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山西省2014届高三3月月考数学理试题


2012-2013 学年高三月考数学(理科)试卷
(命题人 郭伟峰) 一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1. 若复数 z ? (5 sin ? ? 3) ? (5 co s ? ? 4 ) i 是纯虚数,则 tan ? 的值为( A.
4 3



B. ?

3 4

/>C.

3 4

D. ? 且x?

3 4



3 4

2.对于集合 M , N ,定义: M 设 A ={ y | A. ? ( C.
9 4
( ?? , ? 9 4 ) ? [ 0 , ?? )
2

? N ? {x | x ? M

N } , M ? N ? (M ? N ) ? ( N ? M )



y ? x ? 3 x , x ? R ) , B ? x y ? log

?

2

( ? x ) ? ,则 A ? B =(



,0]

B. [ ? D.

9 4

,0)
9 4 ) ? ( 0 , ?? )

( ?? , ?

x 3. 右图中, 1 , x 2 , x 3 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分,
p 为该题的最终得分,当 x 1 ? 6 , x 2 ? 9 , p ? 8 . 5 时, x 3 等于(



A.11
g (x) ? x
2

B.10
2

C.8

D.7 )

4.设甲:函数 f ( x ) ? log 2 ( x ? bx ? c ) 的值域为 R ,乙:函数
? bx ? c 有四个单调区间,那么甲是乙的(

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2 2

5.规定记号“ ? ”表示一种运算,即: a ? b ? a ? 2 ab ? b ,设函数 f ( x ) ? x ? 2 。 且关于 x 的方程为 f ( x ) ? lg x ? 2 ( x ? ? 2 ) 恰有四个互不相等的实数根 x1 , x 2 , x 3 , x 4 ,则
x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 的值是(

) C. 8
x a
2 2

A. ? 4

B. 4
?

D. ? 8

6. 已知 F1 和 F 2 分别是双曲线

y b

2 2

? 1( a ? 0 ,b ? 0 ) 的两个焦点,A 和 B 是以 O

为圆心,以 | O F1 | 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且 ? F 2 A B 是等边三角形,则 该双曲线的离心率为( A.
3 ?1 2

) C. 2 D. 3 ? 1
3? 4 ? x)

B. 3 ? 1
?
4

7.若当 x ? 是( )

时,函数 f ( x ) ? A sin ( x ? ? )( A ? 0 ) 取得最小值,则函数 y ? f (
?
2

A.奇函数且图像关于点 (

, 0 ) 对称

B.偶函数且图像关于点 (? , 0 ) 对称 D.偶函数且图像关于点 (
?
2
1

C.奇函数且图像关于直线 x ?

?
2

对称

, 0 ) 对称

8.过点 A (1 1, 2 ) 作圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 6 4 ? 0 的弦,其中弦长为整数的共有( A.16 条 B. 17 条 C. 32 条 D. 34 条
2 2



9. 在平面斜坐标系 x o y 中 ? xoy ? 45 , P 的斜坐标定义为: 若 OP ? x 0 e 1 ? y 0 e 2(其 点 “
0

中 e1 , e 2 分 别 为 与 斜 坐 标 系 的 x 轴 , y 轴 同 方 向 的 单 位 向 量 ) 则 点 P 的 坐 标 为 ,

???? ???? (x0 , y0 ) ” .若 F1 ( ? 1, 0 ), F 2 (1, 0 ), 且动点 M ( x , y ) 满足 M F 1 ? M F 2 ,则点 M 在斜坐标

系中的轨迹方程为( A. x ? A. e B. e C. e
2013
2013 2013

) B. x ?
2y ? 0
2013
2013 2013

2y ? 0

C. 2 x ? y ? 0
f (0 )
f (0 ) f (0 )

D. 2 x ? y ? 0 )

10.已知 f ( x ) 为 R 上的可导函数,且 ? x ? R ,均有 f ( x ) ? f ? ( x ) ,则有(
f ( ? 2 0 1 3) ? f (0 ), f ( 2 0 1 3) ? e
f ( ? 2 0 1 3) ? f (0 ), f ( 2 0 1 3) ? e f ( ? 2 0 1 3) ? f (0 ), f ( 2 0 1 3) ? e

f ( ? 2 0 1 3) ? f (0 ), f ( 2 0 1 3) ? e f (0 ) D. e 11. O 是锐角三角形 ABC 的外心, O 向边 BC , CA , AB 引垂线, 设 由 垂足分别是 D , E , F ,
2013 2013

给出下列命题:① O A ? O B ? O C ? 0 ;② O D ? O E ? O F ? 0 ;③ | O D | : | O E | :
???? | O F | = cos A : cos B : cos C ;④ ? ? ? R ,使得 AD ? ? (

??? ?

??? ?

????

? ? ??

? ? ??

? ? ??

????

??? ?

AB AB sin B

?

AC AC sin C
D1

).

以上命题正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4; 12.在正方体 A B C D ? A B C D 中, E 是棱 C C 1 的中点, F 是侧面 1 1 1 1
B C C 1 B 1 内的动点, A1 F / / 平面 D 1 A E , A1 F 与平面 B C C 1 B 1 所成角 且 则

C1

A1

B1

.
F D

E
C

的正切值构成的集合是( A.? t
? ? ? ? 2 5 5 ? ? ? t ? 2 3? ? ? ? ? ? ?

) B.? t
2 5 5 ? ? ? t ? 2? ? ?

A

B

C. t 2 ? t ? 2 3

?

?

D. t 2 ? t ? 2 2

?

?

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分)
?y ? x 1 2 ? 13.已知不等式组 ? y ? ? x 表示的平面区域为 M ,直线 y ? x 与曲线 y ? x 所围成的 2 ?x ? 2 ?

平面区域为 N ,现随机向区域 M 内抛一粒豆子,则豆子落在区域 N 内的概率 为 . 14.对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解方式:
2 ?1? 3
2

3 ?1? 3? 5
2

4 ? 1? 3? 5 ? 7
2

2 ? 3?5
3

3 ? 7 ? 9 ? 11
3 2

4 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19
3

根据上述分解规律,则 5 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9 , 若 m ( m ? N ) 的分解中最小的数是 73, 则 m 的值为 .
3 *

2

15.抛物线 x ? 8 y 的准线与 y 轴交于点 A ,点 B 在抛物线对称轴上,过 A 可作直线交
2

抛物线于点 M 、 N ,使得 BM ? MN ?

1 2

MN ,则 OB 的取值范围是



16. 给出以下四个命题: ① 若 co s ? co s ? ? 1 ,则 sin (? ? ? ) ? 0 ; ② 已知直线 x ? m 与函数 f ( x ) ? s in x , g ( x ) ? s in (
| M N | 的最大值为

?
2

? x ) 的图像分别交于点 M , N ,则

2 ;

③ 若数列 a n ? n 2 ? ? n ( n ? N ? ) 为单调递增数列,则 ? 取值范围是 ? ? ? 2 ; ④ 已知数列 { a n } 的通项 a n ? 其中正确命题的序号为 三、解答题:
2 n ?

3 2n ? 11

,前 n 项和为 S n ,则使 S n ? 0 的 n 的最小值为 12. .

17 . 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 数 列 ? a n ? 的 相 邻 两 项 a n , a n ? 1 是 关 于 x 的 方 程 (
x ? 2 x ? b ? 0 , ( n ? N 的两根,且 a 1 ? 1 . ) n

(Ⅰ)求证:数列 ? a n ?
?

?

1

n ? ? 2 ? 是等比数列; 3 ?

(Ⅱ)求数列 ? a n ? 的前 n 项和 S n ;
? (n (Ⅲ)设函数 f ( n )= b n ? t ? S n   ? N ? )    f ( n )> 0 对任意的 n ? N 都成立,求 t 的取 若

值范围。 18. (本小题满分 12 分)2012 年 3 月 2 日,国家环保部发布了新修订的《环境空气质量 标准》.其中规定:居民区中的 PM2.5(PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒 物,也称可入肺颗粒物)年平均浓度不得超过 35 微克/立方米,PM2.5 的 24 小时平均浓 度不得超过 75 微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年 40 天的 PM2.5 的 24 小时平均浓度的监测数据,数据统计如下: 组别 第一组 第二组 第三组 第四组 PM2.5(微克/立方米) (0,15] (15,30] (30,45] (45,60] 频数(天) 4 12 8 8 频率 0.1 0.3 0.2 0.2

(60,75] 4 0.1 第三组 (75,90) 4 0.1 第四组 (Ⅰ)写出该样本的众数和中位数(不必写出计算过程) ; (Ⅱ)求该样本的平均数,并根据样本估计总体的思想,从 PM2.5 的年平均浓度考虑, 判断该居民区的环境是否需要改进?说明理由; (Ⅲ)将频率视为概率,对于去年的某 2 天,记这 2 天中该居民区 PM2.5 的 24 小时平均 浓度符合环境空气质量标准的天数为 X ,求 X 的分布列及数学期望 E ( X ) .
3

19. (本小题满分 12 分)如图,四边形 A B C D 中, ? BCD 为正三角形, AD

? AB ? 2



BD ? 2 3 , A C 与 B D 交于 O 点. ? ACD 沿边 A C 折起, D 点至 P 点, 将 使 已知 P O 与 平面 A B C D 所成的角为 ? ,且 P 点在平面 A B C D 内的射影落在 ? A C D 内. P (Ⅰ)求证: AC ? 平面 P B D ;

(Ⅱ)若已知二面角 A ?

PB ? D

的余弦值为

21 7

,求 ? 的大小.

C

20. (本小题满分 12 分)已知中心在原点,焦点在坐标轴上的 椭圆 ? ,它的离心率为
1 2

D
A

O

B

,一个焦点和抛物线 y ? ? 4 x 的焦
2

点重合,过直线 l : x ? 4 上一点 M 引椭圆 ? 的两条切线,切点分别是 A , B . (Ⅰ)求椭圆 ? 的方程; (Ⅱ)若在椭圆
x0 x a
2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1? a ? b ? 0 ? 上 的 点 ? x 0 , y 0 ? 处 的 椭 圆 的 切 线 方 程 是

?

y0 y b
2

? 1 . 求证:直线 A B 恒过定点 C ;并出求定点 C 的坐标.

(Ⅲ)是否存在实数 ? ,使得 AC ? BC ? ? AC ? BC 恒成立?(点 C 为直线 A B 恒过 的定点)若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由。 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? a x ? x ? a x ,其中 a ? R , x ? R . (I)若函数 f ( x ) 在区间(1,2)上不是单调函数,试求 a 的取值范围;
3 2

(II) 已知 b ? ? 1 ,如果存在 a ? ( ? ? , ? 1] ,使得函数 h ( x ) ? f ( x ) ? f ? ( x ) ( x ? [ ? 1, b ]) 在
x ? ? 1 处取得最小值,试求 b 的最大值.

请考生在第 22、23 题中任选一题作答。若多做,则按所做的第一题计分。 22. 在平面直角坐标系 xoy 中, 曲线 C 1 的参数方程为 ?
? x ? a cos ? ? y ? b sin ?

(a

?b?0

, 为参数) , ?

在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 2 是圆心在极轴上,且经过极 点的圆. 已知曲线 C 1 上的点 M (1,
D (1,

3 2

) 对应的参数 ? ?

?
3

, 射线 ? ?

?
3

与曲线 C 2 交于点

?
3

).

(I)求曲线 C 1 , C 2 的方程; (II)若点 A ( ? 1 , ? ) , B ( ? 2 , ? ? 23. 已知函数 f ( x ) ? x ? 1 (I)求不等式 f ( x ) ? x ? 1 ? 0 的解集;
2

?
2

) 在曲线 C 1 上,求

1

?1

2

?

1

?2

2

的值.

(II)设 g ( x ) ? ? x ? 3 ? m ,若关于 x 的不等式 f ( x ) ? g ( x ) 的解集非空,求实数 m 的取 值范围.
4

2013-2014 学年高三数学答案
1. B 13.
1 6

2.C 3.C 4.B 5.D 6. D 7.C 8.C (文)
13 36
1 3 1 3

9.D 10.D 11.B 12.D

14. 9

15. (6, ? ? )

16.①②
a n ?1 ?
?2 ) , 即
n

1 3 1 3

17. 【解】 : ? a n ? a n ?1 ? 2 ? a n ?1 ? (1)
n

?2

n ?1

? ? (a n ?

1 3

?2 ?2

n ?1

? ?1
n

an ?
1 3
n n

1 ? n ? ? ?an ? ? 2 ? 是 等 比 数 列 3 ? ?

? a1 ?

2 3

?

,

q ? ? 1? an ?

[ 2 ? ( ? 1) ] (3 分)

(2) S n ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n
1 2 (1 ? 2 ) ( ? 1)(1 ? ( ? 1) ) ? [( 2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? (( ? 1) ? ( ? 1) ? ? ? ( ? 1) )] ? [ ? ] 3 3 1? 2 1?1 1
n n 2 n 2 n

?

1 3

[2

n ?1

?2 2 ? n ? ? 1 ? ( ? 1) ? 3 3 ?2? ]? ? n ?1 2 1 ?2 ? ? 3 3 ?

n ?1

n偶 n奇

(6 分)

(3) b n ? a n ? a n ? 1
? bn ?
1 9 [ 2 ? ( ? 1) ][ 2
n n n ?1

? ( ? 1)

n ?1

]?

1 9

[2

2 n ?1

? ( ? 2 ) ? 1] ? b n ? t s n > 0
n

?

1 9

[2

2 n ?1

? ( ? 2 ) ? 1] ? t ?
n

1 3

[2

n ?1

?2?

( ? 1) ? 1
n

]? 0

2
1 3

∴当 n 为奇数时
1 9 [2
2 n ?1

? 2 ? 1] ?
n

t 3

(2

n ?1

? 1) ? 0 ? t ?

( 2 ? 1) 对 ? n ? 奇 数 都 成 立 ? t <1
n

(9 分)

当 n 为偶数时
1 9 t ? 1 6 (2
n ?1

[2

2 n ?1

? 2 ? 1] ?
n

t 3

(2

n ?1

? 2) ? 0 ?

1 9

[2

2 n ?1

? 2 ? 1] ?
n

2t 3

( 2 ? 1) ? 0
n

? 1) 对 ? n ? 偶 数 都 成 立 ? t ?

3 2

综上所述, t 的取值范围为 ? ? ? ,1 ? (12 分) 18. 【解】(1)众数为 22.5 微克/立方米, 中位数为 37.5 微克/立方米. ???4 分 : (2)去年该居民区 PM2.5 年平均浓度为 7 .5 ? 0 .1 ? 2 2 .5 ? 0 .3 ? 3 7 .5 ? 0 .2 ? 5 2 .5 ? 0 .2 ? 6 7 .5 ? 0 .1 ? 8 2 .5 ? 0 .1 ? 4 0 .5 (微克/立方 米) . 因为 4 0 .5 ? 3 5 ,所以去年该居民区 PM2.5 年平均浓度不符合环境空气质量标准, 故该居民区的环境需要改进. …………………………………………8 分
5

(3)记事件 A 表示“一天 PM2.5 的 24 小时平均浓度符合环境空气质量标准” , 则 P ( A) ?
9 10

.
k

随机变量 ? 的可能取值为 0,1,2.且 ? ? B ( 2 ,
9 10 ) (1 ?
k

9 10

).

所以 P ( ? ? k ) ? C 2 (
?
p

9 10

)

2?k

( k ? 0,1, 2 ) ,

所以变量 ? 的分布列为 2
81 100

0
1 100

1
18 100

E? ? 0 ?

1 100

? 1?

18 100

? 2?

81 100

? 1 .8 (天),或 E ? ? n P ? 2 ?

9 10

? 1 .8 (天)

??12 分

(文) 【解】 (I)守成被调查人答卷情况统计表: 同意 不同意 1 1 教师 2 4 女生 3 2 男生 …………5 分 (II)
2 6 ? 126 ? 3 5 ? 105 ? 42 ? 63 ? 105 (人)

合计 2 6 5

…………8 分

(III)设“同意”的两名学生编号为 1,2,“不同意”的四名学生分别编号为 3,4,5,6, 选出两人则有(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,3)(2,4)(2,5) , , , , , , , , (2,6)(3,4)(3,5)(3,6)(4,5)(4,6)(5,6)共 15 种方法; , , , , , , 其中(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6) 种满足 , , , , , , , ,8 题意,则恰有一人“同意”一人“不同意”的概率为
8 15 .

…………12 分

19. 【解析】(1)证明:由 S D ? 面 S A B , A B ? 面 S A B : 所以 S D ? A B 又 AB / /C D 所以 C D ? S D -----4 分 (2)取 S A 中点 N ,连结 N D , N M 则 N M / / A B ,且 M N ?
1 2 A B ? D C , AB / /C D

所以 N M C D 是平行四边形, 所以 N D / / M C , 且 N D ? 面 SAD , M C ? 面 SAD 所以 C M / / 面 S A D ;----8 分 (3) V S ? A B C D : V S ? A B D ? S ? A B C D : S ? A B D ? 3 : 2 过 D 作 D H ? A B ,交于 H ,由题得 B D ? A D ? 在 R t ? D S A , R t ? D S B 中, S A ? S B ? 所以 V S ? A B D ? V D ? S A B ?
1 3 ? D S ? S ?ABS ?

1 ?2
2

2

?

5

5 ?1 ? 2
2

2

3 3 ,

所以 V S ? A B C D ?

3 2

?

3 3

?

3 2

-------12 分

6

(理) 【解析】 :(Ⅰ)易知 O 为 B D 的中点, 则 A C ? B D ,又 A C ? P O , 又 B D ? P O ? O , B D , P O ? 平面 P B D , 所以 A C ? 平面 P B D (4 分) (Ⅱ)方法一:以 O B 为 x 轴, OC 为 y 轴,过 O 垂直于 平面 A B C 向上的直线为 z 轴建立如图所示空间
? 易知平面 P B D 的法向量为 j ? (0,1, 0 )
D

P
C

O

B

直角坐标系,则 A (0, ? 1, 0 ) , B ( 3 , 0 , 0 ) P ( ? 3 co s θ , 0 , 3 sin θ ) (7 分)

A

(6 分)

??? ? ??? ? ? A B ? ( 3 ,1, 0 ) , A P ? ( ? 3 co s θ ,1, 3 sin θ ) 设平面 A B P 的法向量为 n ? ( x , y , z ) ? ??? ? ? ??? ? ? ?n ? AB n ? AB ? 3x ? y ? 0 ? ? 则由 ? ? ??? 得, ? ? ??? ? ? ?n ? AP ? n ? A P ? ? 3 c o s θ x ? y ? 3 s in θ z = 0 ? ?

? y ? ? 3x ? cos θ ? 1 ? ) 解得, ? ,令 x ? 1 ,则 n ? (1, ? 3 , c o s θ +1 sin θ x ?z ? s in θ ? ? ? ? ? |n? j| 3 21 ? 则 | c o s ? n , j ? |? ? ? ? 2 7 | n || j | (c o s θ +1) 4? 2 s in θ

(9 分)

解得,

(c o s θ +1)
2

2

sin θ π π ( 又 θ ? 0, ),∴ θ = 2 3

? 3 ,即

3 sin θ ? co s θ =1 ,即 s in θ ? (

π 6

) =

1 2



故θ=
x a
2 2

π 3
2 2

.(12 分)
? 1? a ? b ? 0 ? 。 抛物线 y
2

20. 【解】 : (I) 设椭圆方程为 故 c ? 1 ,又
c a ? 1 2

?

y b

? ? 4 x 的焦点是 ? ? 1, 0 ? ,

,所以 a ? 2 , b ?
x
2

a ?c
2

2

?

3 ,

所以所求的椭圆 ? 方程为

?

y

2

?1

?????3 分

4
x1 x 4 y1 y 3
t 3

3
x2 x 4
t 3

(II)设切点坐标为 A ? x 1 , y 1 ? , B ? x 2 , y 2 ? ,直线 l 上一点 M 的坐标 ? 4 , t ? 。 则切线方程分别为
? ?1, ? y2 y 3
y2 ? 1 , 即点 A,B 的坐标都适合方程 x ? t 3 y ?1,

? 1。

又两切线均过点 M, x 1 ? 即

y 1 ? 1, x 2 ?

而两点之间确定唯一的一条直线,故直线 AB 的方程是 x ?

t 3

y ?1,

显然对任意实数 t,点(1,0)都适合这个方程,故直线 AB 恒过定点 C ?1, 0 ? 。??6 分

7

(III)将直线 AB 的方程 x ? ?
2

t 3

y ? 1 ,代入椭圆方程,得
2

?t ? 2 ? t ? 2 ? 3 ? ? y ? 1 ? ? 4 y ? 12 ? 0 ,即 ? ? 3 ? 4 ? y ? 2 ty ? 9 ? 0 ? 3 ? ? ?

所以 y 1 ? y 2 ?

6t t ? 12
2

, y1 y 2 ?

? 27 t ? 12
2

???????..8 分

不妨设 y 1 ? 0 , y 2 ? 0
AC ?

? x1 ? 1 ?2
1 ? 1 BC

? y1 ?
2

? t2 ? 2 ? ? ? 9 ? 1 ? y1 ? ? ?

t ?9
2

3 3

y 1 ,同理 BC ? ? y 2 ? y1 y1 y 2

t ?9
2

3
?

y 2 ??10 分
? y1 ?
2

所以

?

AC

? 1 1 ? ? ?? ? y ? y ?? 2 t ?9 ? 1 2 ? 3
2

?

? ?

3 t ?9
2

?y2

t ?9
2

y1 y 2

? ?

3 t ?9
2

?

108 ? 6t ? ? 2 ? ? 2 t ? 12 ? t ? 12 ? ? ? 27 t ? 12
2

1 t ?9
2

?

144 t ? 9 ? 144
2

?

4 3

9

即 AC ? BC ? 故存在实数 ? ?

4 3 4 3

AC ? BC 。

,使得 AC ? BC ? ? AC ? BC 。

????????12 分

2 21. 【解】(I)由题意知, f ? ( x ) ? 3 a x ? 2 x ? a 在区间(1,2)上有不重复的零点, : 2 2 由 f ? ( x ) ? 3 a x ? 2 x ? a ? 0 ,得 (3 x ? 1) a ? ? 2 x ,
2 因为 3 x ? 1 ? 0 ,所以 a ? ?

2x 3x ? 1
2

??3 分
? 0 ,故 y ? ?
2x 3x ? 1
2

令y ? ?

2x 3x ? 1
2

,则 y ? ?
4 11

6x ? 2
2

(3 x ? 1)
2

2

在区间(1,2)上是增函数,

所以其值域为 ( ? 1, ?

) ,从而 a 的取值范围是 ( ? 1, ?
3 2

4 11

) ?????????5 分

(II) h ( x ) ? f ( x ) ? f ? ( x ) ? a x ? (3 a ? 1) x ? ( 2 ? a ) x ? a , 由题意知 h ( x ) ? h ( ? 1) 对 x ? [ ? 1, b ] 恒成立, 即 a x ? (3 a ? 1) x ? ( 2 ? a ) x ? a ? 2 a ? 1 对 x ? [ ? 1, b ] 恒成立,
3 2

即 ( x ? 1)[ a x ? ( 2 a ? 1) x ? (1 ? 3 a )] ? 0
2

①对 x ? [ ? 1, b ] 恒成立 ???7 分 ???8 分 ②,
? ? ( ? 1) ? 0 ? ? (b ) ? 0

当 x ? ? 1 时,①式显然成立; 当 x ? ( ? 1, b ] 时,①式可化为 a x ? ( 2 a ? 1) x ? (1 ? 3 a ) ? 0
2 2

令 ? ( x ) ? a x ? ( 2 a ? 1) x ? (1 ? 3 a ) ,则其图象是开口向下的抛物线,所以 ?
8

???9 分 即?
?
2

?4a ? 0

? a b ? ( 2 a ? 1) b ? (1 ? 3 a ) ? 0

,其等价于
2

b ? 2b ? 3
2

b ?1 ? (? 1 a

? ?

1 a

③ ,
17 ? 1 2

因为③在 a ? ( ? ? , ? 1] 时有解,所以 从而 b 的最大值为
17 ? 1 2

b ? 2b ? 3 b ?1

) m ax ? 1 ,解得 ? 1 ? b ?

.

???????????12 分
) 及对应的参数 ? ?

22. 【解】 (I)将 M (1,

3 2

?
3

,代入 ?

? x ? a cos ? ? y ? b sin ?



? ? 1 ? a cos ? ?a ? 2 ? 3 得? ,即 ? , 3 ? ?b ? 1 ? ? b sin ? 2 3 ?

所以曲线 C 1 的方程为 ?

? x ? 2 cos ? ? y ? sin ?

( ? 为参数) ,或

x

2

? y

2

? 1.
2 2 2

4

设圆 C 2 的半径为 R ,由题意,圆 C 2 的方程为 ? ? 2 R cos ? ,(或 ( x ? R ) ? y ? R ). 将点 D (1,
?
3 ) 代入 ? ? 2 R cos ? ,

得 1 ? 2 R cos
2 2

?
3

,即 R ? 1 .
2

(或由 D (1,

?
3

) ,得 D (

1 2

,

3 2

) ,代入 ( x ? R ) ? y
2

? R ,得 R ? 1 ),
2

所以曲线 C 2 的方程为 ? ? 2 cos ? ,或 ( x ? 1) ? y (II)因为点 A ( ? 1 , ? ) , B ( ? 2 , ? ? 所以 所以
? 1 cos
2 2

? 1.

?
2
2

) 在在曲线 C 1 上,
2

?

4
1

? ? 1 sin
2

2

? ?1,
? sin
2

? 2 sin
4

?
2

? ? 2 cos
2

2

? ? 1 , ks5u
5 4

?1

2

?

1

?2

2

? (

cos

2

?

?)?(

sin

?
2

? cos

2

?) ?

4

4

23. 解:(Ⅰ)原不等式可化为: x - 1 ? 1 - x

即: x - 1 ? 1 - x 或x - 1 ? x - 1
2 2

2分

由 x - 1 ? 1 - x 2 得 x ? 1或x ? -2 由 x - 1 ? x 2 - 1 得 x ? 1或x ? 0 综上原不等式的解为 x ? 1或x ? 0 ?????5 分 (Ⅱ)原不等式等价于 x-1 ? x ? 3 ? m的解集非空. 令 h( x) ? x - 1 ? x ? 3 ,即 h( x) ? x - 1 ? x ? 3 min ? m ,????8 分 由 x - 1 ? x ? 3 ? x - 1 - x - 3 ? 4 ,所以 h( x) min ? 4 , 所以 m ? 4 .??????10 分

9


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