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2016届高考数学复习 第十章 第二节 二项式定理及其应用 理(全国通用)


第二节

二项式定理及其应用

A 组 专项基础测试 三年模拟精选 一、选择题

? 3 1?n * 1.(2015·安徽江南十校模拟)在二项式?x - ? (n∈N )的展开式中,常数项为 28,则 n 的 ?
x?
值为( A.12 ) B.8
r
3 n-r

C.6

D.4

解析 展开式中第 r+1 项是 Cn(x )

?-1? = ? x? ? ?

r

Cx

r 3n-4r n

3n-4r=0, ? ? r (-1) =28,则?(-1) =1,∴n=8,r=6. ? ?Cr n=28,
r

答案 B

n ? 1? * 2.(2015·东北三省三校模拟)设二项式?x- ? n(∈N )展开式的二项式系数和与各项系数 ? 2?
和分别为 an、bn,则 A.2 C.2
n-1

a1+a2+…+an =( b1+b2+…+bn

) B.2(2 D.1
n -1

+3

+1)

n+1

n a1+a2+…+an ?1? n 解析 由题意知 an=2 成等比数列, 令 x=1 则 bn=? ? 也成等比数列, 所以 2 b1+b2+…+bn ? ?
=2
n+1

,故选 C.

答案 C 3.(2014·衡水模拟)已知(1+x) =a0+a1(1-x)+a2(1-x) +…+a10(1-x) ,则 a8 等于 ( ) B.90
10 10 10 2 10

A.180

C.-5
r
10-r

D.5 ·(-1) (1-x) ,a8 是 r=8
r r

解析 (1+x) =[2-(1-x)] ,其通项公式为 Tr+1=C102 时,第 9 项的系数. ∴a8=C102 (-1) =180.故选 A.
8 2 8

1

答案 A 4.(2014·重庆模拟)(x- 2y) 的展开式中,x y 项的系数是( A.56 B.-56
r 8-r
8 6 2

) D.-28
6 2

C.28
r

解析 二项式的通项为 Tr+1=C8x C8(- 2) =56. 答案 A 二、填空题
2 2

(- 2y) ,令 8-r=6,即 r=2,得 x y 项的系数为

5. (2014·北京朝阳二模)二项式?ax + 解析 Tr+1=C5(ax )
r
2 5-r

? ?

2

1 ?5

x?

则实数 a=________. ? 的展开式中的常数项为 5,

1 r 5r 5r 5-r r (x- ) =a C5x10- 为常数项,则 10- =0,解得 r=4.此时 2 2 2

aC4 5=5,得 a=1.
答案 1 6.(2014·湖北十堰 3 月)若(1+x+x ) =a0+a1x+a2x +…+a12x ,则 a2+a4+…+a12= ________. 解析 令 x=1,则 a0+a1+a2+…+a12=3 ,令 x=-1,则 a0-a1+a2-…+a12=1,∴a0 3 +1 +a2+a4+…+a12= . 2 3 +1 令 x=0,则 a0=1,∴a2+a4+…+a12= -1=364. 2 答案 364 一年创新演练 7.(x-1)-(x-1) +(x-1) -(x-1) +(x-1) 的展开式中,x 的系数等于________. 解析 x 的系数是四个二项展开式中 4 个含 x 的系数和, 则有-C2(-1) +C3(-1) -C4(- 1) +C5(-1)
0 1 2 3 3 2 2 0 0 1 1 2 2 3 4 5 2 6 6 6 2 6 2 12

=-(C2+C3+C4+C5)=-20. 答案 -20 B 组 专项提升测试 三年模拟精选 一、选择题

2

3

2

8.(2015·南京模拟)在? A.3 项
r

? x+ 1 ?24 ? 3 ? 的展开式中,x 的幂指数是整数的项共有( ? x? ?
C.5 项 D.6 项

)

B.4 项
24-r

解析 Tr+1=C24( x) 数,共 5 项. 答案 C 二、填空题

? 1 ?r 5r ? ? =Cr ,故当 r=0,6,12,18,24 时,幂指数为整 24x12- 3 ? x? 6 ? ?

1 ?n ? 9.(2015·安徽皖南八校三联)? x+ ? 的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大, 2x? ? 则第四项为________. 1 ?9 ? 由已知条件第五项和第六项的二项式系数最大,得 n=9,则? x+ ? 的展开式 2x? ?

解析

3 21 3 6? 1 ? 中第四项 T4=C9( x) ? ? = . 2 ?2x? 答案 21 2

6 ? 1? 10.(2015·广州惠州模拟)二项式?x- ? 的展开式的常数项是________(用数字作答).

?

x?

6 ? 1? -1 6 r 6-r -1 r 解析 ∵?x- ? =[x+(-x )] ,Tr+1=C6x (-x )

?

x?

=(-1) C6x

r r 6-2r



当 6-2r=0 则 r=3, 常数项为 T4=(-1) C6=-20. 答案 -20 11.(2014·焦作模拟)设(2x-1) =a6x +a5x +…+a1x+a0,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6| =________. 解析 ∵Tr+1=C6(2x) ∴ar+1=(-1) 2
r 6-r r r
6-r 6 6 5 3 3

(-1) =(-1) 2

r

r 6-r r 6-r

C6x



C6.

∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|

3

=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=[2×(-1)-1] =3 . 答案 729 一年创新演练

6

6

n ? 1? 2 12.已知 f(x)=|x+2|+|x-4|的最小值为 n,则二项式?x- ? 展开式中 x 项的系数为

?

x?

( A.15

) B.-15 C.30 D.-30

解析 因为函数 f(x)=|x+2|+|x-4|的最小值为 4-(-2)=6, 即 n=6.展开式的通项 公式为 Tk+1=C6x
2

k 6-k

?-1?k=Ckx6-2k(-1)k, 2 2 2 2 由 6-2k=2, 得 k=2, 所以 T3=C6x (-1) =15x , ? x? 6 ? ?

即 x 项的系数为 15,选 A. 答案 A 13.设(2- 3x) =a0+a1x+a2x +…+a100x ,求下列各式的值; (1)a0; (2)a1+a3+a5+…+a99; (3)(a0+a2+a4+…+a100) -(a1+a3+…+a99) . 解 (1)由(2- 3x) 展开式中的常数项为 C100·2 ,即 a0=2 ,或令 x=0,则展开式
100 100 0 100 100 2 2 100 2 100

可化为 a0=2 . (2)令 x=1,得

a0+a1+a2+…+a99+a100=(2- 3)100①
令 x=-1.可得 a0-a1+a2-a3+…+a100=(2+ 3) ② 联立①②得:a1+a3+…+a99 (2- 3) -(2+ 3) = . 2 (3)原式=[(a0+a2+…+a100)+(a1+a3+…+a99)]·[(a0+a2+…+a100)-(a1+a3+…+
100 100 100

a99)]
=(a0+a1+a2+…+a100)(a0-a1+a2-a3+…+a98-a99+a100) =(2- 3) (2+ 3) =1.
100 100

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