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关于解三角形的一些基本方法


解三角形
教学目标: 1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能解决 一些简单的三角形度量问题; 2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实 际问题。 教学重点:正、余弦定理的综合运用。 教学难点:运用正、余弦定理解决实际应用问题。 教学过程: 一、知识梳理 1、三角形中各元素间的关系: 如图在△ABC 中,A、B、C 为其内角,a、b、c 分别表示 A、B、C 的对边。 (1)三角形内角和:A+B+C=π 。 (2)三角形三边大小关系: a ? b ? c, a ? b ? c (3)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.

a b c ? ? ? 2R 。 (R 为外接圆半径) sin A sin B sin C
(4)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的 余弦的积的两倍. a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC。 注意运用正、余弦定理进行边角转化 2、三角形的面积公式:

1 1 1 aha= bhb= chc(ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 上的高) ; 2 2 2 1 1 1 (2)△= absinC= bcsinA= acsinB; 2 2 2
(1)△= 3、求解三角形 条件 适用定理 二、例题讲解: 例 1、在 ABC 中,已知 a ? 2, b ? 2, A ? 45 ,求角 B 和边长 c。 角角边 正弦定理 边边角 正弦定理或余弦定理 边边边 余弦定理 边角边 余弦定理

b sin A ? 解: sin B ? a

2

2 2 ?1 2 2



B ? (0, ? )

? B ? 30 或150

当B ? 150 时,A ? B ? 180

? B ? 30

用正弦定理或者余弦定理两种方法可求得 c ? 1 ? 3

无解 ?a ? b sin A ? 一解(直角) ?a ? bsinA 说明:⑴若 A 为锐角时: ? ?bsinA ? a ? b 二解(一锐, 一钝) ?a ? b 一解(锐角) ?

⑵若 A 为直角或钝角时: ?

?a ? b 无解 ?a ? b 一解 (锐角)

例 2、在 ?ABC 中, sin A ? cos A ?

2 , AC ? 2 , AB ? 3 ,求 tan A 的值和 ?ABC 2

的面积。 解法一:先解三角方程,求出角 A 的值。

? sin A ? cos A ? 2 cos(A ? 45? ) ? 1 ? cos(A ? 45? ) ? . 2

2 , 2

又 0 ? A ? 180 , ? A ? 45 ? 60 , A ? 105 .
? ?

? tan A ? tan(45 ? 60 ) ?

1? 3 ? ?2 ? 3 , 1? 3
2? 6 . 4

sin A ? sin 105? ? sin(45? ? 60? ) ? sin 45? cos60? ? cos45? sin 60? ?

S ?ABC ?

1 1 2? 6 3 AC ? AB sin A ? ? 2 ? 3 ? ? ( 2 ? 6) 。 2 2 4 4

解法二:由 sin A ? cos A 计算它的对偶关系式 sin A ? cos A 的值。

? sin A ? cos A ?

2 2
1 2



? (sin A ? cos A) 2 ? ? 2 sin A cos A ? ?

1 2 ? ? ? 0 ? A ? 180 ,? sin A ? 0, cos A ? 0.
? (sin A ? cos A) 2 ? 1 ? 2 sin A cos A ? 3 , 2

? sin A ? cos A ?

6 2
s iA n?



① + ② 得

2? 6 。 4

① - ② 得

c oA s?

2? 6 。 4

从而

tan A ?

sin A 2? 6 4 ? ? ? ?2 ? 3 。 cos A 4 2? 6

以下解法略去。 点评:本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识,着重数学考查 运算能力, 是一道三角的基础试题。 两种解法比较起来, 你认为哪一种解法比较简单呢? 练习:在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos

A 2 5 , ? 2 5

AB ? AC ? 3 . (I)求 ?ABC 的面积; (II)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值. 3 4 A 2 5 2 A ? 1 ? ,sin A ? ,又由 AB ? AC ? 3 解: (1)因为 cos ? ,? cos A ? 2 cos 2 5 5 2 5 1 得 bc cos A ? 3, ? bc ? 5 ,? S?ABC ? bc sin A ? 2 2 (2)对于 bc ? 5 ,又 b ? c ? 6 ,? b ? 5, c ? 1 或 b ? 1, c ? 5 ,由余弦定理得
a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 20 ,? a ? 2 5
例 3、 (2009 湖南卷文)在锐角 ?ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A, 则

AC 的值等于 cos A



AC 的取值范围为

.

解:设 ?A ? ? , ? B ? 2? . 由正弦定理得

AC BC AC AC ? ,? ?1? ? 2. sin 2? sin ? 2 cos ? cos ?
由锐角 ?ABC 得 0 ? 2? ? 90 ? 0 ? ? ? 45 , 又 0 ? 180 ? 3? ? 90 ? 30 ? ? ? 60 ,故 30 ? ? ? 45 ?

2 3 , ? cos ? ? 2 2

? AC ? 2 cos ? ? ( 2, 3).

例 4、 (2008 重庆卷)设 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 A= 60 ,c=3b. 求: (Ⅰ)

a 的值; (Ⅱ)cotB +cot C 的值. c 3 3 2 9

2 2 2 1 2 2 1 1 7 2 解: (Ⅰ)由余弦定理得 a ? b ? c ? 2b cos A = ( c) ?c ? 2 c c ? c ,



a 7 ? . c 3

cos B sin C ? cos C sin B sin( B ? C ) sin A ? , = sin B sin C sin B sin C sin B sin C 7 2 c sin A 1 a2 2 9 14 14 3 由正弦定理和(Ⅰ)的结论得 ? · ? · ? ? . sin B sin C sin A bc 9 3 1 c· 3 3 c 3
(Ⅱ)解法一: cot B ? cot C = 故 cot B ? cot C ?

14 3 . 9

7 2 2 1 2 c ? c ? ( c) 5 a 2 ? c 2 ? b2 9 3 . 解法二: 由余弦定理及 (Ⅰ) 的结论有 cos B ? = ? 2ac 2 7 7 2 cc 3
故 sin B ? 1 ? cos 2 B ? 1 ?

25 3 ? . 28 2 7

7 2 1 2 2 c ? c ?c a 2 ? b2 ? c 2 9 1 9 同理可得 cos C ? ? ?? , 2ab 7 1 2 7 2 c c 3 3

sin C ? 1 ? cos2 C ? 1 ?

1 3 3 ? . 28 2 7

从而 cot B ? cot C ?

cos B cos C 5 1 14 3 ? ? 3? 3? . sin B sin C 3 9 9

例 5、 (2009 全国卷Ⅰ理)在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,已 知 a ? c ? 2b ,且 sin A cos C ? 3cos A sin C, 求 b
2 2

分析: :此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1) a ? c ? 2b 左侧是
2 2

二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)

sin A cos C ? 3cos A sin C, 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现
在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法一:在 ?ABC 中

sin A cos C ? 3cos A sin C, 则由正弦定理及余弦定理

有: a

a 2 ? b2 ? c 2 b2 ? c 2 ? a 2 ?3 c, 化简并整理得: 2(a2 ? c2 ) ? b2 .又由已知 2ab 2bc

a 2 ? c 2 ? 2b ? 4b ? b2 .解得 b ? 4或b ? 0(舍) .
解法二:由余弦定理得: a ? c ? b ? 2bc cos A .又 a ? c ? 2b , b ? 0 .
2 2 2 2 2

所以 b ? 2c cos A ? 2 ① 又 sin A cos C ? 3cos A sin C ,? sin A cos C ? cos A sin C ? 4 cos A sin C

sin( A ? C ) ? 4cos A sin C ,即 sin B ? 4cos A sin C
由正弦定理得 sin B ?

b sin C ,故 b ? 4c cos A c



由①,②解得 b ? 4 . 评析: 从 08 年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总 结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒:两纲中明确 不再考的知识和方法了解就行,不必强化训练. 例 6、根据所给条件,判断△ABC 的形状. (1)AcosA=BcosB (2)

a b c ? ? cos A cos B cos C

选题意图:本题主要考查利用正、余弦定理判断三角形的形状. 解: (1

b2 ? c2 ? a2 a2 ? b2 ? c2 ) ? b?( ) ? a 2c 2 ? a 4 ? b2c 2 ? b4 ? 0 AcosA=BcosB ? a ? ( 2bc 2ac
? ( a 2 ? b 2 )(c 2 ? a 2 ? b 2 ) ? 0 ? a 2 ? b 2 ? 0或c 2 ? a 2 ? b 2 ? 0 ? a ? b或 c 2 ? a 2 ? b 2
∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 解法二:利用正弦定理进行边角转化 (2)由正弦定理得: a ?

c sin A c sin B ,b ? 代入已知等式: sin C sin C c sin A c sin B c sin A sin B sin C ? ? ? ? ? cos A sin C cos B sin C cos C cos A cos B cos C

即 tanA=tanB=tanC ∵A、B、C∈(0,π ) ∴A=B=C ∴△ABC 为等边三角形. 说明:根据已知条件,适当选取使用的定理.也是应该在解题中注意的问题. 例 7、如图,为了计算北江岸边两景点 B 与 C 的距离,由于地形的限制,需要在岸上选 取 A 和 D 两个测量点, 现测得 AD ? CD ,AD ? 10 km ,AB ? 14 km ,?BDA ? 60 ,
?

?BCD ? 135? ,求两景点 B 与 C 的距离(假设 A, B, C , D 在同一平面内,测量结果保留
整数;参考数据: 2 ? 1.414, 解:在△ABD 中,设 BD=x,
2 2 2 则 BA ? BD ? AD ? 2BD ? AD ? cos?BDA , 2 2 2 ? 2 即 14 ? x ? 10 ? 2 ? 10x ? cos60 整理得: x ? 10x ? 96 ? 0

3 ? 1.732,

5 ? 2.236 )

解之: x1 ? 16 , x2 ? ?6 (舍去) ,

BC BD ? 由正弦定理,得: sin ?CDB sin ?BCD , BC ?


16 ? sin 30 ? ? 8 2 ? sin 135 ≈11(km).

答:两景点 B 与 C 的距离约为 11.km.

例 8、在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角 ? ? 60 ,在塔底 C 处测得点 A 的俯

角 ? ? 45 ,已知铁塔 BC 部分高 32 米,求山高 CD。 解:在△ABC 中,∠ABC=30°,∠ACB =135°, ∴∠CAB =180°-(∠ACB+∠ABC)=180°-(135°+30°)=15°

BC AC ? sin ?BAC sin ?ABC BC sin ?ABC 32sin 30? 16 ? ? 得 AC ? sin ?BAC sin15? sin15?
又 BC=32, 由正弦定理 在等腰 Rt△ACD 中,

CD ?

2 2 16 8 2 AC ? ? ? ? 16( 3 ? 1) (m) 2 2 sin15? sin15?

图1

答:山的高度为 16( 3 ? 1) 米。 练习:用同样高度的两个测角仪 AB 和 CD 同时望见气球 E 在它们的正西方向的上空, 分别测得气球的仰角是 α 和 β,已知 B、D 间的距离为 a,测角仪的高度是 b,求气球的高 度. 分析:在 Rt△EGA 中求解 EG,只有角 α 一个条件,需要再有一边长被确定,而△EAC 中有较多已知条件, 故可在△EAC 中考虑 EA 边长的求解, 而在△EAC 中有角 β, ∠EAC =180° -α 两角与 BD=a 一边,故可以利用正弦定理求解 EA. 解:在△ACE 中,AC=BD=a,∠ACE=β,∠AEC=α-β, a sinβ 根据正弦定理,得 AE= sin(α-β) a sinαsinβ 在 Rt△AEG 中,EG=AEsinα= sin(α-β) a sinαsinβ ∴EF=EG+b= +b, sin(α-β) a sinαsinβ 答:气球的高度是 +b. sin(α-β)

例 9、(2007 年山东卷) 如图 3,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方航行,乙船按 固定方向匀速直线航行,当甲船位于

A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105 方向的 B1 处,
A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120

此时两船相距 20 海里,当甲船航行 20 分钟到达 方向的

B2 处,此时两船相距 10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里?

【解题思路】解决测量问题的过程先要正确作出图形,把实际问题中的条件和所求转换 成三角形中的已知和未知的边、角.本题应先利用 S ? vt 求出边长,再进行进一步分析.

AB A B ? 10 2 , 解:如图 3,连结 1 1 ,由已知 2 2

A1 A2 ? 30 2 ?

20 ? 10 2 60 , 北

? A1 A2 ? A2 B1 ,又∠A1 A2 B2 ? 180 ?120 ? 60 , ? △A1 A2 B2 是等边三角形,? A1B2 ? A1 A2 ? 10 2 ,
由已知, 在

120

A2

B2

105

A1B1 ? 20 ,∠B1 A1B2 ? 105 ? 60 ? 45 ,

B1
乙 图3

A1



2 2 △ A1B2 B1 中,由余弦定理, B1B2 ? A1B12 ? A1B2 ? 2 A1B2 A1B2 cos 45

? 202 ? (10 2)2 ? 2 ? 20 ?10 2 ?
20

2 ? 200 2

? B1B2 ? 10 2

因此,乙船的速度的大小为 10 2 ? 60 ? 30 2(海里/小时) . 答:乙船每小时航行 30 2 海里. 【点评】解三角形时,通常会遇到两种情况:①已知量与未知量全部集中在一个三角形 中,此时应直接利用正弦定理或余弦定理;②已知量与未知量涉及两个或几个三角形,这 时需要选择条件足够的三角形优先研究,再逐步在其余的三角形中求出问题的解. 练习:甲船在 A 处、乙船在甲船正南方向距甲船 20 海里的 B 处,乙船以每小时 10 海里 的速度向正北方向行驶,而甲船同时以每小时 8 海里的速度由 A 处向南偏西 60o 方向行 驶,问经过多少小时后,甲、乙两船相距最近? A

C, D两点 解析: 、解: 设经过x小时后,甲船和乙船分别到达 则AC ? 8 x, AD ? AB ? BD ? 20 ? 10x

? CD 2 ? AC 2 ? AD 2 ? 2 AC ? AD ? cos 60? 1 2 70 4800 ? 244x 2 ? 560x ? 400 ? 244( x ? ) 2 ? 61 61 2 ? 当CD 取得最小值时, CD取得最小值. ? (8 x ) 2 ? ( 20 ? 10x ) 2 ? 2 ? 8 x ? ( 20 ? 10x ) ? ? 当x ? 70 时, CD取得最小值, 61
A C D B

B

此时,甲、乙两船相距最近。

三、回顾小结:正、余弦定理的形式及使用条件。 四、课外作业: 《高考备考指南》P85~P86


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