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【优化方案】2016高中数学 第二章 平面向量 5从力做的功到向量的数量积 新人教A版必修4


§5

从力做的功到向量的数量积

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1.问题导航 (1)计算两个向量的数量积时,需要确定哪几个量? (2)向量的数量积运算结果和向量的线性运算结果有什么区别? (3)若两个向量的数量积大于零,则这两个向量的夹角一定是锐角吗?若两个向量的数 量积小于零,则这两个向量的夹角一定是钝角吗? 2.例题导读 P95 例 1.通过本例学习,学会计算两个向量的数量积. 试一试:教材 P97 习题 2-5 A 组 T2 你会吗? P95 例 2.通过本例学习,学会利用向量的数量积求解与三角形有关的问题. 试一试:教材 P97 习题 2-5 A 组 T6 你会吗? P96 例 3.通过本例学习,学会利用向量数量积证明几何中的垂直关系. 试一试:教材 P97 习题 2-5 B 组 T2 你会吗? P96 例 4.通过本例学习,学会利用向量的数量积计算两个向量的夹角. 试一试:教材 P97 习题 2-5 A 组 T5 你会吗? 1.力做的功 一个物体在 F 的作用下产生位移 s, 那么力 F 所做的功为 W=|F||s|cos θ , 其中 θ 是 F 与 s 的夹角. 2.两个向量的夹角

定义 → → 已知两个非零向量 a 和 b,如图,作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ 叫作向量 a 与 b 的夹角 范围 0°≤θ ≤180° 垂直 当θ =90°时,称向量 a 与 b 互相垂直,记作 a⊥b.规定零向量可与任一向量垂直 特例 当 θ =0°时,a 与 b 同向;当 θ =180°时,a 与 b 反向 3.向量的数量积 已知两个向量 a 和 b, 它们的夹角为 θ , 把|a||b|cos θ 叫作 a 与 b 的数量积(或内 定义 积),记作 a?b,即 a?b=|a||b|cos_θ .特别规定:零向量与任一向量的数量积 均为 0 射影 |a|cos_θ (|b|cos θ )叫作向量 a 在 b 方向上(向量 b 在 a 方向上)的射影 几何 a 与 b 的数量积等于 a 的长度|a|与 b 在 a 方向上射影|b|cos θ 的乘积,或 b 的长 意义 度|b|与 a 在 b 方向上射影|a|cos_θ 的乘积 物理 意义 力对物体做功,就是力 F 与其作用下物体的位移 s 的数量积 F?s 4.数量积的性质
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(1)若 e 是单位向量,则 e?a=a?e=|a|cos_θ . (2)若 a⊥b,则 a?b=0;反之,若 a?b=0,则 a⊥b.通常记作 a⊥b?a?b=0.(a, b 为非零向量) 2 (3)a、b 同向?a?b=|a||b|;a、b 反向?a?b=-|a||b|;特别地 a?a=a 或|a|= a?a. a?b (4)cos θ = (|a||b|≠0). |a||b| (5)对任意两个向量 a,b,有|a?b|≤|a||b|.当且仅当 a∥b 时等号成立. 5.向量数量积的运算定律 已知向量 a,b,c 与实数 λ ,则 交换律 a?b=b?a 结合律 (λ a)?b=λ (a?b)=a?(λ b) 分配律 a?(b+c)=a?b+a?c 6.乘法公式成立 2 2 (a+b)?(a-b)=a -b . 2 2 2 2 2 (a±b) =a ±2a?b+b =|a| ±2a?b+|b| 等等.

1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“?”) (1)向量的数量积的运算结果是一个向量.( ) (2)若 a?b=0,则 a=0 或 b=0.( ) (3)若 a?b=b?c,则一定有 a=c.( ) 解析:(1)错误.向量的数量积是一个数. (2)错误.向量 a 与 b 可能垂直. (3)错误.向量 b 与向量 a,c 可能垂直,所以 a 与 c 不一定相等. 答案:(1)? (2)? (3)? 2.已知|a|=6,|b|=3,a?b=-12,则向量 a 在 b 方向上的投影为( ) A.-4 B.4 C.-2 D.2 a?b -12 解析:选 A.向量 a 在 b 方向上的投影为|a|cos θ = = =-4,故选 A. |b| 3 3.已知|a|=3,|b|=4,则(a+b)?(a-b)=________. 2 2 解析:(a+b)?(a-b)=a -b 2 2 2 2 =|a| -|b| =3 -4 =-7. 答案:-7 → → 4.已知△ABC 中,BC=4,AC=8,C=60°,则BC?CA=________. → → → → → → 解析:画图可知向量BC与CA的夹角为角 C 的补角,故BC?CA=|BC|?|CA|cos(π -C) 1 =4?8?(- )=-16. 2 答案:-16 1.对数量积概念的三点说明 (1)从定义上看:两向量的数量积是一个数量,而不是向量,其数值可正、可负、可为 零,其决定因素为两向量的夹角. (2)从运算上看:两向量 a,b 的数量积称作内积,写成 a?b,其中“?”是一种运算 符号,不同于实数的乘法符号,不可省略. (3)两向量的数量积有明确的物理和几何意义,学习时注意掌握. 2.理解数量积的几何意义要关注的三点
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(1)a 在 b 方向上的投影与 b 在 a 方向上的投影是不同的. (2)b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ (θ 是 a 与 b 的夹角),也可以写成

a?b . |a |

(3)投影是一个数量,不是向量,其值可为正,可为负,也可为零. 3.数量积性质的作用 性质(2)是利用向量法研究垂直问题的依据; 性质(3)可用来求向量的模, 可以实现实数 运算与向量运算的相互转化;性质(4)可用来求两个向量的夹角,它的实质是平面向量数量 积的逆用;性质(5)反映了两个数量的大小关系,是向量中很重要的一个不等式,用它可研 究几何问题中的某些不等关系, 证明不等式或用来求有关函数的最值. 但要特别注意该不等 式中“=”成立的条件. 4.向量数量积与实数积运算律的比较 实数 a,b,c 向量 a,b,c a≠0,a?b=0? b=0 a≠0,a?b=0 b=0 a?b=b?c(b≠0) a?b=b?c(b≠0) ? a=c a=c |a?b|=|a|?|b| |a?b|≤|a|?|b| 满足乘法结合律 不满足乘法结合律

向量数量积的运算 (1)已知|a|=4,|b|=5,当①a∥b,②a⊥b,③a 与 b 的夹角为 30°时,分别 求 a 与 b 的数量积. → → → → → (2)已知△ABC 内接于以 O 为圆心,1 为半径的圆,且 2OA+3OB+4OC=0,求OC?AB的 值. (链接教材 P95 例 1) [解] (1)①a∥b,若 a 与 b 同向, 则 θ =0°,a?b=|a|?|b|cos 0°=4?5=20; 若 a 与 b 反向,则 θ =180°, 所以 a?b=|a|?|b|cos 180° =4?5?(-1)=-20. ②当 a⊥b 时,θ =90°, 所以 a?b=|a|?|b|cos 90°=0. ③当 a 与 b 的夹角为 30°时, 3 a?b=|a|?|b|cos 30°=4?5? =10 3. 2 → → → → → → → → (2)由 2OA+3OB+4OC=0,得 2OA=-3OB-4OC,两边平方得,4=9+16+24OB?OC, 7 → → → → → 所以OB?OC=- ,3OB=-2OA-4OC, 8 → → 两边平方得,9=4+16+16OA?OC,

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11 → → 所以OA?OC=- , 16 → → → → → 所以OC?AB=OC?(OB-OA) → → → → =OB?OC-OA?OC 7 11 3 =- + =- . 8 16 16 方法归纳 求向量数量积的方法及注意事项 (1)方法:分别求出向量 a 与向量 b 的模及向量 a 与向量 b 夹角的余弦值,然后根据数 量积的定义求解. (2)注意事项:①要牢记数量积的运算公式;②要注意确定两个向量的夹角;③对于平 行向量要注意两向量是同向还是反向. 2 2 (3)求形如(ma+nb)?(pa+qb)的数量积,可以先展开,再求 a 、b 、a?b.

→ → 1.(1)在 Rt△ABC 中,C=90°,AC=4,则AB?AC等于( ) A.-16 B.-8 C.8 D.16 → → → → → (2)若等边△ABC 的边长为 2, 平面内一点 M 满足 6CM=3CB+2CA, 则MA? MB=________. → → → → → 解析:(1)AB?AC=(CB-CA)?(-CA) → → →2 =-CB?CA+CA =16. 1→ 1→ → → → → (2)由 6CM=3CB+2CA可得MC=- CB- CA, 2 3 1→ 2→ → → → 在△MAC 中,MA=MC+CA=- CB+ CA, 2 3 1 1 → → → → → 在△MBC 中,MB=MC+CB= CB- CA, 2 3 1 2 1 1 → → → → → → MA?MB=(- CB+ CA)?( CB- CA) 2 3 2 3 1→2 1→ → 2→2 =- CB + CB?CA- CA , 4 2 9 → → 又等边△ABC 中,|CB|=|CA|=2, 8 → → → → → → CB?CA=|CB|?|CA|cos 60°=2,则MA?MB=- . 9 8 答案:(1)D (2)- 9

向量模的问题 (1)已知向量 a 与 b 的夹角为 45°, 且|a|=1, |2a+b|= 10, 则|b|=________. (2)设向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,(a-b)⊥c,|a|=1,则|b|=________. (链接教材 P97 习题 2-5 A 组 T4) [解析] (1)因为|2a+b|= 10, 2 所以(2a+b) =10,
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所以 4a +4a?b+b =10, 又因为向量 a 与 b 的夹角为 45°且|a|=1, 2 2 所以 4|a| +4|a||b|cos 45°+|b| =10, 2 2 2 故 4?1 +4?1?|b|? +|b| =10, 2 整理得|b| +2 2|b|-6=0, 解得|b|= 2或|b|=-3 2(舍去). (2)因为 a+b+c=0,所以 c=-(a+b). 因为(a-b)⊥c,所以 c?(a-b)=0, 所以-(a+b)?(a-b)=0, 2 2 所以 a -b =0, 所以|b|=|a|=1. [答案] (1) 2 (2)1 本例(2)中,加上条件 a⊥b,其他不变,求|c|. 解:由已知可得 c=-(a+b),而(a-b)⊥c, 有(a-b)?[-(a+b)]=0, 2 2 所以 a -b =0, 又|a|=1,得|b|=1,而 a⊥b, 2 2 2 2 所以 c =[-(a+b)] =a +2a?b+b =2, 即|c|= 2. 方法归纳 求向量的模的常见思路及方法 2 2 (1)求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用 a =|a| ,勿忘 记开方. 2 2 2 (2)a?a=a =|a| 或|a|= a ,此性质可用来求向量的模,可以实现实数运算与向量 运算的相互转化. 2 2 2 2 2 (3)一些常见的等式应熟记,如(a±b) =a ±2a?b+b ,(a+b)?(a-b)=a -b 等.
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2

2

2.(1)平面向量 a 与 b 的夹角为 60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=( ) A. 3 B.2 3 C.4 D.12 (2)若向量 a,b 满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=( ) A.2 B. 2 2 C.1 D. 2 (3)已知同一平面上的向量 a,b,c 两两所成的角相等,并且|a|=1,|b|=2,|c|=3, 求|a+b+c|. 2 2 2 解:(1)选 B.|a+2b|= (a+2b) = a +4a?b+4b 2 2 = |a| +4|a||b|cos 60°+4|b| 1 = 4+4?2?1? +4=2 3. 2 ?(a+b)?a=0, ? (2)选 B.由题意知? ? ?(2a+b)?b=0, 2 ?a +b?a=0,① 2 2 即? 将①?2-②得,2a -b =0, 2 2 a ? b + b = 0 ,② ? 所以 b =|b| =2a =2|a| =2,故|b|= 2.
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2 2 2 2

(3)①当向量 a,b,c 共线且同向时,所成的角均为 0°, 所以|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=6; ②当向量 a,b,c 不共线时,易知 a,b,c 皆为非零向量. 设 a,b,c 所成的角均为 θ , 则 3θ =360°, 即 θ =120°,所以 a?b=|a||b|cos 120°=-1. 3 同理 b?c=-3,c?a=- , 2 2 2 2 2 由|a+b+c| =a +b +c +2a?b+2b?c+2c?a=3, 故|a+b+c|= 3. 综上所述,|a+b+c|=6 或 3.

向量的夹角与垂直 1 (1)已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 α ,且 cos α = ,向量 a=3e1-2e2 与 b=3e1 3 -e2 的夹角为 β ,则 cos β =________. (2)已知向量 a, b 满足 a-b 与 a+b 垂直, 2a+b 与 b 垂直, 则 a 与 b 的夹角为________. 1 (3)已知非零向量 a,b 满足|a|=1,且(a-b)?(a+b)= . 2 ①求|b|; 1 ②当 a?b= 时,求向量 a 与 b 的夹角 θ 的值. 2 [解] (1)因为|a|= (3e1-2e2) 1 = 9+4-12?1?1? =3, 3 |b|= (3e1-e2) =
2 2

1 9+1-6?1?1? =2 2, 3

1 2 2 所以 a?b=(3e1-2e2)?(3e1-e2)=9e1-9e1?e2+2e2=9-9?1?1? +2=8, 3 8 2 2 2 2 所以 cos β = = .故填 . 3 3 3?2 2 (2)因为 a-b 与 a+b 垂直, 2 2 所以(a-b)?(a+b)=0.所以 a =b .所以|a|=|b|. 因为 2a+b 与 b 垂直,所以(2a+b)?b=0. 1 2 1 2 2 所以 2a?b+b =0.所以 a?b=- b =- |b| . 2 2 设 a,b 的夹角为 θ , 1 2 - |b| 2 a?b 1 则 cos θ = = 2 =- . |a||b| |b | 2 2π 2π 因为 0≤θ ≤π ,所以 θ = .故填 . 3 3 1 (3)①因为(a-b)?(a+b)= , 2 1 2 2 即 a -b = , 2

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1 1 1 2 2 所以|b| =|a| - =1- = , 2 2 2 故|b|= 2 . 2

a?b 2 ②因为 cos θ = = , |a||b| 2 又 0°≤θ ≤180°,所以θ =45°. 方法归纳 求向量夹角的基本步骤及注意事项 (1)步骤

(2)注意事项 在个别含有|a|,|b|与 a?b 的等量关系式中,常利用消元思想计算 cos θ 的值.

3.(1)已知向量 a, b 满足|a|=2,|b|=3,a?(b-a)=-1,则 a 与 b 的夹角为( π π A. B. 6 4 π π C. D. 3 2

)

(2)已知向量 a,b,满足|a|=3,|b|=2 3,且 a⊥(a+b),则 a 与 b 的夹角为( ) π 2π A. B. 2 3 3π 5π C. D. 4 6 → → → → → → → → → (3)已知向量AB与AC的夹角为 120°, 且|AB|=3, |AC|=2, 若AP=λ AB+AC, 且AP⊥BC, 则实数 λ 的值为________. 解析:(1)因为|a|=2, a?(b-a)=-1, 2 2 所以 a?(b-a)=a?b-a =a?b-2 =-1, 所以 a?b=3. 又因为|b|=3, 设 a 与 b 的夹角为 θ , a?b 3 1 则 cos θ = = = . |a||b| 2?3 2 π 又 θ ∈[0,π ],所以 θ = . 3 (2)设 a 与 b 的夹角为 θ ,因为|a|=3,|b|=2 3,且 a⊥(a+b),所以 a?(a+b)= 3 a2+a?b=|a|2+|a||b|cos θ =9+6 3cos θ =0,则 cos θ =- ;又因为 θ ∈[0, 2 π ], 5π 5π 所以 θ = ,即 a 与 b 的夹角为 . 6 6 → → → → → → → → (3)向量AB与AC的夹角为 120°, 且|AB|=3, |AC|=2, 所以AB? AC=|AB|? |AC|cos 120° =-3.
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→ → → → 由AP⊥BC得,AP?BC=0, → → → → → → 即AP?BC=(λ AB+AC)?(AC-AB)=0, →2 →2 → → 所以AC -λ AB +(λ -1)AB?AC=0, 即 4-9λ -3(λ -1)=0, 7 解得 λ = . 12 7 答案:(1)C (2)D (3) 12

易错警示

因数量积转化不等价致误

π 设两个向量 e1,e2 满足|e1|=2,|e2|=1,e1 与 e2 的夹角为 ,若向量 2te1+7e2 3 与 e1+te2 的夹角为钝角,则实数 t 的取值范围为________. [解析] 由向量 2te1+7e2 与 e1+te2 的夹角为钝角,得(2te1+7e2)?(e1+te2)<0, 2 2 2 即 2te1+2t e1?e2+7e1?e2+7te2<0, π 因为|e1|=2,|e2|=1,且 e1 与 e2 的夹角为 , 3 1 2 化简即得:2t +15t+7<0,解得-7<t<- . 2 当夹角为π 时,2te1+7e2=λ (e1+te2),λ <0, ?λ =- 14, ?2t=λ , 可求得?7=λ t,所以?

?

?

? ?λ <0,

t=- . ? 2 ?

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所以所求实数 t 的范围是 14? ? 14 1? ? ?-7,- ?∪?- ,- ?. 2 2 2? ? ? ? [答案] ?-7,-

? ?

14? ? 14 1? ?∪?- ,- ?. 2 ? ? 2 2?

1 [错因与防范] (1)解答本题常会出现错误的答案为(-7,- ).原因是不理解数量积 2 的符号与向量夹角的关系,不等式“(2te1+7e2)?(e1+te2)<0”与“向量夹角为钝角”并 不等价,其中还包含了共线且反向的情况. (2)注意问题转换的等价性 数量积的符号同向量夹角的关系如下:对于非零向量 a 和 b 及其夹角 θ ,①a?b=0? a⊥b;②a?b>0?θ 为锐角或零角;③a?b<0?θ 为钝角或平角.如本例应排除向量 2te1 +7e2 与 e1+te2 共线且反向的特殊情形后才等价. 4.(1)已知 a 是单位向量,|b|= 6,且(2a+b)?(b-a)=4- 3,则 a 与 b 的夹角 ) A.45° B.60° C.120° D.135° (2)已知非零向量 a,b 满足|a|=|b|=|a+b|,则 a,b 的夹角为________. 2 2 解析:(1)设 a,b 的夹角为 θ .由(2a+b)?(b-a)=2a?b-2a +b -a?b=a?b-2 +6=a?b+4=4- 3, 所以 a?b=- 3, 又 a?b=|a||b|cos θ = 6?cos θ =- 3, 为(
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2 ,又 0°≤θ ≤180°,所以 θ =135°, 2 故 a 与 b 的夹角为 135°. (2)设 a,b 的夹角为 θ . 2 2 由|a|=|b|=|a+b|,得|a| =|a+b| , 1 2 2 2 2 所以|a| =|a| +2a?b+|b| ,得 a?b=- |b| , 2 1 2 所以 a?b=|a||b|cos θ =- |b| , 2 1 2π 所以 cos θ =- ,又 θ ∈[0,π ],所以 θ = . 2 3 2π 答案:(1)D (2) 3 所以 cos θ =-

→ → → → ?→ 1.若四边形 ABCD 满足AB+CD=0, AB AB=0,则该四边形是( ) -DB A.菱形 B.矩形 C.直角梯形 D.正方形 → → → → 解析: 选 B.由AB+CD=0 知, AB=DC, 所以 AB 綊 CD, 所以四边形 ABCD 是平行四边形. 因 → → → → → → ?AB= → → ?AB=AD?AB=0,所以 AD⊥AB,所以四边形 ABCD 是矩形, 为 AB -DB AB+BD 故选 B. → → → → → → 2.等边三角形 ABC 的边长为 1,则AB?BC+BC?CA+CA?AB等于( ) A.0 B.1 1 3 C.- D.- 2 2 → → → → → → → → → 解析:选 D.由已知|AB|=|BC|=|CA|=1,所以AB?BC+BC?CA+CA?AB=cos 120° 3 +cos 120°+cos 120°=- . 2 3.已知向量 a,b 满足(a+2b)?(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则 a 与 b 的夹角为 ________. 2 2 解析:设 a,b 的夹角为 θ ,由(a+2b)?(a-b)=-6,得 a +a?b-2b =-6,又|a| a?b 1 =1,|b|=2,所以 a?b=1,所以 cos θ = = ,又因为 0°≤θ ≤180°,所以 θ |a||b| 2 =60°. 答案:60°

(

)

(

)

(

)

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[学生用书单独成册])

[A.基础达标] 1.设 a,b,c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ①(a?b)c-(c?a)b=0; ②|a|-|b|<|a-b|; ③(b?c)a-(c?a)b 不与 c 垂直; 2 2 ④(3a+2b)?(3a-2b)=9|a| -4|b| 中,是真命题的有( ) A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 解析: 选 D.因为(a?b)c 是与 c 共线的向量, (c?a)b 是与 b 共线的向量, 所以(a?b)c 与 (c?a)b 不 一 定 相 等 , 排 除 ①. 因 为 [(b?c)a - (c?a)b]?c = (b?c)(a?c) - (c?a)(b?c)=0,所以(b?c)a-(c?a)b 与 c 垂直,所以排除③,故选 D. 2.已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=4,且 a?b=2,则 a 与 b 的夹角 θ 为( ) π π A. B. 6 4 π π C. D. 3 2 解析:选 C.因为 a?b=|a||b|cos θ , 1 所以 1?4cos θ =2,即 cos θ = . 2 π 又因为 θ ∈[0,π ],所以 θ = . 3 3.已知 a 与 b 均为单位向量,它们的夹角为 60°,那么|a+3b|等于( ) A. 7 B. 10 C. 13 D.4 解析:选 C.因为|a|=|b|=1,又 a 与 b 的夹角为 60°, 2 2 2 所以|a+3b| =|a| +6a?b+9|b| =1+6?cos 60°+9=13. 即|a+3b|= 13. → → → → 4.在△OAB 中,OA=a,OB=b,OD 是 AB 边上的高,若AD=λ AB,则 λ 等于( ) a?(b-a) a?(a-b) A. B. 2 2 |a-b| |a-b| a?(b-a) a?(a-b) C. D. |a-b| |a-b| → → 解析:选 B.由题意知OD?AB=0, → → → 即AB?(OA+AD)=0, → → → 所以AB?(OA+λ AB)=0, → → → → → AB?OA (OB-OA)?OA 所以 λ =- =- →2 → → 2 AB (OB-OA) a?(a-b) = ,故选 B. 2 |a-b| 5.若向量 a,b,c 均为单位向量,且 a⊥b,则|a-b-c|的最小值为( )
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A. 2-1 B.1 C. 2+1 D. 2 解析:选 A.因为 a,b,c 均为单位向量,且 a⊥b, 所以 a?b=0, 2 所以|a-b|= (a-b) 2 2 = a +b -2a?b= 2, 所以|a-b-c|≥|a-b|-|c| = 2-1. 6.已知单位向量 e1,e2 的夹角为 120°,则|2e1-e2|=________. 2 2 2 解 析 : |2e1 - e2| = (2e1-e2) = 4e1-4e1?e2+e2 = 5-4?1?1?cos 120° = 7. 答案: 7 → → 7.在等腰△ABC 中,AB=AC=1,B=30°,则向量AB在向量AC上的投影等于________. → 解析:因为等腰△ABC 中,AB=AC=1,B=30°,所以∠BAC=120°,因此向量AB在向 1 → → 量AC上的投影为|AB|cos 120°=- . 2 1 答案:- 2 π 8.已知 a,b,c 为单位向量,且满足 3a+λ b+7c=0,a 与 b 的夹角为 ,则实数 λ 3 =________. 2 2 2 2 解析:由 3a+λ b+7c=0,可得 7c=-(3a+λ b),即 49c =9a +λ b +6λ a?b,而 π a,b,c 为单位向量,则 a2=b2=c2=1,则 49=9+λ 2+6λ cos ,即 λ 2+3λ -40=0, 3 解得 λ =-8 或 λ =5. 答案:-8 或 5 9.设向量 a,b 满足|a|=1,|b|=1,且 a 与 b 具有关系|ka+b|= 3|a-kb|(k>0). (1)a 与 b 能垂直吗? (2)若 a 与 b 的夹角为 60°,求 k 的值. 解:(1)因为|ka+b|= 3|a-kb|, 2 2 所以(ka+b) =3(a-kb) , 且|a|=|b|=1, 2 2 即 k +1+2ka?b=3(1+k -2ka?b), k2+1 2 所以 a?b= .因为 k +1≠0, 4k 所以 a?b≠0,即 a 与 b 不垂直. (2)因为 a 与 b 的夹角为 60°,且|a|=|b|=1, 1 所以 a?b=|a||b|cos 60°= . 2 k2+1 1 所以 = . 4k 2 所以 k=1. 10.设向量 a,b 满足|a|=|b|=1,|3a-b|= 5. (1)求|a+3b|的值; (2)求 3a-b 与 a+3b 夹角的正弦值. 2 解:(1)由|3a-b|= 5得(3a-b) =5, 2 2 所以 9a -6a?b+b =5. 2 2 2 2 因为 a =|a| =1,b =|b| =1,
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所以 9-6a?b+1=5, 5 所以 a?b= . 6 5 2 2 2 所以(a+3b) =a +6a?b+9b =1+6? +9?1=15. 6 所以|a+3b|= 15. (2)设 3a-b 与 a+3b 的夹角为 θ . 5 20 2 2 因为(3a-b)?(a+3b)=3a +8a?b-3b =3?1+8? -3?1= . 6 3 20 3 (3a-b)?(a+3b) 4 3 所以 cos θ = = = . |3a-b||a+3b| 9 5? 15 因为 0°≤θ ≤180°,所以 sin θ = 1-cos θ = 所以 3a-b 与 a+3b 夹角的正弦值为 33 . 9 [B.能力提升]
2

33 ?4 3?2 1-? ? = 9 . 9 ? ?

→ → 1.如图,在四边形 ABCD 中,AB⊥BC,AD⊥DC.若|AB|=a,|AD|=b, → → 则AC?BD=( ) 2 2 A.a -b 2 2 B.b -a 2 2 C.a +b D.a?b → → → → → → → → 解析: 选 B.因为AD⊥DC, 所以AC在AD方向上的投影为|AC|? cos∠CAD=|AD|, 又AB⊥BC, → → → → 所以AC在AB方向上的投影为|AC|?cos∠CAB=|AB|. → → → → → → → → → → → → → 2 2 所以AC?BD=AC?(AD-AB)=AC?AD-AC?AB=|AD||AD|-|AB||AB|=b -a . 2 2 |PA| +|PB| 2. 在 Rt△ABC 中, 点 D 是斜边 AB 的中点, 点 P 为线段 CD 的中点, 则 =( ) 2 |PC| A.2 B.4 C.5 D.10 →2 →2 2 2 |PA| +|PB| PA +PB 解析:选 D. = 2 |PC| →2

PC



→ → 2 → → 2 (PC+CA) +(PC+CB) →2

PC



→2 → → → → →2 →2 2PC +2PC?CA+2PC?CB+CA +CB →2

PC

→ 2 → → → →2 2|PC| +2PC?(CA+CB)+AB → 2 |PC| → 2 |AB| 2 = -6=4 -6=10. → 2 |PC| =
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π |x| 3.设 e1,e2 为单位向量,非零向量 b=xe1+ye2,x,y∈R.若 e1,e2 的夹角为 ,则 6 |b | 的最大值等于________. 解析:根据题意,得 2 x2 x2 ?|x|? = ?|b|? (xe +ye )2=(xe )2+(ye )2+2xye ?e ? ? 1 2 1 2 1 2 =

x2 x2+y2+2xycos
π 6



x2

x2+y2+ 3xy



1 1 = . 2 y? 3y ?y 3?2 1 ? 1+? ? + ? + ? +4 x ?x? ?x 2 ?

因为? + 答案:2

?y ?x

2 |x| |x| 3? 2 1 1 ?|x|? ? +4≥4,所以 0<?|b|? ≤4,所以 0<|b|≤2.故|b|的最大值为 2. ? ? 2?

→ → 4.在平行四边形 ABCD 中,AD=1,∠BAD=60°,E 为 CD 的中点.若AC?BE=1,则 AB 的长为________. 解析:

→ → → → → → → 1→ → → → 设 AB 的长为 a(a>0),又因为AC=AB+AD,BE=BC+CE=AD- AB,于是AC?BE=(AB+ 2 1 1 1 2 1 → ?→ 1→? 1→ → 1→2 →2 AD)??AD- AB?= AB? AD- AB +AD =- a2+ a+1, 由已知可得- a + a+1=1.又 a>0, 2 ? 2 2 2 4 2 4 ? 1 1 所以 a= ,即 AB 的长为 . 2 2 1 答案: 2 5.如图,在△ABC 中,O 为中线 AM 上的一个动点,如果 AM=2,求 → → → OA?(OB+OC)的最值. → → → 解:因为OB+OC=2OM, → → → → → → → → → 所以OA? (OB+OC)=OA? 2OM=2|OA||OM|? cos 180°=-2|OA||OM |, → → → → |OA|+|OM|=2,设|OM|=t(0≤t≤2)? |OA|=2-t. → → → 2 2 所以OA?(OB+OC)=-2(2-t)t=2t -4t=2(t-1) -2(0≤t≤2). → → → 所以当 t=1 时,OA?(OB+OC)取得最小值-2. → → → 当 t=0 或 2 时,OA?(OB+OC)取得最大值 0. 6.(选做题)已知非零向量 a、b,设其夹角为 θ ,是否存在 θ ,使得|a+b|= 3|a- b|成立,若存在,求出 θ 的取值范围,若不存在,请说明理由. 解:假设存在满足条件的 θ , 由|a+b|= 3|a-b|可得: 2 2 (a+b) =3(a-b) , 2 2 2 2 即|a| +2a?b+|b| =3(|a| -2a?b+|b| ) 2 2 2 2 ? |a| -4a?b+|b| =0? |a| -4|a|?|b|cos θ +|b| =0.

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2 |a | ?|a|? 2 已知向量 a、b 为非零向量,则|b|≠0,上式同除以|b| 得到:? ? -4cos θ +1 |b | ?|b|? =0, 2 由 Δ ≥0 得到:(-4cos θ ) -4≥0, 1 1 解得 cos θ ≤- 或 cos θ ≥ , 2 2 又知 cos θ ∈[-1,1], 1 1 则-1≤cos θ ≤- 或 ≤cos θ ≤1, 2 2 因为 θ ∈[0,π ]. ? π ? ?2π ? 所以 θ ∈?0, ?∪? ,π ?满足题意. 3? ? 3 ? ? π 2 π ? ? ? ? 因此,当 θ ∈?0, ?∪? ,π ?时,使得|a+b|= 3|a-b|. 3? ? 3 ? ?

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