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第1,2课时 抛物线的简单性质


2.2 抛物线的简单性质
第1课时 抛物线的简单性质

前面我们已学过椭圆的几何性质,它们都是
通过标准方程的形式研究的,现在请大家想想抛 物线有哪些性质?让我们进入今天的学习!

1.会根据抛物线的标准方程,研究抛物线的几何性 质.(重点) 2.了解抛物线的标准方程,几何性质与图像三者之 间的对应关系,会根据此对应关系求抛物线的标准方 程.(重点,难点)

观察下表中抛物线的四个标准方程及对应图像,结 合椭圆的简单几何性质,来研究抛物线的几何性质: 类型 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

图像

1.对称性 通过观察图像可知,此抛物线 关于x轴对称,我们把抛物线 的对称轴叫作抛物线的轴. 抛物线只有一条对称轴.
o

y

l

P(x,y)

F(

p ,0 ) 2

x

2.范围 思考:观察表中的抛物线标准方程及对应图像,我

们要研究抛物线的范围应从哪几个方面入手?试举例
说明.

提示:像研究椭圆的性质一样,探究抛物线的范围
问题主要从图像与对应标准方程两个角度探讨.以 y2=-2px为例,因p>0,从方程的角度看y2=-2px≥0得 x≤0,y∈R.从图像角度看,方程y2=-2px中因p>0得 其图像开口向左,其图像在x轴的左侧,图像上对应

点的横坐标x≤0,纵坐标y∈R.

由抛物线y2 =2px(p>0)

而 2 px ? y ? 0且p ? 0
2

? x ? 0,
所以抛物线的范围为 x ? 0,
抛物线在y轴的右侧,当x的值增大时,︱y︱也增大, 这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.抛物线是 无界曲线.

3.顶点 抛物线和它的轴的交点 叫作抛物线的顶点.
在方程y 2 ? 2 px( p ? 0)中,当y ? 0 时, x ? 0,因此抛物线的顶点就是 坐标原点.
o
F( p ,0 ) 2

y

l

P(x,y)

x

4.离心率 思考:观察表中抛物线图像上点与焦点和准线的距 离的联系,结合抛物线离心率的概念探究抛物线离 心率的大小. 提示:抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离 的比,叫作抛物线的离心率,通过抛物线的定义及

图形特点易得抛物线的离心率为1.

离心率 抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的 距离的比 _________,叫作抛物线的离心率,用e表示.由 抛物线的定义可知e=__. 1

5.通径: 思考:若在图像中过焦点F作一直线,当此直线与对 称轴垂直时,试探究所得弦长的值. 提示:所得弦长的值为2p(p>0),不妨设垂直于抛 物线对称轴的直线与抛物线相交于A,B两点,过A, B分别作AA′,BB′垂直于抛物线的准线于点A′,B′, 则有|AB|=|AA′|+|BB′|=2p.

通径:
在抛物线的标准方程y2=2px(p>0)中,
p 令 x ? ,则y=±p.这就是说,通过焦 2
y

(
O

点而垂直于x轴的直线与抛物线两交 点的坐标分别为 ( p , p),( p , ? p),
2 2

p , p) 2
, ? p)

Fp
( 2

x

连接这两点的线段叫作抛物线的通径.
通径的长度: 2p 反映抛物线基本特征的草图. p越大,开口越开阔

利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出

图 形
y
l F
O

方程

焦点

准线 范围 顶点 对称轴
x≥0
y∈R x轴

e

y2 = 2px p p F ( , 0) x ? x (p>0) 2 2
l

y
F
O

x≤0 y2 = -2px p p F ( ? , 0) x ? 2 x (p>0) 2 y∈R (0,0) 1 x2 = 2py p F (0, ) x (p>0) 2
l

y
O

F l

p y≥0 y?2 x∈R

y
OF

y轴 = -2py F (0, ? p ) x 2 (p>0) x2
p y? 2

y≤0 x∈R

思考:抛物线的顶点、焦点、准线与对称轴交点

三者之间有何联系?
提示:顶点恰好是焦点、准线与对称轴交点的中 点,可利用中点坐标公式建立三者之间的关系.

例:求顶点在原点,通过点 ( 3, ?6), 且以坐标轴为轴 的抛物线的标准方程.
解: 若 x 轴是抛物线的轴,则设抛物线的标准 方程为 y ? 2 px( p ? 0) .
2

因为 ( 3, ?6) 在抛物线上,所以 (?6)2 ? 2 p ? 3 . 解得 2 p ? 12 3 ,所求抛物线的标准方程为 y ? 12 3x .
2

若 y 轴是抛物线的轴,同理可得抛物线的标准方程

1 为x ?? y. 2
2

【提升总结】求解抛物线标准方程的两个关键点 (1)参数:p是焦点到准线的距离,利用顶点、准线、 焦点的位置关系可快速求参数p. (2)对称:抛物线是轴对称图形,利用图形的特点, 给出图像能写出抛物线的标准方程,由标准方程能 画出其图像,是学习这部分知识的基本能力.需要对 抛物线四种基本标准形式及其图像在坐标系内的位 置熟练掌握.

1.若直线ax-y+1=0经过抛物线y2=4x的焦点,则该直线 的斜率为( C )

A.0

B.1

C.-1

D.-2

【提示】直线ax-y+1=0经过抛物线y2=4x的焦点(1,0). 2.顶点在原点,且经过点(4,-2)的抛物线的标准方程 是 ( D )

A. y 2 ? x C.x ? ?8 y
2

B. y 2 ? ? x或x 2 ? 8 y D. y ? x或x ? ?8 y
2 2

3.求下列抛物线的焦点坐标及准线方程:

(1) x ? ?2 y.
2

(2)2 y ? 8x ? 0.
2

1 1 答案:(1) F (0, ? ), 准线y= .(2) F (1, 0), 准线x ? ?1. 2 2

4.根据下列条件,求抛物线的标准方程.
(1)对称轴是x轴,并且顶点与焦点的距离等于8. (2)对称轴是x轴,焦点在直线3x-4y-12=0上.

解析:(1)由题意知p=16,对称轴是x轴,所以所求抛物

线的标准方程为y2 =32x或y2 =-32x.
(2)由题意知当焦点为F(4,0)时,抛物线的标准方程 为y2 =16x.

1.会根据抛物线的方程求它的焦点、准线方程.

2.会根据抛物线的几何性质求抛物线的标准方程.

尽力去探求和确立已经获得知识的
最深刻的和最完美的内涵。 ——克莱因《西方文化中的数学》


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