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2015年北京丰台二中高三数学第六次模拟测试卷(命题人:张健)


2015 年北京丰台二中高三数学 第六次模拟测试卷
命题人:北京丰台二中特级教师 张健
一、填空题:每题 5 分,共计 40 分。 1.集合 A ? ?x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0? , B ? ?x x ? 0? ,则 A A. ( ??,0] B. ( ??,1] C. [1,2]

B ?(



D. [1, ??) )

2.在复平面内,复数 z1 的对应点是 Z1 (1,1) , z 2 的对应点是 Z 2 (1, ?1) ,则 z1 ? z2 ? ( A. 1 B. 2 C. ? i D. i 开始

3. 已 知 数 列 { an }, 则 “{ an } 为 等 差 数 列 ” 是 “ a1 ? a3 ? 2a2 ”的( )

k ? 1, s ? 1
k ? k ?1
k ? 5?
否 输出 s 结束 是

A.充要条件 B.必要而不充分条件 C.充分而不必要条件 D.既不充分又不必要条件 4. 执行如图所示的程序框图,输出的 s 值为( ) A. ? 10 B. ? 3 C.4 D.5 5. 已知变量 x, y 具有线性相关关系 , 测得 ( x , y ) 的 一组数据如下 : (0,1),(1, 2),(2, 4),(3,5) , 其回归

s ? 2s ? k

? ? 1.4 x ? a ,则 a 的值是( ) 方程为 y
A.0.6 B.0.7
1 2 1 3

C.0.8

D.0.9 ) D. c ? a ? b

6.设 a ? 2 , b ? 3 , c ? log3 2 ,则 ( A. b ? a ? c B. a ? b ? c

C. c ? b ? a

7.在极坐标系中,直线 l 的方程为 ? sin?? ?

? ?

??

2 ? 3? ? ,则点 A? 2, ? 到直线 l 的距离为 ?? 4? 2 ? 4 ?
D. 2 ?

A. 2

B.

2 2
x

C. 2 ?

2 2

2 2

8.已知函数 f ( x) ? a ? 2 ? 1(a ? 0) ,定义函数 F ( x) ? ?

? f ( x), x ? 0, 给出下列命题: ?? f ( x), x ? 0.

1

① F ( x) ? f ( x) ; ②函数 F ( x ) 是奇函数 ;③当 a ? 0 时 , 若 mn ? 0 , m ? n ? 0 , 总有

F ( m) ? F ( n) ? 0成立,其中所有正确命题的序号是(
A.②③ B.①② C.③ D.②



二、填空题:每题 5 分共计 30 分。 9.如图, A, B, C , D 是⊙O 上的四个点,过点 B 的切线 与 DC 的延长线 交 于 点
6 正(主视图) 3 俯视图 3 侧(左)视图

E.



?BCD ? 110?

,



?DBE ? ________°;

? 4 ( x ? 4) ?1 ? , 10. 已知函数 f ( x) ? ? 。 若关于 x ? ?log 2 x, (0 ? x ? 4)

x 的方程 f ( x) ? k 有两个不同的实根,
则实数 k 的取值范围是 . 11.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积为_________; 12.若 ( x2 ? )n 展开式中的二项式系数和为 64 ,则该展开式中的常数项为_______. 13. 已知正三角形 ABC 的边长为 1,点 P 是 AB 边上 的动点, 点 Q 是 AC 边上的动点,且

1 x

AP ? ? AB, AQ ? ?1 ? ? ?AC, ? ? R ,则 BQ ? CP 的最大值为_________;
?x ? y ? 0 ?2 x ? y ? 2 ? 14. 若不等式 ? 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是_________。 ?y ? 0 ? ?x ? y ? a

三、解答题: 15.(本题满分 13 分) 已知向量 m ? (sin x,1), n ? ( 3 A cos x, (Ⅰ)求 A ;

A cos 2 x)( A ? 0) ,函数 f ( x) ? m ? n 的最大值为 6. 2
A O B C E

? (Ⅱ)将函数 y ? f ( x ) 的图象向左平移 个单位,再将所得 12
图象上各点的横坐标缩短 为原来的

D

1 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象.求 2
2

g ( x) 在 [0,

5? ] 上的值域. 24

16.(本题满分 13 分) 如图, 在四棱锥 P—ABCD 中, 底面是边长为 2 3 的菱 形,且∠BAD=120° ,且 PA⊥平面 ABCD,PA= 2 6 ,M, N 分别为 PB,PD 的中点. (Ⅰ)证明:MN∥平面 ABCD; (Ⅱ) 过点 A 作 AQ⊥PC,垂足为点 Q,求二面角 A— MN—Q 的平面角的余弦值.

17.(本题满分 13 分) 某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位:分钟) ,并将所得数据绘制成频率 分布直方图(如图) ,其中,上学所需时间的范围是 [0,100] ,样本数据分组为 [0, 20) ,

[20, 40) , [40,60) , [60,80) , [80,100] .
(Ⅰ)求直方图中 x 的值; (Ⅱ)如果上学所需时间不少于 1 小时的学生可申请 在学校住宿,请估计学校 600 名新生中有多少名 学生可以申请住宿; (Ⅲ)从学校的新生中任选 4 名学生,这 4 名学生上 学所需时间少于 20 分钟的人数记为 X ,求 X 的
0.025

频率 /组距

x
0.0065 0.003

O

20

40

60

80

100

时间

分布列和数学期望.(以直方图中新生上学所需时间少于 20 分钟的频率作为每名学生 上学所需时间少于 20 分钟的概率)

18.(本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

ax 2 ? x ? a . ex

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)当 x ? [0, 2] 时, f ( x ) ?

1 恒成立,求 a 的取值范围. e2
3

19.(本题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 1 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 经过点 M (1, ), 其离心率为 . 2 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,以线段 OA, OB 为邻边作平行四边形 OAPB, 其中顶点 P 在椭圆 C 上, O 为坐标原点. 求 O 到直线距离的 l 最小值.

20.(本题满分 14 分) 若无穷数列 {an } 满足:①对任意 n ? N * ,

an ? an ? 2 ? an ?1 ;②存在常数 M ,对任意 2

n ? N * , an ? M ,则称数列 {an } 为“ T 数列”.
(Ⅰ)若数列 {an } 的通项为 an ? 8 ? 2n (n ? N*) ,证明:数列 {an } 为“ T 数列” ; (Ⅱ)若数列 {an } 的各项均为正整数,且数列 {an } 为“ T 数列” ,证明:对任意 n ? N * ,

an ? an?1 ;
(Ⅲ)若数列 {an } 的各项均为正整数,且数列 {an } 为“ T 数列” ,证明:存在 n0 ? N * , 数列 {an0 ?n } 为等差数列.

4

参考答案
1.B;2.B;3.C;4.A;5.D;6.D;7.B;8.A 9.70°;10. 1 ? k ? 2 ;11. 9 ? 18 2 ;12.15; 13. BQ ? CP ? (BA ? AQ) ? (CA ? AP) ? [BA ? (1? ?) AC] ? (CA ? ? AB)

uuu r uur

uu r

uuu r

uu r

uu u r

uu r

uuu r

uu r

uu u r

uu u r uuu r uu u r2 uuu r2 uu u r uuu r ? AB ? AC ? ? AB ? (1 ? ? ) AC ? ? (1 ? ? ) AB ? AC ? (? ? ? 2 ? 1) ? cos60 ? ? ? ? ?1 uuu r uur 1 3 1 1 3 ? ? (? ? ) 2 ? , 0 ? ? ? 1 ,所以当 ? ? 时, BQ ? CP 的最大值为 ? ,选 D. 2 8 2 2 8

14. 0 ? a ? 1 或 a ?

4 。 3

5

15.

16.【答案】(Ⅰ)如图连接 BD. ∵M,N 分别为 PB,PD 的中点, ∴在 ? PBD 中,MN∥BD. 又 MN ? 平面 ABCD, ∴MN∥平面 ABCD; (Ⅱ)如图建系: A(0,0,0),P(0,0, 2 6 ),M( ? N( 3 ,0,0),C( 3 ,3,0).
CP ? (? 3, ? 3, 2 6) . 设 Q(x,y,z),则 CQ ? ( x ? 3,y ? 3,z), ? 3?, 2 6? ) ,∴ Q( 3 ? 3?, 3 ? 3?, 2 6? ) . ∵ CQ ? ? CP ? (? 3?,

3 3 , ,0), 2 2

6

由 OQ ? CP 即: Q(

? OQ ? CP ? 0 ,得: ? ?

1 . 3

2 3 2 6 ,2, ). 3 3

对于平面 AMN:设其法向量为 n ? (a,b,c) . ∵ AM ? (?
3 3 , , 0),AN =( 3, 0, 0) . 2 2
? 3 ?a ? 3 ? 1 ? . ?b ? 3 ? ?c ? 0 ? ?

? ? AM ? n ? 0 则? ? AN ? n ? 0 ?

? 3 3 a? b ? 0 ?? ? ? 2 2 ? 3a ? 0 ?

?

∴n?(

3 1 , ,0) . 3 3

同理对于平面 AMN 得其法向量为 v ? ( 3,, 1 ? 6) . 记所求二面角 A—MN—Q 的平面角大小为 ? , 则 cos ? ?
n?v n?v ? 10 . 5

∴所求二面角 A—MN—Q 的平面角的余弦值为 16.解: (Ⅰ)由直方图可得:

10 . 5

20 ? x ? 0.025 ? 20 ? 0.0065 ? 20 ? 0.003 ? 2 ? 20 ? 1 . 所以 x = 0.0125 .
(Ⅱ)新生上学所需时间不少于 1 小时的频率为: 0.003 ? 2 ? 20 ? 0.12 , 因为 600 ? 0.12 ? 72 , 所以 600 名新生中有 72 名学生可以申请住宿. (Ⅲ) X 的可能取值为 0,1,2,3,4. 由直方图可知,每位学生上学所需时间少于 20 分钟的概率为

1 , 4

81 ? 3? , P( X ? 0) ? ? ? ? ? 4 ? 256
2 2 2 4

4

? 1 ?? 3 ? 27 , P( X ? 1) ? C ? ?? ? ? ? 4 ?? 4 ? 64
1 4 3

3

27 ?1? ?3? ?1? ?3? 3 , P( X ? 3) ? C3 , P( X ? 2) ? C ? ? ? ? ? 4? ? ? ?? ? 4 ? ? 4 ? 128 ? 4 ? ? 4 ? 64
1 ?1? . P( X ? 4) ? ? ? ? ? 4 ? 256
7
4

所以 X 的分布列为:

X
P

0

1

2

3

4

81 256

27 64

27 128

3 64

1 256

???????????????12 分

EX ? 0 ?

1 81 27 27 3 1 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 1 .(或 EX ? 4 ? ? 1 ) 4 256 64 128 64 256

所以 X 的数学期望为 1.

18.【答案】 (Ⅰ)略

?ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1 ? a ?(ax ? 1 ? a)( x ? 1) ? (Ⅱ) f ?( x) ? ex ex
令 f ?( x) ? 0 当 a ? 0 时,x ? 1 , 在( 0 , 1 ) 上, 有 f ?( x) ? 0 , 函数 f ( x ) 增; 在 (1, 2) 上, 有 f ?( x) ? 0 ,

函数 f ( x ) 减, f (0) ? 0, f (2) ? 6分 当 a ? 0 时, x1 ? 1, x2 ? 1 ?

2 e2

函数 f ( x ) 的最小值为 0,结论不成立.????

1 a

???????????7 分 ???????9 分

若 a ? 0 , f (0) ? a ? 0 ,结论不成立 若 0 ? a ? 1 ,则 1 ?

1 ? 0 ,在 (0,1) 上,有 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 增; a

在 (1, 2) 上,有 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 减,

1 1 ? ? f (0) ? 2 a? 2 ? ? ? ? e e 只需 ? ,得到 ? , 1 1 ? f (2) ? ?a ? ? ? ? 5 e2 ? ?
所以

1 ? a ?1 e2

????????11 分

1 1 ? f (1 ? ) ? 2 ? 1 1 ? a e 若 a ? 1 , 0 ? 1 ? ? 1 ,函数在 x ? 1 ? 有极小值,只需 ? a a ? f (2) ? 1 ? e2 ?

8

1 ?1? ? a 1 2 a ? 1 ? e ?1? ? 得到 ? ,因为 2a ? 1 ? 1, e a ? 1 ,所以 a ? 1 1 ?a ? ? 5 ? 1 综上所述, a ? 2 ??????14 分 e

??????13 分

19.解: (Ⅰ)由已知, e ?
2

a 2 ? b2 1 ? ,所以 3a 2 ? 4b2 , a2 4
1 9 ? 2 ?1 , 2 a 4b



????1 分

又点 M (1, ) 在椭圆 C 上,所以 由①②解之,得 a2 ? 4, b2 ? 3 . 故椭圆 C 的方程为

3 2



???2 分

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

?????5 分

(Ⅱ) 当直线 l 有斜率时,设 y ? kx ? m 时, 则由 ?

? y ? kx ? m, 2 2 2 消去 y 得, (3 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ?12 ? 0 ,?6 分 2 2 ?x y ? 1. ? ? 3 ?4

? ? 64k 2m2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m2 ?12) ? 48(3 ? 4k 2 ? m2 ) ? 0 , ③????7 分
设 A、B、 P 点的坐标分别为 ( x1 , y1 )、 ( x2 , y2 )、 ( x0 , y0 ) ,则:

x0 ? x1 ? x2 ? ?

8km 6m , y0 ? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? ????8 分 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 ,
2 2 x0 y0 ? ?1 . 4 3

由于点 P 在椭圆 C 上,所以

?? 9 分

从而

16k 2 m2 12m2 ? ? 1 ,化简得 4m2 ? 3 ? 4k 2 ,经检验满足③式. (3 ? 4k 2 ) 2 (3 ? 4 k 2 ) 2

又点 O 到直线 l 的距离为:

d?

|m| 1? k2

?

3 2 ?k 1 1 3 4 ? 1? ? 1? ? 2 4(1 ? k ) 4 2 1? k2
???12 分

?11 分

当且仅当 k ? 0 时等号成立

当直线 l 无斜率时,由对称性知,点 P 一定在 x 轴上, 从而 P 点为 ( ?2,0),(2,0) ,直线 l 为 x ? ?1 ,所以点 O 到直线 l 的距离为 1
9

??13 分

所以点 O 到直线 l 的距离最小值为

3 . 2

20. (Ⅰ)证明:由 an ? 8 ? 2n ,可得 an?2 ? 8 ? 2n?2 , an?1 ? 8 ? 2n?1 , 所以 an ? an?2 ? 2an?1 ? 8 ? 2n ? 8 ? 2n?2 ? 2(8 ? 2n?1 ) ? ?2n ? 0 , 所以对任意 n ? N * ,

an ? an ? 2 ? an ?1 . 2

又数列 {an } 为递减数列,所以对任意 n ? N * , an ? a1 ? 6 . 所以数列 {an } 为“ T 数列” .?????????????5 分 (Ⅱ)证明:假设存在正整数 k ,使得 ak ? ak ?1 . 由数列 {an } 的各项均为正整数,可得 ak ? ak ?1 ? 1 . 由

ak ? ak ? 2 ? ak ?1 ,可得 ak ?2 ? 2ak ?1 ? ak ? 2(ak ?1) ? ak ? ak ? 2 . 2

且 ak ?2 ? 2ak ?1 ? ak ? 2ak ?1 ? ak ?1 ? ak ?1 . 同理 ak ?3 ? ak ?1 ? 2 ? ak ? 3 , 依此类推,可得,对任意 n ? N * ,有 ak ?n ? ak ? n . 因为 ak 为正整数,设 ak ? m ,则 m ? N * . 在 ak ?n ? ak ? n 中,设 n ? m ,则 ak ?n ? 0 . 与数列 {an } 的各项均为正整数矛盾. 所以,对任意 n ? N * , an ? an?1 .?????????????10 分 (Ⅲ)因为数列 {an } 为“ T 数列” , 所以,存在常数 M ,对任意 n ? N * , an ? M . 设 M ?N*. 由(Ⅱ)可知,对任意 n ? N * , an ? an?1 , 则 a1 ? a2 ? a3 ?

? an ? an?1 ?



若 an ? an?1 ,则 an?1 ? an ? 0 ;若 an ? an?1 ,则 an?1 ? an ? 1 .
10

而 n ? 2 时,有 an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ?

? (an ? an?1 ) .

所以 a1 , a2 ? a1 , a3 ? a2 ,?, an ? an?1 ,?,中最多有 M 个大于或等于1 , 否则与 an ? M 矛盾. 所以,存在 n0 ? N * ,对任意的 n ? n0 ,有 an ? an?1 ? 0 . 所以,对任意 n ? N * , an0 ?n?1 ? an0 ?n ? 0 . 所以,存在 n0 ? N * ,数列 {an0 ?n } 为等差数列.????????????14 分

11


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