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2014《创新设计》二轮专题复习训练17


常考问题 17

计数原理、随机变量及其分布列

(建议用时:80 分钟) 1.(2012· 无锡五校联考)无锡学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项,已 知会唱歌的有 2 人,会跳舞的有 5 人,现从中选 2 人.设 ξ 为选出的人中既 7 会唱歌又会跳舞的人数,且 P(ξ>0)=10. (1)求文娱队的队员人数; (2)写出 ξ 的概率分布列并计算 E(ξ). 解 设既会唱歌又会跳舞的有 x 人, 则文娱队中共有(7-x)人, 只会一项的人

数是(7-2x)人. C7-2x 3 7 3 (1)∵P(ξ>0)=P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=10,∴P(ξ=0)=10,即 2 =10. C7-x ∴ ?7-2x??6-2x? 3 =10,解得 x=2. ?7-x??6-x?
2

故文娱队共有 5 人.
1 1 C2 · C3 3 C2 1 2 (2)P(ξ=1)= C2 =5,P(ξ=2)=C2=10, 5 5

ξ 的概率分布列为

ξ P

0 3 10

1 3 5

2 1 10

3 3 1 4 ∴E(ξ)=0×10+1×5+2×10=5. 2.(2013· 徐州质检)一投掷飞碟的游戏中,飞碟投入红袋记 2 分,投入蓝袋记 1 分,未投入袋记 0 分.经过多次试验,某人投掷 100 个飞碟有 50 个入红袋, 25 个入蓝袋,其余不能入袋. (1)求该人在 4 次投掷中恰有三次投入红袋的概率; (2)求该人两次投掷后得分 ξ 的数学期望 Eξ. 解 (1)“飞碟投入红袋”,“飞碟投入蓝袋”,“飞碟不入袋”分别记为事

件 A,B,C. 50 1 25 1 则 P(A)=100=2,P(B)=P(C)=100=4. 因每次投掷飞碟为相互独立事件,故 4 次投掷中恰有三次投入红袋的概率为 1? 1 3?1?3? ?2? ?1-2?= . P4(3)=C4 ? ?? ? 4 (2)两次投掷得分 ξ 的得分可取值为 0,1,2,3,4 则: 1 P(ξ=0)=P(C)P(C)=16; 1 1 1 P(ξ=1)=C1 2P(B)P(C)=2× × = ; 4 4 8 5 P(ξ=2)=C1 2P(A)P(C)+P(B)P(B)= 16; 1 P(ξ=3)=C1 2P(A)P(B)= ; 4 1 P(ξ=4)=P(A)P(A)=4. 1 1 5 1 1 5 ∴E(ξ)=0×16+1×8+2×16+3×4+4×4=2. 3.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和 B,系统 A 和 B 1 在任意时刻发生故障的概率分别为10和 p. 49 (1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为50,求 p 的值; (2)设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ξ,求 ξ 的概率分布列及数学期望 Eξ. 解 (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件 C,那么 1 49 · p= . 10 50

1-P( C )=1- 1 解得 p=5.

1 0? 1 ?3 ?10? = (2)由题意,P(ξ=0)=C3 , ? ? 1 000 1? 27 ? 1 ?2 ? ?1-10?= P(ξ=1)=C1 , 3?10? · ? ? ? ? 1 000

1? 1 ? 243 ?1-10?2= P(ξ=2)=C2 , 3 · 10 ? ? 1 000 1 ?3 729 ? P(ξ=3)=C3 . 3?1-10? = ? ? 1 000 所以,随机变量 ξ 的概率分布列为

ξ P

0 1 1 000

1 27 1 000

2 243 1 000

3 729 1 000

故随机变量 ξ 的数学期望: 1 27 243 729 27 E(ξ)=0×1 000+1×1 000+2×1 000+3×1 000=10. 4.(2013· 苏北四市模拟)学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个 白球,2 个黑球,乙箱子里装有 1 个白球,2 个黑球,这些球除颜色外完全相 同. 每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球,若摸出的白球不少于 2 个, 则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱) (1)求在一次游戏中 ①摸出 3 个白球的概率;②获奖的概率. (2)求在两次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E(X). 解 (1)①设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai(i=0,1,2,3),则 P(A3)=

2 1 C3 C2 1 2· 2= . C5 C3 5

②设“在 1 次游戏中获奖为事件 B”则 B=A2∪A3,
2 2 1 1 1 C3 C2 C3 · C2 C2 1 又 P(A2)=C2· 2+ 2 · 2= ,且 A2,A3 互斥, C C 5 3 5 C3 2

1 1 7 所以 P(B)=P(A2)+P(A3)=2+5=10. (2)由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,2. 7? 9 ? P(X=0)=?1-10?2=100; ? ? 7 ? 7 21 ? P(X=1)=C1 = ; 2?1-10? ? ?10 50 49 ?7? P(X=2)=?10?2=100. ? ?

所以 X 的分布列是 X P 0 9 100 1 21 50 2 49 100

9 21 49 7 X 的数学期望是 E(X)=0×100+1×50+2×100=5. 5.(2013· 西安惠安中学模拟)形状如图所示的三个游戏盘中(图①是正方形,M, N 分别是所在边中点,图②是半径分别为 2 和 4 的两个同心圆,O 为圆心, 图③是正六边形, 点 P 为其中心)各有一个玻璃小球, 依次摇动三个游戏盘后, 将它们水平放置,就完成了一局游戏.

(1)一局游戏后,这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少? (2)用随机变量 X 表示一局游戏后,小球停在阴影部分的事件数与小球没有停 在阴影部分的事件数之差的绝对值,求随机变量 X 的分布列. 解 (1)“一局游戏后,这三个盘中的小球停在阴影部分”分别记为事件 A1,

A2,A3. 1 1 1 由题意知,A1,A2,A3 互相独立,且 P(A1)=2,P(A2)=4,P(A3)=3,所以“一 局游戏后,这三个盘中的小球都停在阴影部分 ” 的概率为 P(A1A2A3) = 1 1 1 1 P(A1)P(A2)· P(A3)=2×4×3=24. (2)一局游戏后,这三个盘中的小球停在阴影部分的事件数可能是 0,1,2,3,相 应的小球没有停在阴影部分的事件数可能取值为 3,2,1,0,所以 X 可能的取值 为 1,3. 由分析可得 P(X = 3) = P(A1A2A3) + P( A
1)P( 1

A

2

A 3) = P(A1)· P(A2)P(A3) + P( A

1 1 1 1 3 2 7 7 17 A 2)P( A 3)=2×4×3+2×4×3=24;P(X=1)=1-24=24.

所以 X 的分布列为 X 1 3

P

17 24

7 24

6.(2012· 南师附中信息卷)为拉动经济增长,某市决定新建一批基础设施工程、 1 1 民生工程和产业建设工程三类,这三类工程所含项目个数分别占总数的2,3, 1 6,现在 3 名工人独立地从中任意一个项目参与建设. (1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率. (2)记 X 为 3 人中选择的项目所属于基础设施工程或产业建设工程的人数,求 X 的分布列及数学期望. 解 记第 i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程

分别为事件 Ai,Bi,Ci,i=1,2,3.由题意,知 A1,A2,A3 相互独立,B1,B2, B3 相互独立,C1,C2,C3 相互独立,Ai,Bj,Ck(i,j,k=1,2,3,且 i,j,k 1 1 1 互不相同)相互独立,且 P(Ai)=2,P(Bj)=3,P(Ck)=6. (1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率 1 1 1 1 P=A3 3×P(A1B2C3)=6P(A1)P(B2)P(C3)=6× × × = . 2 3 6 6 (2)设 3 名工人中选择的项目属于民生工程的人数为 η, 1? ? 由已知 η~B?3,3?,且 X=3-η ? ? 1 3?1?3 ?3? = , 所以 P(X=0)=P(η=3)=C3 ? ? 27 2 2?1?2?2? ?3? ?3?= , P(X=1)=P(η=2)=C3 ? ?? ? 9
1?1??2?2 4 ?3??3? = , P(X=2)=P(η=1)=C3 ? ?? ? 9

8 0?2?3 ?3? = , P(X=3)=P(η=0)=C3 ? ? 27 故 X 的分布列是 X P 0 1 27 1 2 9 2 4 9 3 8 27

1 2 4 8 X 的数学期望是 E(X)=0×27+1×9+2×9+3×27=2. 备课札记:


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