ) 3
6

变式: (2009 山东泰安)在三棱锥 C ? ABD 中, E、F 分别是 AC 和 BD 的中点,若 CD ? 2 AB ? 4 , EF ? AB ,则 变式:在正方体 AC1 中,M 是侧棱 DD1 的中点,O 是底面 ABCD 的中心,P 是棱 A1B1 上的一点,则 OP 与 AM 所成的角 的大小为____; (答:90°) 变式:如下左图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,棱 AB,BC,BB1 两两垂直且长度相等,点 P 在线段 A1C1 上运动,异面 直线 BP 与 B1C 所成的角为 θ ,则 θ 的取值范围是 .( (答:30°) EF 与 CD 所成角是____;

?
3

?? ?

?
2

)

变式:如右上图所示,已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱底边长都相等, A1 在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点, 则异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为 .(

3 ) 4

变式:已知异面直线 a、b 所成的角为 50°,P 为空间一点,则过 P 且与 a、b 所成的角都是 30°的直线有且仅有 ____条; (答:2) 易错题:已知异面直线 a、b 所成的角为 60°,P 为空间一点,则过 P 且与 a、b 所成的角都是 60°的直线有且仅 有____条; (答:3) ? 易错题:异面直线 a、b 成 60 角,点 A、B ? a,点 C、D ? b,且 AB=4,CD=2,P、M、N 分别为 AC、CB 和 BD 中点, 则 P 和 N 间距离为 .( 7 、 3 ) ⅱ.两直线平行的判定: (1)公理 4:平行于同一直线的两直线互相平行; (2)线面平行的性质:如果一条直线和一个平面平行,那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直 线平行; (3)面面平行的性质:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行; (4)线面垂直的性质:如果两条直线都垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。 例 20.下列四个结论: ①两条直线都和同一个平面平行,则这两条直线平行; ②两条直线没有公共点,则这两条直线平行; ③两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线平行; ④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条直线和这个平面平行. 其中正确的个数为( A ) A.0 B.1 C.2 D.3 ⅲ.两直线垂直的判定: (1)转化为证线面垂直; (2)三垂线定理及逆定理(备注:三垂线定理及逆定理: ①定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。 ③ 逆定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线,那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。其 作用是证两直线异面垂直和作二面角的平面角.) 。 ④ Ⅲ.直线与平面的位置关系: (1)直线在平面内; (2)直线与平面相交。其中,如果一条直线和平面内任何一条直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直。注意: 任一条直线并不等同于无数条直线; (3)直线与平面平行。其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外。 例 21.下列命题中,正确的是 A.若直线 a 平行于平面 ? 内的一条直线 b , 则 a // ? B.若直线 a 垂直于平面 ? 的斜线 b 在平面 ? 内的射影,则 a ⊥b C.若直线 a 垂直于平面 ? ,直线 b 是平面 ? 的斜线,则 a 与 b 是异面直线 D.若一个棱锥的所有侧棱与底面所成的角都相等,且所有侧面与底面所成的角也相等,则它一定是正棱锥; (答:D)

7

变式:设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ① 若 m ? ? , n // ? ,则 m ? n ; ② 若 ? // ? , ? // ? , m ? ? ,则 m ? ? ; ③若 m // ? , n // ? ,则 m // n ; ④若 ? ? ? , ? ? ? , 则 ? // ? .其中正确命题的序号是 (①②)

ⅰ.直线与平面平行的判定和性质: (1) 判定: ① 定义; ② 判定定理:如果平面内一条直线和这个平面平面平行,那么这条直线和这个平面平行; ③面面平行的性质:若两个平面平行,则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行。 (2) 性质: 如果一条直线和一个平面平行,那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行。在遇到线 面平行时,常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面,以便运用线面平行的性质。 例 22.正方体 ABCD-A1B1C1D1中,点 N 在 BD 上,点 M 在 B1C 上,且 CM=DN, 求证:MN∥面 AA1B1B.

变式:(08 浙江)如图,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直,BE//CF,

D A B F E
C

? BCF= ? CEF= 90 ? ,AD= 3 ,EF=2。
(Ⅰ)求证:AE//平面 DCF; (Ⅱ)当 AB 的长为何值时,二面角 A-EF-C 的大小为 60 ? ?

ⅱ.直线和平面垂直的判定和性质: (1) 判定: ①如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直。 ②两条平行线中有一条直线和一个平面垂直,那么另一条直线也和这个平面垂直。 (2) 性质: ①如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。 ②如果两条直线都垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。 例 23.已知 a,b,c 是直线,α 、β 是平面,下列条件中能得出直线 a⊥平面α 的是 (答:D) A.a⊥b,a⊥c其中b ? α ,c ? α B.a⊥b ,b∥α C.α ⊥β ,a∥β D.a∥b,b⊥α ; 例 24.AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上的一点,AD⊥面 ABC,AE⊥BD 于 E,AF⊥CD 于 F,求证:BD⊥平面 AEF。

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变式: 如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是正方形, EF ∥ AB ,

E

F

EF ? FB , AB ? 2 EF , ?BFC ? 90? , BF ? FC , H 为 BC 的中点。
(Ⅰ)求证: FH ∥平面 EDB ; (Ⅱ)求证: AC ? 平面 EDB ;
A D C

H B E F

D

C

H A B E F

D

C

H A B

ⅲ.直线和平面所成的角: (1)定义:平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫这条直线和这个平面所成的角。 (2)范围: [0? ,90? ] ; (3)求法: ①通过射影转化法,作出直线与平面所成的角; ②在三角形中求角的大小; (4)斜线与平面所成的角的特征:斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。 例 25.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB、C1D1 的中点,则棱 A1B1 与截面 A1ECF 所成的角的余弦值是______; (答:

1 ) 3

变式:如图,二面角 ? ? l ? ? 的大小是 60°,线段 AB ? ? . B ? l , AB 与 l 所成的 角为 30°.则 AB 与平面 ? 所成的角的正弦值是 .

?
?
B

?A
?

变式:如图 4,在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? 2 AA ,点 D 是 A1B1 的中点,点 E 在 AC1 1 1 上,且 DE ? AE .(I)求直线 AD 和平面 ABC 所成角的正弦值。

9

Ⅳ.平面与平面的位置关系: (1)平行――没有公共点; (2)相交――有一条公共直线。 ⅰ.两个平面平行的判定和性质: (1) 证明: ①定义法:利用面面平行的定义,此法一般与反证法结合; ②面面平行的判定定理:一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行,则这两个平面平行; ③利用两个平面垂直于同一条直线;④证明两个平面同时平行于第三个平面. (2)性质:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 例 26.给出以下六个命题: ① 垂直于同一直线的两个平面平行; ② 平行于同一直线的两个平面平行; ③ 平行于同一平面的两个平面平行; ④ 与同一直线成等角的两个平面平行; ⑤ 一个平面内的两条相交直线于另一个平面内的两条相交直线平行,则这两个平面平行; ⑥ 两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行,则这两个平面平行。 其中正确的序号是___________; 例 27.正方体 ABCD-A1B1C1D1中 AB= a . ①求证:平面 AD1B1∥平面 C1DB; ②求证:A1C⊥平面 AD1B1.

变式:如图,平面 PAC ? 平面 ABC , ?ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角 形, E , F , O 分别为 PA , PB , AC 的中点, AC ? 16 , PA ? PC ? 10 . ①设 G 是 OC 的中点,证明: FG / / 平面 BOE ;

ⅱ.二面角: (1) 平面角的三要素: ①顶点在棱上; ②角的两边分别在两个半平面内; ③角的两边与棱都垂直。 (2) 二面角的求法: ① 定义法:直接在二面角的棱上取一点(特殊点) ,分别在两个半平面内作棱的垂线,得出平面角,用定义法时, 要认真观察图形的特性(步骤:一作;二证;三计算.); ② 三垂线法:已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线,用三垂线定理或其逆定理作出平面角; ③ 垂面法:过一点作棱的垂面,则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角; ④ 面积射影法:利用面积射影公式 S射=S原 ? cos ? ,其中 ? 为平面角的大小。对于一类没有给出棱的二面角,应 先延伸两个半平面,使之相交出现棱,然后再选用上述方法(尤其可考虑面积射影法) 。 特别地:当二面角由两个等腰三角形构成时,利用底边的两条中线;当求正棱锥侧面夹角时利用全等三角形。 (3) 二面角的范围: [0, ? ] ;

10

例 28.正方形 ABCD-A1B1C1D1 中,二面角 B-A1C-A 的大小为________; (答: 60 )

?

变式: 如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是正方形, EF ∥ AB ,

E

F

EF ? FB , AB ? 2 EF , ?BFC ? 90? , BF ? FC , H 为 BC 的中点。
D

(Ⅰ)求证: FH ∥平面 EDB ; (Ⅱ)求证: AC ? 平面 EDB ; (Ⅲ)求二面角 B ? DE ? C 的大小.
H A B E F

C

D

C

H A B E F

D

C

H A B

ⅲ.两个平面垂直的判定和性质: (3) 证明: ①判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 ②定义法:即证两个相交平面所成的二面角为直二面角; (2)性质:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 例 29.过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°, 求证:平面 ABC⊥平面 BSC。

特别指出:立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化,即:

线∥线 ? ? 线∥面 ? ? 面∥面 ? ? 判定 性质 ? ??? 线⊥线 ? ? 线⊥面 ? ? 面⊥面 ???? ? ? 线∥线 ? ? 线⊥面 ? ? 面∥面 ? ?
例 30.设 a, b 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,给出下列四个命题: ① 若 a ? b, a ? ? , b ? ? , 则 b // ? ; ②若 a // ? , ? ? ? ,则 a ? ? ; ② 若 a ? ? , ? ? ? ,则 a // ? 或 a ? ? ; ④若 a ? b, a ? ? , b ? ? 则 ? ? ? 。其中正确的命题是_____(答:①③④)

11

17.空间距离的求法: (特别强调:立体几何中有关角和距离的计算,要遵循“一作,二证,三计算”的原则) (1)点到直线的距离:一般用三垂线定理作出垂线再求解。 (2)点到平面的距离:①垂面法:借助于面面垂直的性质来作垂线,其中过已知点确定已知面的垂面是关键;② 体积法:转化为求三棱锥的高;③等价转移法。 6 例 31.在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是 AA1 的中点,则 A1 到平面 MBD 的距离为(答: a) 。 6

变式(2010.天津):如图, AEC 是半径为 a 的半圆, AC 为直径,点 E 为弧 AC 的中点,点 B 和点 C 为线段 AD 弧 的三等分点.平面 AEC 外一点 F 满足 FC ? 平面 BED , FB ? 5a . ①证明: EB ? FD ; ②求点 B 到平面 FED 的距离.

(4)直线与平面的距离:前提是直线与平面平行,利用直线上任意一点到平面的距离都相等,转化为求点到平面 的距离。 (5)两平行平面之间的距离:转化为求点到平面的距离。 18.立体几何问题的求解策略是通过降维,转化为平面几何问题,具体方法表现为: (1)求空间角、距离,归到三角形中求解; (2)对于球的内接外切问题,作适当的截面――既要能反映出位置关系,又要反映出数量关系。 例 32.若正四面体的棱长为 2 ,则此正四面体的外接球的表面积为_____; 19.立体几何综合题型 ? 1、已知二面角 ? ? l ? ? 为 60 ,动点 P 、 Q 分别在面 ? 、 ? 内, P 到 ? 的距离为 3 , Q 到 ? 的距离为 2 3 , 则 P 、 Q 两点之间距离的最小值为 .( 2 3 )

2、如下图, 正方形 ABCD 所在平面与正文形 ABEF 所在平面垂直,P 为 AE 的中点,N 是平面 ABCD 内的动点, 且 PN 与平面 PBC 所成角为 A、一线段路

B、一段圆弧

? ,那么,动点 N 在平面 ABCD 内的轨迹是( D ) 4
C、一个椭圆 D、一段抛物线

12

3、如右上图,在长方形 ABCD 中, AB ? 3 , BC ? 1 , E 为线段 DC 上一动点,现将 ?AED 沿 AE 折起,使 点 D 在面 ABC 上的射影 K 在直线 AE 上,当 E 从 D 运动到 C ,则 K 所形成轨迹的长度为( D ) A、

3 2

B、

2 3 3

C、

? 2

D、

? 3

4、如图,在长方形 ABCD 中,AB=2,BC=1,E 为 DC 的中点,F 为线段 EC(端点除外)上一动点,现将 ? AFD 沿 AF 折起, 使平面 AFD⊥平面 ABC,在平面 ABD 内过点 D 作 DK⊥AB,K 为垂足,设 AK=t,则 t 的取值范围是_______.

5、如图所示,在正三棱锥 S—ABC 中,M、N 分别是棱 SC,BC 的中点,且 MN ? AM , 若侧棱 SA ? 2 3 ,则此正三棱锥 S—ABC 外接球的表面积是 A. 45? B.32 ( D.36 )

?

C.12

?

?
C A B

6、如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面为直角三角形,?ACB=90?,AC=4, BC=CC1= 2 ,P 是 BC1 上一动点,则 CP+PA1 的最小值是___________.
A1

P C1 B1

7、如图,假设平面 ? ? ? ? EF ,AB⊥ ? ,CD⊥ ? ,垂足分别是 B、D,如果增加一个条件, 就能推出 BD⊥EF,现有下面 4 个条件: ① AC ⊥ ? ; ② AC 与 ? 、 ? 所成的角相等;

③ AC 与 BD 在 ? 内的射影在同一条直线上; ④ AC ∥ EF . 其中能成为增加条件的是 .

8、如图,四面体 DABC 的体积为 则 CD ? .

1 AC ? 2, ,且满足 ?ACB ? 45?, AD ? 1, BC ? 6 2

9、 (2008 海南、宁夏理)某几何体的一条棱长为 7 ,在该几何体的正视图中,这条棱的 投影是长为 6 的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段,则 a+b 的最大值为( A. 2 2 B. 2 3

C
C. 4

) D. 2 5

k n m

13

10、如图,在多面体 ABCDEF 中,已知 ABCD 是边长为 1 的正方形,且 ?ADE 、?BCF 均为正三角形,EF∥AB, EF=2,则该多面体的体积为 ( ) A.

2 3
4 3

B.

3 3
3 2
)

C.

D.

11、已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的最大值为 ( B (A)

2 3 3

(B)

4 3 3

(C) 2 3

(D)

8 3 3
? ?

12、平面 ? 的斜线 AB 交 ? 于点 B ,斜线 AB 与平面 ? 成 30 角,过定点 A 的动直线 l 与斜线 AB 成 60 的角,且交 ? 于点 C ,则动点 C 的轨迹是 .(双曲线)

13、如图,在斜三棱柱 ABC? A1 B1C1 中, ?A1 AB ? ?A1 AC, AB ? AC, A1 A ? A1 B ? a ,侧面 B 1 BCC 1 与底面 ABC 所成的二面角为 120? ,E、F 分别是棱 B1C1、A1 A 的中点 (Ⅰ)求 A1 A 与底面 ABC 所成的角 (Ⅱ)证明 A1 E ∥平面 B1 FC (Ⅲ)求经过 A1、A、B、C 四点的球的体积

14

14、 如图, 在矩形 ABCD 中, E , F 分别在线段 AB, AD 上,AE ? EB ? AF ? 点 折成 ?A EF ,使平面 A EF ? 平面BEF .
/

2 FD ? 4 . 沿直线 EF 将 ?AEF 翻 3

'

(Ⅰ)求二面角 A' ? FD ? C 的余弦值; (Ⅱ)点 M , N 分别在线段 FD, BC 上,若沿直线 MN 将四边形 MNCD 向上翻折, 使 C 与 A 重合,求线段 FM 的长.
'

15


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