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例谈高中数学的学习方法


例谈高中数学应该这样学
? ? ? ? ? ? ? 落实课前预习 学透数学概念 抓实及时练习 函数方程是基础 思想方法不可少 解题技巧不可丢 勤能补拙要牢记

? 思想方法不可少 例如在学习解析几何时数形结合 的思想就一定不能少,比如说 我们在讲解只限于双曲线的位 置关系是就是这样讲解的,并 且讲解完后学生的学习效果十 分好

? 判断直线与双曲线位置关系时我们必须先 预习, 预习,弄懂直线与椭圆的位置关系这样学 习起来就要轻松很多

一、直线与椭圆的位置关系(落实课前预习) 直线与椭圆的位置关系( ) (1)直线与椭圆位置关系 (2)弦长问题
2

? ? ___ 0

? 1 2 ?/ | AB |= 1+ k ? | AB |= 1+ ( ) ? / | a| k |a |

(3)弦中点问题 韦达定理或设点作差法 (4)经过焦点的弦的问题
Y

二、直线与双曲线位 置关系种类: 置关系种类:
X

O

种类:相离 相切 种类 相离;相切 相交 相离 相切;相交 (两个交点 一个交点 两个交点,一个交点 两个交点 一个交点)

方程组解的个数
函数方程是基础
(高中数学函数方程 是最基础的知识任何 地方都不能少)

有没有问题 ? 交点个数 一个交点 0 个交点 相离 相 切 相 交

两个交点 相交

[1] 0 个交点和两个交点的情况都正常 个交点和两个交点的情况都正常, 那么 ,依然可以用判别式判断位置关系 依然可以用判别式判断位置关系 [2]一个交点却包括了两种位置关系 一个交点却包括了两种位置关系: 一个交点却包括了两种位置关系 相切和相交 ( 特殊的相交 ) , 那么是否意味 着判别式等于零时 , 即可能相切也可能相交 ? 练习:判断下列直线与双曲线之间的位置关系: 练习:判断下列直线与双曲线之间的位置关系: [1]

x y l : x = 3 ,c : ? = 1 9 16

2

2

相 切

4 x y ? =1 相 交 [2] l : y = x + 1 , c : 3 9 16
试一下:判别式情况如何 试一下 判别式情况如何? 判别式情况如何
?解题技巧不可丢 解题技巧不可丢
(此处就是直线与渐 近线平行的情况不需 要再计算就看得出答 案)

2

2

一般情况的研究
2 2

显然,这条直线与双曲线的渐进线是平行的 也就是 显然 这条直线与双曲线的渐进线是平行的,也就是 这条直线与双曲线的渐进线是平行的 相交.把直线方程代入双曲线方程 看看判别式如何? 把直线方程代入双曲线方程,看看判别式如何 相交 把直线方程代入双曲线方程 看看判别式如何

b x y l : y = x + m ,c : 2 ? 2 = 1 a a b
根本就没有判别式 !

当直线与双曲线的渐进线平行时 , 把直 线方程代入双曲线方程 , 得到的是一次方程 , 根本得不到一元二次方程 , 当然也就没有所 谓的判别式了 。

结论: 结论:判别式依然可以判断直线与双曲 线的位置关系 !

判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程( 把直线方程代入双曲线方程(学透数学概念) )

得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交(一个交点) 相交(一个交点)

得到一元二次方程 计算判别式 >0 相交 =0 相切 <0 相离

例1、判断下列直线与双曲线的位置关系 、 2 (抓实及时练习)2 4 x y 一个交点) [1] l : y = x+1,c: ? =1 相交 一个交点 ; 相交(一个交点 5 25 16
5 x y [2] l : y = x+1,c: ? =1. 4 25 16
2 2

相离

x2 C : 2 ? y 2 = 1( a > 0 ) 与直线 例2、设双曲线 、 a

l : x + y = 1 相交于不同的点 、B, 相交于不同的点A、 ,

求双曲线C 的离心率e的取值范围 的取值范围. 求双曲线 的离心率 的取值范围

例3、已知双曲线x 2 ? y 2 = 1及直线y = kx ? 1, ()若直线与双曲线有交点,求k的范围; 1 6 (2)若 | k |= ,求S?OAB . 2

思想方法不可少 (此处就要注重 数形结合思想的 y 贯穿)

? y = kx ? 1 解:( )联立? 2 1 x ? y2 = 1 ?
? (1 ? k 2 ) x 2 + 2kx ? 2 = 0 (| x |≥ 1)

F1

.

O

. .

F2

x

当k = ±1时,y = ± x ? 1 直线与双曲线有1个交点
当k ≠ ±1时, ? = 4k 2 + 8(1 ? k 2 ) ≥ 0 ? ? 2 ≤ k ≤ 2且k ≠ ±1
综上,当 ? 2 ≤ k ≤ 2时,直线与双曲线有交点.

1 交点? 思考 :什么情况下只有一个 ? 交点

y

当k = ± 2或k = ±1时, 直线与双曲线只有一交 点
F1

.

O

. .

F2

思考2 ? 思考 :什么情况下两个交点

当 ? 2 < k < 2且 k ≠ ± 1时,直线与双曲线有两 个交点

思考3 在右支? 思考 :什么情况下两个交点 在右支?
当1 < k < 2时,直线与双曲线有两 个交点都在右支

思考4:什么情况下两个交点 思考 在两支上? 在两支上?
当 ? 1 < k < 1时,直线与双曲线有两 个交点在两支上

( 2) S ?OAB

1 = | AB | d , ( d是 O到直线 AB 的距离 ) 2

y
?

1+ k2 . F1 ? y = kx ? 1 ? (1 ? k 2 ) x 2 + 2kx ? 2 = 0 联立 ? 2 x ? y2 = 1 ?
2

d=

1
?

A

O

B .

F2

? 8 ? 4k 2 由弦长公式: | 由弦长公式:AB |= 1 + k = 1+ k2 |a| |1? k2 |

1 2 2 ? k2 1+ k2 ∴S = 2 k2 ?1

1 1+ k2

2 ? k2 = 2 = 2 k ?1

x -y 2=1 的左准线与x轴的交点是 轴的交点是M, 的左准线与 轴的交点是 设双曲线 3 则过点M与双曲线 与双曲线c有且只有一个交点的直线共 则过点 与双曲线 有且只有一个交点的直线共 有( C ) A.2条 B.3条 C.4条 D.无数条 条 条 条 无数条

练习

2

数形结合

勤能补拙要牢记(及时练习不 偷懒这样学习效果才会好)

()过 M 1,)的直线交双曲线于 A、B 两点,若 M 为弦 AB 的中点, 1 ( 1 求直线 AB 的方程; ? 1? (2)是否存在直线l,使 N ?1, ? 为 l 被双曲线所截弦的中点,若存在, ? 2? y 求出直线 l 的方程,若不存在,请说明理由.

x2 y 2 已知双曲线方程 ? =1 例4、 4 2

解: A( x1 , 1) , ( x2 , 2 ) ,则 ( x1 ≠ x2 ) 设 y B y
2 1

M. x y12 .N ? = 1 相减 o ?2 2 4 2 y1 ? y2 1 x1 + x2 ? = ? 2 2 x2 y2 ? 2 x1 ? x2 2 y1 + y2 ? =1 4 2 1 xM ∴ k AB = ? = 1 即 k AB = 1 , 2 2 2 yM ∴ 直线 AB 的方程为: y ? 1 = 1 ( x ? 1) 即 x ? 2 y + 1 = 0 . 2

2

x

y

设 解法二: l AB : y ? 1 = k ( x ? 1)
? y = kx + 1 ? k 联立? 2 x ? 2 y2 = 4 ?
? (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k (1 ? k ) x ? 2(1 ? k ) 2 ? 4 = 0
∴ x1 + x2 2k (1 ? k ) 1 = =1 ? k = , 2 2 1 ? 2k 2

2
M

?2

o

. .N
2

x

? 2

∴ 直线 AB 的方程为: y ? 1 = 1 ( x ? 1) 即 x ? 2 y + 1 = 0 . 2

(2) 假设过 N 的直线交双曲线于C ( x1 , 1 ) , ( x2 , 2 ) ,则 y D y 2 x1 y1 2 ? = 1 相减 y1 ? y2 1 x1 + x2 1 xN 4 2 ? x ? x = 2 ? y + y = 2 ? y =1 2 1 2 1 2 N x2 y2 2 ? =1 y 4 2

即 kCD = 1 ,
?2 1 x2 y 2 把y = x ? 代入 ? = 1得 2 4 2 9 2 x ? 2 x + = 0其中? = ?5 < 0 4 ∴ 直线 l 与双曲线没有交点与所设矛盾

1 1 ∴ l的方程为:y ? = x ? 1即y = x ? 2 2

2
M

o

. .N
2

x

? 2

1 ∴ 以 N (1 , ) 为弦的中点的直线不存在 . 2

课外练习: 椭圆 =1N 课外练习: 1.椭圆 mx +ny =1 与直线 y=1-x 交于 M、 两点, =1 、 两点, 2 m 的值是( 过原点与线段 MN 的中点的直线斜率 ,则 的值是( B ) 2 n 2 2 2 9 2 2 3 (A) (B) (C) ? (D) 2 3 2 27 y2 = 1 交于 M、N 两 2. 过点 A(2 ,1) 的直线与双曲线 x 2 ? 2 的轨迹方程. 点,求弦 MN 的中点 P 的轨迹方程.
2 y12 y2 2 = 1,x 2 ? = 1 ,两式作差并整 解:设 M ( x1 ,y1 ) , N ( x 2 ,y 2 ) ,则 x ? 2 2 y1 ? y 2 x1 + x 2 理,得 设弦 MN 的 中点 P( x 0 ,y 0 ) , 又 k MN = k AP , 且 =2 x1 ? x 2 y1 + y 2 y ?1 x x1 + x 2 = 2 x 0 , y1 + y 2 = 2 y 0 。 则 0 = 2 0 所以所求中点 P 的轨迹方程是 x0 ? 2 y0 2 1

2

2

2x 2 ? 4x ? y2 + y = 0

勤能补拙要牢记(及时练习不 偷懒这样学习效果才会好)

y2 x2 在双曲线 ? = 1 的一支上有不同的三点A( x1 , y1 ), 例6、 12 13 B ( 26, C x3,y3)且与点F 0 ,) ( 5 的距离成等差数列。 6), ( y ()求y1 + y3; 1 ?A (2)求证AC的垂直平分线必过定点. F1. ? B ? AF C 1 = e ? | AF | = d A 解: dA e x O 1 1 同理 BF = d B, CF = dC .F2 e e Q AF 、 、 成等差数列 BF CF
∴ d A , d B , d C 成等差数列
∴ y1 , 6, y3成等差数列

∴ y1 + y3 = 12 .

y
F1

. .F

?
?

A

(2)设AC的中点坐标为( x0 ,6)
? y12 x12 ? =1 ? ? 12 13 y1 ? y3 12 x1 + x3 ? 2 相减 : x ? x = 13 ? y + y 2 y3 x3 ? 1 3 1 3 ? =1 ? 12 13 ?
O

?

B
x

C

2

2 x0 13 13 ∴ AC的中垂线方程为:y ? 6 = ? ( x ? x0 ) 2 x0 ∴ k AC =

13 25 即 x+ y? =0 2 x0 2

此直线过定点 0 ,25 ) ( . 2


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