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四川省郫县2015-2016学年高一下学期期末考试数学(理)试卷


郫县 2015-2016 学年度下期期末考试 高一数学(理)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题),满分 150 分,考试时间 120 分钟.考 生作答时,必须将答案答在答题卡对应位置上,做选择题时用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的 答案标号涂黑.在本试卷、草稿纸上答题无效.考试结束后,只将答题卡交回.

第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题列出的四个选项中,选 出符合题目要求的一项)
2 1.不等式 x ? 3x ? 2 ? 0 的解集是

A. {x | x ? ?2或x ? ?1} C. {x | ?2 ? x ? ?1}

B. {x | x ? 1或x ? 2} D. {x | 1 ? x ? 2}

2.已知数列 {an } 是等差数列,且 a3 ? a11 ? 50, a4 ? 13,则公差 d ? A. 1 B. 4 C. 5 D. 6 4

3.一个圆锥的正(主)视图及其尺寸如图所示, 则该圆锥的侧面积是 A.

15 ? 2

B. 12?

C. 15?

D. 24?

6

4.设向量 a, b 均为单位向量,且 | a ? 2b |? 3 ,则 a与b 的夹角为 A.

? 3

B.

? 2

C.

3? 4

D.

2? 3

5.已知 a ? 0,?1 ? b ? 0 ,则下列不等关系正确的是
2 A. ab ? a ? ab 2 C. ab ? ab ? a 2 B. ab ? ab ? a 2 D. a ? ab ? ab

6.如图,测量河对岸的旗杆 AB 高时,选与旗杆底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D.测得
?BCD ? 75? , ?BDC ? 60? , CD ? a ,并在点 C 测得旗杆顶 A 的仰角

为 60 ? ,则旗杆高 AB 为

A.

2 a 2

B.

3 2 a 2

C.

3 a 2

D.

6 a 2

7.已知 a

n

?

2 ,则 S ? 6 n ? 2n
2

A. 69

B. 7

C. 69

D. 7

56

8

28

16

8.设正方体的所有棱长都为 a ,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 A. ?a 2 B.

2?a 2

C.

3?a 2

D.

12?a 2

9.等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a1 ? 0, S 9 ? S12 ,则当 S n 取最小值时, n 等于 A.10 10. B.11 C.9 或 10 D. 10 或 11

2 cos10? ? sin 20? 的值是 sin 70?
A.

1 2

B.

3 2

C.

3

D.

2

11.设锐角 ?ABC 中,若 A ? 2 B ,则 A. ( 2 , 3 ) B. ( 2 ,2)

a 的取值范围是 b
C. (1, 3) D. (1,2)

12. 已 知 A, B, P 是 直 线 l 上 三 个 相 异 的 点 , 平 面 内 的 点 O ? l , 若 正 实 数 x , y 满 足

1 1 4OP ? 2xOA ? yOB ,则 ? 的最小值为 x y
A.

2 2

B.

3? 2 2 4

C.

3? 2 4

D.

3? 2 4

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.已知 tan( ? ? ? ) ?

3 ? 1 ? , tan( ? ? ) ? ,则 tan( ? ? ) ? ___________. 5 4 2 4

14. 已知等比数列 {an } 中,各项都是正数,且 a1 , 为 .

a ? a10 1 a 3 ,2a 2 成等差数列,则 9 的值 2 a 7 ? a8

15.在 ?ABC 中, C ? 90? ,且 CA ? CB ? 3,点M满足BM ? 2 AM. 则 CM ? CA ? ________ . _________ . 16. 设 ? 为锐角,若 cos(? ?

?
6

)?

4 ? ,则 sin( 2? ? ) 的值为 5 12

三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)

已知数列 {an } 是一个等差数列
(1)

a1 ? 1, a4 ? 7 ,求通项公式 a n 及前 n 项和 S n ;
? 14 ,求 a3 ? a5 .

(2)设 S 7

18.(本小题满分 12 分)
如图,已知长方体 ABCD A1 B1C1 D1 ,底面是边长为 1 的正方形,高 AA1 ? 2 求: (1)异面直线 BD与AB1 所成角的余弦值; (2)若 P 为 C1 D1 上的任意一点,求四面体 P ? ABD 的体积.

19.(本小题满分 12 分)
已知 ?ABC 的角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 设向量 m ? (a, b), n ? (sin B, sin A), p ? (b ? 2, a ? 2) . (1)若 m // n ,求证 ?ABC 为等腰三角形; (2)若 m ? p , c ? 2 , C ?

?
3

,求 ?ABC 的面积.

20.(本小题满分 12 分)
假设我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层.已知天宫一号建造的隔热层必须使用 20 年, 每厘米厚的隔热层建造成本是 6 万元,天宫一号每年的能源消耗费用 H(万元)与隔热层厚度

x (厘米)满足关系式: H ( x) ?

k (0 ? x ? 10 ) (当 x ? 0 时表示无隔热层) ,若无隔热层, 3x ? 5

则每年能源消耗费用为 8 万元.设 f ( x) 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和.

(1)求 k 的值和 f ( x) 的表达式; (2)当隔热层修建多少厘米厚时,总费用 f ( x) 最小,并求出最小值.

21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos2 x ? 1( x ? R) . (1)求函数 f ( x) 的最小正周期及在区间 [0, (2)若 f ( x 0 ) ?

?
2

] 上的最大值和最小值;

6 ? ? , x 0 ? [ , ] ,求 cos 2 x0 的值. 5 4 2

22.(本小题满分 12 分)
已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? 0 , nan?1 ? S n ? n(n ? 1) . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 满足 an ? log3 n ? log3 bn ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ; (3)设 Pn ? a1 ? a4 ? a7 ? ... ? a3n?2 , Qn ? a10 ? a12 ? a14 ? ... ? a2n?8 ,其中 n ? N * 试比较 Pn 与 Qn 的大小,并证明你的结论.

郫县 2015—2016 年学年下期期末考试 高一数学(理科)参考答案及评分意见
一、选择题(第小题 5 分) 1-12 题 DBCDC BACDC AB 二、填空题(第小题 5 分)

13 - 16题

1 13

3? 2 2

18

17 2 50

三、解答题(共 70 分) 17.解: (1)设 {an } 的公差为 d ?

a 4 ? a1 ?2 4 ?1

…………2 分

? a n ? 2n ? 1, S n ?

n(1 ? 2n ? 1) ? n2 2

…………5 分

(2)? S 7 ?

7(a1 ? a 7 ) ? 14 2

? a1 ? a7 ? 4

…………7 分 …………10 分

由等差数列的性质,得 a3 ? a5 ? a1 ? a7 ? 4 18.解:(1)

? BD // B1 D1 , AB1 ? AD1, ? ?AB1 D1 (或其补角 )为异面直线 BD与AB1所成的角
… ………3 分

AB1 ? B1 D1 ? AD1 10 cos?AB1 D1 ? ? 2 AB1 ? B1 D1 10
异面直线BD与AB1所成的角的余弦值为
(2 V P — ABD ?

2

2

2

…………5 分

10 . 10

… ………6 分

1 1 1 1 S ?ABD h ? ? ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 3 2 3

…………12 分

19. 解: (1)? m // n ,? a sin A ? b sin B …………3 分

a?

a b ? b? ,? a ? b 2R 2R

…………5 分 …………6 分

? ?ABC 为等腰三角形.
(2)由题意可知 m ? p ,即 a(b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0 ,? a ? b ? ab 由余弦定理可知 4 ? a 2 ? b 2 ? ab ? (a ? b) 2 ? 3ab …………9 分

…………7 分

1 ? (ab) ? 3ab ? 4 ? 0 即 ? ab ? 4或ab ? -(舍去)
2

…………11 分

? S ?ABC ?

1 1 ? ab sin C ? ? 4 ? sin ? 3 2 2 3 k ? 8 ,解得 k ? 40 5

…………12 分

20.解: (1)当 x ? 0 时, H ? 8 ,即

………2 分

故 H ( x) ?

8 3x ? 5

…………3 分

? f ( x) ? 6 x ?

20 ? 40 800 ? 6x ? (0 ? x ? 10) 3x ? 5 3x ? 5

…………6 分 …………7 分

(2)由(1)知 5 ? 3x ? 5 ? 35

? f ( x) ? 6 x ?

20 ? 40 800 ? 2(3x ? 5) ? ? 10 ? 2 1600 ? 10 ? 70 3x ? 5 3x ? 5 …………10 分

当且仅当 6 x ? 10 ?

800 ,即 x ? 5 时 f ( x) 取得最小值 3x ? 5

即隔热层修建 5 厘米厚时,总费用达到最小值,最小值为 70 万元. …………12 分 21.解: (1)由 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos2 x ? 1

? 3 sin 2 x ? cos2 x ? 2 sin(2 x ?

?
6

)

…………3 分

所以函数 f ( x) 的最小正周期为 ?

…………4 分

?0 ? x ?


?
2

,?

?
6

? 2x ?

?
6

?

? ?1 ? 2 sin( 2 x ?

?
6

7? 1 ? ,? ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 6 2 6

)?2

所以函数 f ( x) 在区间 [0,

?
2

] 上的最大值为 2,最小值为-1
…………6 分

(2)由(1)可知 f ( x 0 ) ? 2 sin( 2 x 0 ? 即 sin( 2 x 0 ? 由 x0 ? [

?
6

) ,又因为 f ( x 0 ) ?

6 5
…………7 分

?
6

)?

3 5

? ?

? 2? 7? , ] ,得 2 x0 ? ? [ , ] 4 2 6 3 6

从而 cos(2 x0 ?

?

? 4 ) ? ? 1 ? sin 2 (2 x0 ? ) ? ? 6 6 5
?
6 )?

…………9 分

cos 2 x0 ? cos[(2 x0 ?

?
6

] ? cos(2 x0 ?

?
6

) cos

?
6

? sin(2 x0 ?

?
6

) sin

?
6

?

3?4 3 10

…………12 分 22.解:当 n

? 2 时, nan?1 ? S n ? n(n ? 1), (n ? 1)an ? S n?1 ? n(n ? 1)
? (n ? 1)an ? an ? 2n ,即 an?1 ? an ? 2
………2 分

两式相减得, nan ?1 又因为当 n

? 1 时, a2 ? S1 ? 2,?a2 ? a1 ? 2

所以数列{a n } 是以 0 为首项,2 为公差的等差数列 所以 an

? 0 ? 2(n ? 1) ,即 an ? 2n ? 2

………4 分

(2)由 an ? log3 n ? log3 bn 得: bn ? n ? 3an ? n ? 32n?2

Tn ? 30 ? 2 ? 32 ? 3 ? 34 ? ...? n ? 32n?2 9Tn ? 32 ? 2 ? 34 ? 3 ? 36 ? ...? n ? 32n
两式相减得 ? 8Tn ? 1 ? 3 ? 3 ? ...? 3
2 4 2n ?2

………5 分

? n?3

2n

………7 分

1 ? 32n ? 8Tn ? ? n ? 32n , Tn 1 ? 32

(8n ? 1)32 n ? 1 ? 64

………8 分

(3) a1 , a4 , a7 ,...,a3 n ? 2 组成以 0 为首项,6 为公差的等差数列,所以

Pn ?

n(n ? 1) ? 6 ? 3n 2 ? 3n 2

…………9 分 为首项,4 为公差的等差数列,所以

a10 , a12 , a14 ,...,a2 n?8 组成以 18
Qn ? 18n ?

n(n ? 1) ? 4 ? 2n 2 ? 16 n 2

…………10 分 所 ………… 11 分

故Pn ? Qn ? 3n2 ? 3n ? 2n2 ? 16n ? n2 ? 19n ? n(n ? 19)
以,对于正整数 n ,当 n 当n

? 20 时, Pn ? Qn ;当 n ? 19 时, Pn ? Qn ;
…………12 分

? 18 时, Pn ? Qn


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