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3.3.1 几何概型(上课用)


古典概型的特点及其概率公式: 古 典 概 型 2.事件A的概率公式:
P(A)=

(1)试验中所有可能出现的基本事 件只有有限个。 1.特点 (2)每个基本事件出现的可能性相等.

A包含基本事件的个数

基本事件的总数

(赌博游戏):甲、乙两赌徒掷色子,

规定掷

一次谁掷出6点朝上则谁胜,请问 甲、乙赌徒获胜的概率谁大?

1
3 5

(转盘游戏):图中有两个转盘.甲乙两
人玩转盘游戏, 规定当指针指向B区域时,

甲获胜, 否则乙获胜.在两种情况下分别求
甲获胜的概率是多少?
B N B N

B N

B N

B B

N





①两个问题概率的求法一样吗?若不一样,

请问可能是什么原因导致的?
② 你是如何解决这些问题的?

1 3 5

B N B

N

B N

B N

B B

N

问题1 (电话线问题):一条长50米的电话 线架于两电线杆之间, 其中一个杆子上装有变 压器。在暴风雨天气中, 电话线遭到雷击的点 是随机的。试求雷击点距离变压器不小于20 米情况发生的概率。

变压器

解析:记“雷击点距离变压器不小于

20米”为事件A, 在如图所示的长30m的区 30 域内事件A发生, 所以p( A) ? ? 0.6 50 构成事件A [学生归纳]P ( A) ? 20m 30m 试验的全部结果
50m
变压器

问题2(撒豆子问题):如图, 假设你 在每个图形上随机撒一粒黄豆, 分别计

算它落到阴影部分的概率.





解析:记“落到阴影部分”为事件A, 在

如图所示的阴影部分区域内事件A发生, 所以

1 ? 2 ? r ? r 阴影部分的区域面积 2 ? (1) P ( A) ? ? ? ; 2 整个圆的面积 ?r ? 3 ( 2 ) P ( A) ? 8





问题3(取水问题):有一杯1升的水, 其中含有1个细菌, 用一个小杯从这杯水

中取出0.1升, 求小杯水中含有这个细菌
的概率.

解析:记“小杯水中含有这个细菌” 为事件A, 事件A发生的概率

取出水的体积 0.1 P ( A) ? ? ? 0.1. 杯中所有水的体积 1

1.几何概型的定义:
如果每个事件发生的概率只与构成该事件 区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的

概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.

2.几何概型的特点:
(1)试验中所有可能出现的基本事件 有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.

3.几何概型中事件A的概率公式:
构成事件A的区域长度 (面积或体积) P ( A) ? 试验的全部结果所构成 的区域长度 (面积或体积)

4.古典概型与几何概型的区别:
古典概型 几何概型 无限多个 相等
构成事件A的区域长度 (面积或体积) 试验的全部结果所构成的 区域长度(面积或体积)

基本事件 的个数 基本事件 的可能性
概率公式 P(A)=

有限个 相等
A包含基本事件的个数
基本事件的总数

下列概率问题中哪些属于几何概型?

⑴从一批产品中抽取30件进行检查,
有5件次品,求正品的概率。

⑵箭靶的直径为1m,靶心的直径为12cm,

任意向靶射箭,射中靶心的概率为多少?

⑶随机地投掷硬币50次,统计硬币正面朝
上的概率。 ⑷甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处

会面,并约定先到者应等候另一人一刻钟,过
时才可离去,求两人能会面的概率

例1、在区间[0,9]上任取一个实数,恰好

取在区间[0,3]上的概率为多少?

变题:在区间[0,9]上任取一个整数,恰 好取在区间[0,3]上的概率为多少?

运用1:如图,在边长 为2的正方形中随机撒一 粒豆子,则豆子落在圆内 的概率是____________ 。 4 运用2:在500 ml 的水中有一个草履虫,
?

现在从中随机取出2 A.0.5 B.0.4

水样放到显 微镜 ml
) c D.不能确定

下观察,则发现草履虫的概率为(

C.0.004

例2.某人午休醒来,发觉表停了,他打开收音 机想听电台整点报时,求他等待的时间短于10分 钟的概率.
解:记“等待的时间小于10分钟”为事件A,

打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内 则事件A发生.
由几何概型的求概率公式得 P(A)=(60-50)/60=1/6 即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为 1/6. 2.已知地铁列车每10min一班,在车站停1min.求乘客到 达站台立即乘上车的概率.

1 、 从[0,3]中任取一个数 x, 求x ? 2的概率 .
2、 从[0,3]中任取两个数 x, y, 求x ? y ? 1的概率 .

y
3 (3,2) O

x? y ?1

(1,0)

3

x

1 9 ? ? 2? 2 7 2 ? P ( A) ? ? 9 9

(会面问题)甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间 在某地会面,先到者等一个小时后即离去,设二人 在这段时间内的各时刻到达是等可能的,且二人 互不影响。求二人能会面的概率。
解: 以 x, y 分别表示甲、乙二人到达的时刻,于 是 0 ? x ? 5,0 ? y ? 5 y 即 点 M 落在图中的阴影部 分.所有的点构成一个正 方形,即有无穷多个结果. 由于每人在任一时刻到达 都是等可能的,所以落在正 方形内各点是等可能的.
5 4 3 2 1

.M(x,y)

0 1

2 3 4 5

x

二人会面的条件是: |

x ? y |? 1,
y
5 4 3 2 1

即0 ? x ? y ? 1或0 ? y ? x ? 1
记“两人会面”为事件A

y? x ?1 x? y ?0
x? y ?1

阴影部分的面积 P(A)? 正方形的面积 1 2 25 ? 2 ? ? 4 9 2 ? ? 25 25.

0

1

2 3 4

5

x

用几何概型解简单试验问题的方法
? 1、适当选择观察角度,把问题转化为几何 概型求解; ? 2、把基本事件转化为与之对应的区域D; ? 3、把随机事件A转化为与之对应的区域d; ? 4、利用几何概型概率公式计算。 ? 注意:要注意基本事件是等可能的。

课堂小结
?

1.古典概型与几何概型的区别. 相同:两者基本事件的发生都是等可能的; 不同:古典概型要求基本事件有有限个, 几何概型要求基本事件有无限多个.

?

2.几何概型的概率公式.

d的测度(长度、面积 、体积) P(A)? . D的测度(长度、面积 、体积)
?

3.几何概型问题的概率的求解.


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