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四川省广安市武胜中学2014-2015学年高一上学期第一次月考数学试卷


四川省广安市武胜中学 2014-2015 学年高一上学期第一次月考数 学试卷
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.已知集合 M={0,1,2,3},N={﹣1,0,2}那么集合 M∩N() A.0,2 B.{0,2} C.(0,2) D.{(0,2)} 2.集合{1,2,3}的真子集的个数为() A.5 B. 6 3.函数 y= A. +

的定义域为() B. D. C.

C. 7

D.8

4.下列各组函数 f(x)与 g(x)的图象相同的是() 2 2 2 A.f(x)=x,g(x)=( ) B. f(x)=x ,g(x)=(x+1) C. f(x)=1,g(x)= D.f(x)=|x|,g(x)=

5.函数 y=|x|+1 的图象是()

A.

B.

C.

D. 6.若函数 y=x +(2a﹣1)x+1 在区间(﹣∞,2]上是减函数,则实数 a 的取值范围是() A.[﹣ ,+∞) B.(﹣∞,﹣ ] C.[ ,+∞) D.(﹣∞, ]
2

7.函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,且在(﹣∞,0]上是增函数,若 f(a)≤f(2) ,则实数 a 的取值范围是() A.(﹣∞,2] B.[﹣2,+∞) C.[﹣2,2] D.(﹣∞,﹣2]∪[2, +∞) 8. 设 A, B 是非空集合, 定义 A×B={x|x∈A∪B, 且 x?A∩B}, 已知 A={x|0≤x≤2}, B={x|x≥0}, 则 A×B 等于() A.(2,+∞) B.[0,1]∪[2,+∞) C.[0,1)∪(2,+∞) D. [0,1]∪(2, +∞)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 9.若 A={x∈R|x≥1},则?RA=. 10.若 f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=x +3x,则 f(﹣2)=.
3

11.已知函数 f(x)=

,其中 x∈N,则 f(8)=.

12.定义在(﹣2,2)上的函数 f(x)是减函数,且 f(a﹣1)>f(2a) ,则实数 a 的取值 范围为. 13.给出下列四个命题: ①空集是任何集合的子集 ②已知 f(x)=x +bx+c 是偶函数,则 b=0 ③若函数 f(x)的定义域为[0,2],则函数 f(2x)的定义域为[0,4]; ④已知集合 P={a,b},Q={﹣1,0,1}则映射 f:P→Q 中满足 f(b)=0 的映射共有 3 个.其 中正确命题的序号是. (填上所有正确命题的序号)
2

三、解答题(本大题共 5 小题,共 55 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 14.已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)﹣2f(x﹣1)=2x+17,求 f(x)的解析式. 15.全集 U=R,若集合 A={x|3≤x<10},B={x|2<x≤7},则 (1)求 A∩B,A∪B, (?UA)∩(?UB) ; (2)若集合 C={x|x>a},B?C,求实数 a 的取值范围. 16.已知函数 f(x)=|x﹣1|. (1)用分段函数的形式表示该函数; (2)在右边所给的坐标第中画出该函数的图象; (3)写出该函数的定义域、值域、奇偶性、单调区间(不要求证明) .

17.函数 f(x)=

是定义在(﹣1,1)上的奇函数,且 f( )=2.

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)用定义证明 f(x)在(﹣1,1)上是增函数; (3)解不等式 f(t﹣1)+f(t)<0. 18.设二次函数 f(x)=ax +bx+c 在区间[﹣2,2]上的最大值、最小值分别为 M、m,集合 A={x|f(x)﹣x=0}. (1)若 f(0)=2,且 A={1,2},求 a,b, c; (2)在(1)的条件下,求 M 和 m 的值; (3)若 A={2},且 a≥1,记 g(a)=M﹣m,求 g(a)的解析式.
2

四川省广安市武胜中学 2014-2015 学年高一上学期第一 次月考数学试卷
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.已知集合 M={0,1,2,3},N={﹣1,0,2}那么集合 M∩N() A.0,2 B.{0,2} C.(0,2) D.{(0,2)} 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 由 M 与 N,找出两集合的交集即可. 解答: 解:∵M={0,1,2,3},N={﹣1,0,2}, ∴M∩N={0,2}. 故选 B 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.集合{1,2,3}的真子集的个数为() A.5 B. 6

C. 7

D.8

考点: 子集与真子集. 专题: 计算题. 分析: 集合{1,2,3}的真子集是指属于集合的部分组成的集合,包括空集. 解答: 解:集合的真子集为{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},?.共有 7 个. 故选 C. 点评: 本题考查集合的子集个数问题,对于集合 M 的子集问题一般来说,若 M 中有 n 个 n 元素,则集合 M 的子集共有 2 个. 3.函数 y= A. + 的定义域为() B. D. C.

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 要求函数的定义域, 根号里边的数必须为非负数才能有意义得到两个不等式求出解 集即可. 解答: 解:据题可知:x 应满足: 解得 故函数的定义域为[﹣ , ] 故选:B. 点评: 考查学生对定义域的理解及其求法,属于基础题. 4.下列各组函数 f(x)与 g(x)的图象相同的是() 2 2 2 A.f(x)=x,g(x)=( ) B. f(x)=x ,g(x)=(x+1) C. f(x)=1,g(x)= D.f(x)=|x|,g(x)= ,

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 判断图象相同实质是判断函数相等即可. 2 解答: 解:f(x)=x 的定义域为 R,g(x)=( ) 的定义域为[0,+∞) ,故图象不同; 2 2 f(x)=x 与 g(x)=(x+1) 对应关系不同,故图象不同; f(x)=1 的定义域为 R,g(x)= 的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞) ,故图象不同;

f(x)=|x|与 g(x)=

的定义域都是 R,对应关系也相同,故图象相同.

故选 D. 点评: 本题考查了函数相等的判断,要判断定义域与对应关系,属于基础题. 5.函数 y=|x|+1 的图象是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 去掉绝对值,利用函数的表达式确定函数的图象即可. 解答: 解:法 1:函数 y=|x|+1= ,

∴函数对应的图象为 C. 法 2:∵函数 y=|x|+1 是偶函数,∴图象关于 y 轴对称,∴C 成立. 故选:C. 点评: 本题主要考查函数图象的识别和判断, 利用函数的性质是解决函数图象的关键, 本 题也可知直接使用函数的奇偶性进行判断. 6.若函数 y=x +(2a﹣1)x+1 在区间(﹣∞,2]上是减函数,则实数 a 的取值范围是() A.[﹣ ,+∞) B.(﹣∞,﹣ ] C.[ ,+∞) D.(﹣∞, ]
2

考点: 函数单调性的性质. 专题: 计算题. 2 分析: 由已知中函数的解析式,结合二次函数的图象和性质,可以判断出函数 y=x +(2a ﹣1)x+1 图象的形状,分析区间端点与函数图象对称轴的关键,即可得到答案. 解答: 解:∵函数 y=x +(2a﹣1)x+1 的图象是方向朝上,以直线 x= 抛物线 又∵函数在区间(﹣∞,2]上是减函数,
2

为对称轴的

故 2≤ 解得 a≤﹣ 故选 B. 点评: 本题考查的知识点是函数单调性的性质, 其中熟练掌握二次函数的图象和性质是解 答本题的关键. 7.函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,且在(﹣∞,0]上是增函数,若 f(a)≤f(2) ,则实数 a 的取值范围是() A.(﹣∞,2] B.[﹣2,+∞) C.[﹣2,2] D.(﹣∞,﹣2]∪[2, +∞) 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论. 解答: 解:∵函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,且在(﹣∞,0]上是增函数, ∴在[0,+∞)上是减函数, 则不等式 f(a)≤f(2) ,等价为 f(|a|)≤f(2) , 即|a|≥2, 解得 a≥2 或 a≤﹣2, 故选:D 点评: 本题主要考查不等式的求解,根据 函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行 转化是解决本题的关键. 8. 设 A, B 是非空集合, 定义 A×B={x|x∈A∪B, 且 x?A∩B}, 已知 A={x|0≤x≤2}, B={x|x≥0}, 则 A×B 等于() A.(2,+∞) B.[0,1]∪[2,+∞) C.[0,1)∪(2,+∞) D. [0,1]∪(2, +∞) 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 先求出 A∪B,A∩B,再根据新定义求 A×B. 解答: 解:由已知 A={x|0≤x≤2},B={x|x≥0}, 求得 A∪B=x|x≥0}, A∩B={x|0≤x≤2}, 根据新定义,A×B={x|x∈A∪B,且 x?A∩B} ={x|x>2} =(2,+∞) 利用数轴表示如如图: 故选:A.

点评: 本题考查了集合的描述法、列举法表示,集合的基本运算.本题中的新定义和课本 中的补集有相通类似之处. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 9.若 A={x∈R|x≥1},则?RA={x|x<1}. 考点: 补集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 根据集合 A,以及全集 R,求出 A 的补集即可. 解答: 解:∵A={x∈R|x≥1},全集为 R, ∴?RA={x|x<1}. 故答案为:{x|x<1} 点评: 此题考查了补集及其运算,熟练掌握补集的定义是解本题的关键. 10.若 f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=x +3x,则 f(﹣2)=﹣14. 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 3 分析: 本题利用函数的奇偶性,将自变量﹣2 转化为 2,利用当 x>0 时,f(x)=x +3x, 求出 f(﹣2)的值,得到本题结论. 解答: 解:∵f(x)是奇函数, ∴f(﹣x)=﹣f(x) . ∵当 x>0 时,f(x)=x +3x, 3 ∴f(﹣2)=﹣f(2)=﹣[(2) +3×(2)]=﹣14. 故答案为:﹣14. 点评: 本题考查了函数的奇偶性与求函数值,本题难度不大,属于基础题.
3 3

11.已知函数 f(x)=

,其中 x∈N,则 f(8)=10.

考点: 函数的值. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意,代入相应的表达式求解即可. 解答: 解:由题意, f(8)=f(8+5) =f(13)=13﹣3=10, 故答案为:10. 点评: 本题考查了分段函数的应用,属于基础题. 12.定义在(﹣2,2)上的函数 f(x)是减函数,且 f(a﹣1)>f(2a) ,则实数 a 的取值 范围为﹣1<a<1. 考点: 函数单调性的性质.

专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数 f(x)的单调性,将 f(a﹣1)>f(2a)中的“f”去掉,即可得到不等式



,求解即可得到答案.

解答: 解:∵f(x)是定义在(﹣2,2)上的减函数,

则有



解得﹣1<a<1, ∴实数 a 的取值范围为﹣1<a<1. 故答案为:﹣1<a<1. 点评: 本题主要考查函数的单调性定义的应用, 要注意自变量要在给定的区间内. 利用函 数的单调性求解不等式,解题的关键是将不等式进行合理的转化,然后利用单调性去掉“f”, 属于函数知识的综合应用.属于中档题. 13.给出下列四个命题: ①空集是任何集合的子集 ②已知 f(x)=x +bx+c 是偶函数,则 b=0 ③若函数 f(x)的定义域为[0,2],则函数 f(2x)的定义域为[0,4]; ④已知集合 P={a,b},Q={﹣1,0,1}则映射 f:P→Q 中满足 f(b)=0 的映射共有 3 个.其 中正确命题的序号是①②④. (填上所有正确命题的序号) 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用;集合. 分析: ①根据规定,空集是任何集合的子集,∴①对; ②根据偶函数的性质:f(﹣x)=f(x) ,列出方程利用对应系数相等求出 a、b、c 的值. ③若函数 f(x)的定义域为[0,2],则令 0≤2x≤2,解得 0≤x≤1,即可判断; ④列举出映射 f:P→Q 中满足 f(b)=0 的映射有 f(a)=﹣1,f(b)=0 或 f(a)=0,f(b) =0 或 f(a)=1,f(b)=0,即可判断. 解答: 解:①根据规定,空集是任何集合的子集,∴①对; 2 2 2 ②∵( f x) =x +bx+c 是偶函数, ∴( f ﹣x) =f (x) , 即 x ﹣bx+c=x +bx+c, ∴﹣bx=bx, ∴2bx=0, ∴b=0,故②对; ③若函数 f(x)的定义域为[0,2],则令 0≤2x≤2,解得 0≤x≤1, 则函数 f(2x)的定义域是[0,1],故③错; ④已知集合 P={a,b},Q={﹣1,0,1},则映射 f:P→Q 中满足 f(b)=0 的映射有: f(a)=﹣1,f(b)=0 或 f(a)=0,f(b)=0 或 f(a)=1,f(b)=0,共 3 个,故④对. 故答案为:①②④ 点评: 本题考查集合与映射的概念,抽象函数的定义域,同时考查函数的奇偶性,是一道 基础题,也是易错题. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 55 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
2

14.已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)﹣2f(x﹣1)=2x+17,求 f(x)的解析式. 考点: 函数解析式的求解及常用方法. 分析: 由题意设 f(x)=ax+b,利用 f(x)满足 3f(x+1)﹣2f(x﹣1)=2x+17,利用恒 等式的对应项系数相等即可得出. 解答: 解:由题意设 f(x)=ax+b, (a≠0) . ∵f(x)满足 3f(x+1)﹣2f(x﹣1)=2x+17, ∴3[a(x+1)+b]﹣2[a(x﹣1)+b]=2x+17, 化为 ax+(5a+b)=2x+17, ∴ ,解得 .

∴f(x)=2x+7. 点评: 本题考查了“待定系数法”求一次函数的解析式和恒等式的性质. 15.全集 U=R,若集合 A={x|3≤x<10},B={x|2<x≤7},则 (1)求 A∩B,A∪B, (?UA)∩(?UB) ; (2)若集合 C={x|x>a},B?C,求实数 a 的取值范围. 考点: 交、并、补集的混合运算;集合的包含关系判断及应用. 专题: 计算题. 分析: (1)由 A 与 B,求出交集与并集,根据全集 U=R,求出 A 与 B 的补集,找出两 补集的交集即可; (2)根据 B 为 C 的子集,由 B 与 C 求出 a 的范围即可, 解答: 解: (1)∵全集 U=R,集合 A={x|3≤x<10},B={x|2<x≤7}, ∴A∩B={x|3≤x≤7}, A∪B={x|2<x<10}, ?UA={x|x<3 或 x≥10}, ?UB={x|x≤2 或 x>7}, 则(?UA)∩(?UB)={x|x≤2 或 x≥10}; (2)∵B?C,B={x|2<x≤7},C={x|x>a}, 若 B?C, ∴a≤2. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 16.已知函数 f(x)=|x﹣1|. (1)用分段函数的形式表示该函数; (2)在右边所给的坐标第中画出该函数的图象; (3)写出该函数的定义域、值域、奇偶性、单调区间(不要求证明) .

考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法. 专题: 作图题;数形结合. 分析: (1)根据绝对值的意义,分当 x≥1 时,当 x<1 时两种情况求解,最后再写成分段 函数的形式, (2)每一段都是一次函数,图象是一条直线,在定义域内任取两点作图即可. (3)根据图象,定义域即看横轴覆盖部分,值域即看纵轴覆盖部分,奇偶性,看是否关于 原点对称或关于纵轴对称.单调增区间看上升趋势,单调减区间看下降趋势. 解答: 解: (1)

(2) (3)定义域为 R,值域为{y|y≥0},图象即不关于原点对称也不关于 y 轴对称,所以 f(x) 是非奇非偶函数, 单调增区间[1,+∞) ,单调减区间(﹣∞,1) 点评: 本题主要考查绝对值函数转化为分段函数, 研究其图象和性质. 还考查了数形结合 的思想与方法. 17.函数 f(x)= 是定义在(﹣1,1)上的奇函数,且 f( )=2.

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)用定义证明 f(x)在(﹣1,1)上是增函数; (3)解不等式 f(t﹣1)+f(t)<0.

考点: 函数单调性的性质;函数解析式的求解及常用方法;函数单调性的判断与证明. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)奇函数有 f(0)=0, (2)取值,作差,化简,判号,下结论五步; (3)利用 函数的单调性解答. 解答: 解: (1)由题意得,

解得,a=5,b=0. ∴f(x)= .

(2)证明:任取 x1、x2∈(﹣1,1) ,且 x1<x2,则 f(x1)﹣f(x2)= ∵﹣1<x1<x2<1, ∴(1+ ) (1+ )>0; x1﹣x2<0;1﹣x1?x2>0; = ,

∴f(x1)﹣f(x2)<0 ∴f(x)在(﹣1,1)上是增函数. (3)∵f(t﹣1)+f(t)<0, ∴f(t﹣1)<﹣f(t) , 即 f(t﹣1)<f(﹣t) ,



解得,0



点评: 本题综合考查了函数的性质,包括了奇偶性,单调性的应用与证明,属于基础题. 18.设二次函数 f(x)=ax +bx+c 在区间[﹣2,2]上的最大值、最小值分别为 M、m,集合 A={x|f(x)﹣x=0}. (1)若 f(0)=2,且 A={1,2},求 a,b,c; (2)在(1)的条件下,求 M 和 m 的值; (3)若 A={2},且 a≥1,记 g(a)=M﹣m,求 g(a)的解析式. 考点: 二次函数的性质;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 2 分析: (1)由 f(0)=2,求得 c,再由 A={1,2}得 1,2 是方程 ax +(b﹣1)x+c=0 的 两根,运用韦达定理,即可得到 a,b;
2

(2)运用二次函数的对称轴和区间的关系,即可得到 M,m; (3)运用韦达定理,求得 b,c 都用 a 表示,再由二次函数的对称轴和区间的关系,即可得 到 g(a) . 解答: 解: (1)f(0)=c=2, 2 由 A={1,2}得 1,2 是方程 ax +(b﹣1)x+c=0 的两根,

由韦达定理
2

得:a=1,b=﹣2,c=2.

(2)f(x)=x ﹣2x+2 的对称轴为 x=1,开口向上, 当 x∈[﹣2,2]时,m=f(1)=1,M=f(﹣2)=10; (3)由 A={2},得 ax +(b﹣1)x+c=0 有 2 个相等实根 2,
2 2





∴f(x)=ax +(1﹣4a)x+4a,

其对称轴为 ∵a≥1∴ ∴ ∴ ∴

开口向上,

M=f(﹣2)=16a﹣2, .

点评: 本题考查二次函数在闭区间上的最值, 考查二次方程的韦达定理及运用, 考查运算 能力,属于中档题.


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